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专题9.2 用样本的数字特征估计总体
重难点题型1 总体百分数的估计
1．（2025·广西·模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10 个国家2024 年度的人均碳排放强度
（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】将已知数据按从小到大的顺序排列，求
，结合百分位数定义求结论即可.
【详解】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，
又
，
所以该组数据的30%分位数是
．
故选：A.
2．（2025·河北保定·三模）一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这
组数据的第60 百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.5
B．6
C．4.5
D．3
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、总体百分位数的估计
【分析】根据给定条件，利用中位数、第60 百分位数的定义求出
，进而求出平均数.
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
总体百分数的估计
重难点题型2
总体集中趋势的估计
重难点题型3
总体离散程度的估计之方差与标准差
【详解】这组数据的中位数为
，由
，得这组数据的第60 百分位数为
，
因此
，解得
，所以这组数据的平均数为
.
故选：A
3．（2025·山西·模拟预测）某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21 克的太阳
能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团
在校内进行选拔赛，8 名参赛学生的成绩依次为
，
，
，
，
，
，
，
，则这组数据的上
四分位数为（ ）
A．93
B．92
C．91.5
D．93.5
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】从小到大排列，根据上四分位数的定义计算得到答案.
【详解】从小到大排列得到
，
由
得上四分位数为
.
故选：D.
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）样本数据16，21，18，28，14，20，22，24 的第75 百分位数为（ ）
A．16
B．17
C．23
D．24
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28，
又
，所以第
百分位数为
.
故选：C
5．（2025·湖北武汉·三模）某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分
100）．现随机抽取了其中10 个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下
四分位数为 ．
【答案】88
【难度】0.85
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】根据下四分位数的概念求解即可.
【详解】10 个数据从小到大为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，
则
，故这组数据的下四分位数为88.
故答案为：88.
6．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10 名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，
且剩余学生的成绩数据如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的
第25 百分位数，则这10 名学生的成绩的方差为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算.
【详解】
，则该学生的成绩为从小到大排列的第个，
故该生的成绩为
，
则这10 名学生的成绩的平均数为
，
方差为
故答案为：
重难点题型2 总体集中趋势的估计
1．（2025·吉林长春·模拟预测）某唱歌比赛共有10 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成
绩时，从10 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到8 个有效评分．8 个有效评分与10 个原始评
分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A．众数
B．中位数
C．平均数
D．标准差
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、
标准差
【分析】根据众数、平均数、中位数、标准差概念来进行求解，得到答案.
【详解】设10 位评委评分按从小到大排列为
，
对A，可能存在两个一样的最低分，且仅最低分为原众数，
则去掉1 个最低分后，其众数发生了变化，故A 错误；
对B，原始中位数为
，去掉最低分
，最高分
，
后剩余
，中位数仍为
，故B 正确；
对C，原始平均数
，
后来平均数
，平均数受极端值影响较大，
与
不一定相同，C 错误；
对D，原标准差为
，
后标准差为
，两者可能不等，故D 错误.
故选：B.
2．（2025·安徽池州·二模）春季是流感的高发季节，某医院对8 名甲型流感患者展开临床观察，记录了从
开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是
（ ）
A．这组数据的众数为5
B．这组数据的平均数为5
C．这组数据的第60 百分位数为6
D．这组数据的极差为5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位
数的估计
【分析】根据众数，平均数，百分位数，极差的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，这组数据的众数为
，故A 错误；
对于B，这组数据的平均数为
，故B 错误；
对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为
，
因为
，
所以这组数据的第60 百分位数为6，故C 正确；
对于D，这组数据的极差为
，故D 错误.
故选：C.
3．（2025·河北保定·二模）现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不
变，则被删除的数为（ ）
A．1
B．6
C．5 或6
D．1 或6
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】计算几个数的中位数
【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解.
【详解】将数据1，4，5，6，4，5，4 按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，
则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5 或6.
故选：C.
4．（2025·重庆·模拟预测）“缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100 位观众评委的打分情况如
下图所示（仅有一个最低分）.计算该节目最终得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打
分数据，下列说法一定正确的是（ ）.
A．中位数不变，极差变小
B．极差不变，平均数变小
C．平均数变大，方差变小
D．方差变小，中位数变大
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】根据去掉最大最小值的影响求解即可.
【详解】去掉一个最大值和一个最小值，所以中位数没有变化，
因为极差为极大值与极小值之差，所以极差会变小.
所以BD 错误；
由于去掉最大值与最小值，平均值的变化不确定，故C 错误.
故选：A
5．（2025·海南三亚·一模）（多选题）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发
明”竞赛活动，并对200 位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．评分在
的人数约为20
C．估计评分的下四分位数为65
D．估计评分的平均数为76.5
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总
体百分位数的估计
【分析】根据频率之和为1 列式计算可判断A；根据频率与频数的关系计算可判断B；根据下四分位数的
概念计算可判断C；根据频率分布直方图平均数的求法计算可判断D.
【详解】对A，由频率之和为1 得
，解得
，故A 正确；
对B，评分在
的频率为
，故人数约为20，故B 正确；
对C，下四分位数频率为0.25，故下四分位数为
，故C 错误；
对D，平均数为
，故D 正确.
故选：ACD
6．（2025 高三·全国·专题练习）（多选题）某铁路运输段的数据统计部门发布的从2024 年1 月到6 月煤
炭运输量
（单位：万吨）依次为28，34，43，m，67，73．已知2024 年1 月至6 月煤炭运输量的平均值
为50 万吨，则（ ）
A．
B．煤炭运输量的第75 百分位数为67
C．若剔除2 月和5 月的数据，剩余4 个月的煤炭运输量的平均值比50 大
D．若煤炭运输量中每个数据扩大为原来的2 倍，则对应的标准差也为原来的2 倍
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】由平均数的定义以及计算公式即可判断AB，由方差的计算公式即可判断CD.
【详解】结合煤炭运输量的平均值为50 以及题中数据易得
，A 正确；
，因此第75 百分位数为第5 个数据67，B 正确；
剔除2 月和5 月的煤炭运输量后，剩余4 个月的煤炭运输量的平均值为
，
C 错误；
设数据变化前后的方差分别为
，根据题中数据有
，
则
，
所以
，
，
所以
，D 正确．
故选：ABD
7．（2025·山东德州·三模）（多选题）某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的
分数，其中分组的区间为
，画出频率分布直方图，已知随机
抽取的成绩不低于80 分的有300 人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正
确的是（ ）
A．学生成绩众数估计为75 分
B．学生成绩的平均数大于中位数
C．此次成绩在
的学生人数为120 人
D．学生成绩的第45 百分位数为70
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计、根据频
率分布直方图计算众数
【分析】根据频率分布直方图估计出众数可判断A，求出平均数与中位数可判断B；由题中条件求出学生
总人数，计算成绩在
的频率及学生人数可判断C；计算第45 百分位数可判断D.
【详解】由频率分布直方图得，成绩在
的频率最高，
所以学生成绩众数估计为
分，故A 正确；
学生成绩的平均数为
，
∵
，
，
∴学生成绩的中位数在
内，设中位数为
，
由
，得到
，
∵
，∴学生成绩的平均数小于中位数，故B 错误；
∵成绩不低于80 分的频率为
，
又随机抽取的成绩不低于80 分的有300 人，∴学生总人数为
，
∵成绩在
的频率为
，
∴此次成绩在
的学生人数为
人，故C 正确；
∵
，
∴学生成绩的第45 百分位数为70，故D 正确，
故选：ACD.
8．（2025 高三·全国·专题练习）（多选题）某利润为50 元的商品连续10 天的日销售量（单位：件）分别
为20，25，45，20，20，40，30，25，45，30，则（ ）
A．日销售量的中位数为30
B．日销售量的众数为20
C．日利润的平均数为1500
D．日利润的方差为225000
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对
方差的影响
【分析】将日销售量从小到大排列，分别求出其中位数，众数，平均数和方差，然后根据平均数和方差的
性质的求解日利润的平均数和方差.
【详解】某商品连续10 天的日销售量（单位：件）从小到大排列为
，
则日销售量的中位数为
，众数为20，故A 错误，B 正确，
日销售量的平均数为
，
日销售量的方差为
，
所以日利润的平均数为
，日利润的方差为
，故CD 正确.
故选：BCD.
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．数据28，13，15，31，16，18，20，24 的中位数是19
B．若
两组成对数据的样本相关系数分别为
，则
组数据比
组数据的线性相
关性更强
C．从小到大顺序排列的数据3，5，
，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6
D．数据
的平均数为
，数据
的平均数为
，则有
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、相关系数
的意义及辨析
【分析】由中位数的概念可判断A，由相关系数的意义可判断B，由极差、平均数、方差的计算公式可判
断CD.
【详解】对于A，从小到大排序如下：13，15，16，18，20，24，28，31，
故中位数为
，正确，
对于B，
，所以
组数据比
组数据的线性相关性更强，正确，
对于C，由题意可知：极差为
，平均数为
，
则
，解得
，所以平均数为
，
方差为
，错误；
对于D，因为
，所以
，
则
，正确；
故选：ABD
10．（2025·甘肃白银·二模）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若一组数据
的方差为0.2，则
的方差为
B．已知一组数据
的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C．
这组数据的第80 百分位数是80
D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为
的两层样本，其样本平均数和样本方差分别
为
和
，若
，则总体方差
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分
位数的估计
【分析】对于A，根据方差的线性运算直接计算可得，对于B，根据平均数可求
，再利用中位数的定义
可求，对于C，根据百分位数的求解步骤直接计算；对于D，利用分层抽样方差公式
，再进行化简运算可得.
【详解】对于A
的方差为
，故A 错误；
对于B，已知一组数据
的平均数为5，则
，即
，
解得
，则数据的中位数为
，故B 正确；
对于C，这组数据从小到大排列为：
，
又
，第8 位数是78，第9 位数是82，
故这组数据的第80 百分位数是
，故C 正确；
对于D，设两层的数据分别为：
和
，
则
，设总体平均数为
，则
，
因为
，所以
.因为
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
11．（2025·新疆喀什·模拟预测）（多选题）已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是
（ ）
A．这组数据的极差为5
B．这组数据的方差为2.5
C．这组数据的众数等于平均数
D．这组数据的第40 百分位数为3.5
【答案】ACD
【难度】0.94
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位
数的估计
【分析】根据极差、方差、众数、平均数、百分位数的定义和公式对选项逐一计算判断即可.
【详解】对于选项A：
极差是数据中最大值与最小值之差，所以这组数据的极差为
，A 正确；
对于选项B：
这组数据的平均值为
，
所以方差为
，B 错误；
对于选项C：
这组数据的平均数为4，众数为4，所以C 正确；
对于选项D：
因为
，是整数，所以这组数据的第40 百分位数为第二项和第三项的平均值为
，
所以D 正确.
故选：ACD.
12．（2025·河北保定·二模）（多选题）防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为
了提高学生的安全意识和自我保护能力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200
名学生的成绩进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为
，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．这200 名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5 分
B．这200 名参赛学生的成绩的平均值为76.5 分
C．这200 名参赛学生的成绩不低于80 分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40 的样本，则成绩在
之间的应抽取20
人
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容
量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计
【分析】对于A，根据上四分位数的概念，结合频率分布直方图的性质，可得其正误；对于B，根据频率
分布直方图的数据，利用平均数估计值的计算，可得其正误；对于C，根据频率分布直方图的性质，可得
其正误；对于D，根据分层抽样的概念，结合频率分布直方图的数据可得每组的比例，可得其正误.
【详解】因为
．
，
所以这200 名参赛学生的成绩的上四分位数即第75 百分位数位于
内，
则这200 名参赛学生的成绩的上四分位数为
，故A 正确；
这200 名参赛学生的成绩的平均值为
分，故B 正确；
这200 名参赛学生的成绩不低于80 分的频率为
，故C 错误；
成绩在
之间的应抽取
人，故D 正确．
故选：ABD．
重难点题型3 总体离散程度的估计之方差与标准差
1．（2025·山东·三模）某班成立了A、B 两个数学兴趣小组，A 组10 人，B 组30 人，经过一周的补习后进
行了一次测试，在该测试中，A 组平均成绩为130 分，方差115，B 组平均成绩为110 分，方差为215，则
在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（ ）
A．115 分，105
B．115 分，265
C．120 分，105
D．120 分，265
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】利用各层平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式可求全班学生的平均数和方差.
【详解】依题意，
，
所以全班学生的平均成绩
（分）；
全班学生成绩的方差为
．
故选：B
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某地统计了辖区内从2017 年至2024 年这8 年的新能源汽车和纯电动汽车
的销量（单位：百辆），得到如下折线图：
现对2021 年至2024 年这4 年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差
分别为
和
，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别为
和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】利用方差公式计算可得
和
的大小，计算出两类车的年增长率，进而可得年均增长率，可得
和
.
【详解】因为2021 年至2024 年这4 年新能源汽车的销量数据为
，
平均数为
，
所以
，
2021 年的年增长率为
，2022 年的年增长率为
，
2023 年的年增长率为
，2024 年的年增长率为
，
这四年的新能源汽车的销量数据和年平均增长率分别为
；
因为2021 年至2024 年这4 年纯电动汽车的销量数据为
，
平均数为
，
所以
，
2021 年的年增长率为
，2022 年的年增长率为
，
2023 年的年增长率为
，2024 年的年增长率为
，
这四年的新能源汽车的销量数据和年平均增长率分别为
；
所以
.
故选：B
3．（2025 高三·全国·专题练习）由诺贝尔自然科学奖的历史数据表明，交叉学科是自然科技领域的重要发
展趋势之一，跨学科研究也成为推动科学进步的关键力量．下图是连续5 年我国交叉学科的建设情况统计
图，则下列关于这5 年我国交叉学科建设情况的说法正确的是（ ）
A．交叉学科总数的第75 百分位数为616
B．交叉学科高校数的平均数为186.8
C．交叉学科高校数的极差为78
D．每年的交叉学科总数与交叉学科高校数的差值越来越小
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】由百分位数、平均数、极差的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，由
，即交叉学科总数的第75 百分位数为第4 个数677，错误，
对于B，交叉学科高校数的平均数为
，错误，
对于C，交叉学科高校数的极差为231－153＝78 正确，
对于D，由图可得从第1 年到第5 年间，交叉学科总数与交叉学科高校数的差值依次为
，
，
，
，
，
所以其差值越来越大，错误，
故选：C
4．（2025·安徽·模拟预测）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利
周年，合肥六中高三
（1）班开展了“铭记历史，缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有
人，女生有
人，根
据统计分析，男、女生成绩的方差分别为
、
，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于，若该
班成绩的方差为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】设男生、女生成绩的平均数分别为
、
，全班成绩的平均数为
，则
，由题意
，利用分层抽样的方差公式可求出
的最大值.
【详解】设男生、女生成绩的平均数分别为
、
，全班成绩的平均数为
，则
，
由题意
，
，即
的最大值为
.
故选：D.
5．（2025·山东泰安·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强
B．在经验回归方程
=
中，当解释变量
每增加时，响应变量
平均增加
C．若
，
，则事件
、
相互独立与
、
互斥不可能同时成立
D．若
，
，…，
这
个数据的平均数为
，方差为
，则
，
，…，
，
这
个数据的
方差为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、相关系数的意义及辨析、独立事件的判断、根据回归方
程进行数据估计
【分析】由回归分析与事件的独立性，互斥事件的概念，方差的计算公式逐项判断即可.
【详解】对于选项A，样本相关系数的绝对值越接近，成对样本数据的线性相关程度越强，故A 正确；
对于选项B， 因为
的系数为
，所以当解释变量
每增加时，响应变量
平均减少
，故B 错误；
对于选项C，若
互斥，则
，
=0；
若
相互独立，则
（因为
，
），
所以事件
相互独立与
互斥不可能同时成立，故C 正确；
对于选项D，
，故D 正确.
故选：ACD.
6．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.75 和
，则甲组数据的线性相关性更强
B．数据1，2，2，5，5，5，7，9，11 的众数和第60 百分位数都为5
C．独立性检验对分类变量关系的研究没有
的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有
多大的实际意义
D．已知数据
的极差为6，方差为2，则数据
的极差和方差分别为
12，8
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、相关系数的意义及辨析、独立性检验解决实际问题、总
体百分位数的估计
【分析】利用相关系数的意义判断A；求出众数、第60 百分位数判断B；利用独立性检验思想判断C；求
出极差、方差判断D.
【详解】对于A，
，则乙组数据的线性相关性更强，A 错误；
对于B，该组数据的众数为5；由
，该组数据的第60 百分位数为5，B 正确；
对于C，独立性检验虽无
的把握，但能提供显著性结论，具有实际意义，C 错误；
对于D，新数据组的极差为
，方差为
，D 正确.
故选：BD
7．（2025·北京·三模）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各
随机抽取10 份，.获得数据如下表：
甲同
学
8
6.5
6
6
7.5
8
8
5.5
9
7.5
乙同
学
6
7
7
7.5
7.5
8.5
9
7
9.5
9
已知数学小练习满分为10 分，最低分为0 分.若小练习得分不低于7.5 分视为“得分达到良好”，若小练习
得分不低于8.5 分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.
(1)从甲同学的样本中随机抽取1 个，求“得分达到良好”的概率；
(2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X 为“得分达到优秀”的次数.估计X 的
分布列和期望：
(3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为
和
，试比较
和
的大小（结论不要求证
明）.
【答案】(1)
(2)分别列见详解，期望
(3)相等
【难度】0.65
【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分
布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可；
（2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X 服从二项分布，计算相关情况概
率，写出分布列并计算期望；
（3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可.
【详解】（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5 共6 个，
所以从甲同学的样本中随机抽取1 个，求“得分达到良好”的概率为
.
（2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9 共4 个，
所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为
，
从中随机抽取3 份，随机变量X 服从二项分布，
，
，
，
，
所以分布列为
X
0
1
2
3
P
期望
.
（3）根据题意样本中甲同学成绩的均值
，
乙同学成绩的均值
，
所以甲同学成绩的方差
，
乙同学成绩的方差
，
所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等.
8．（2025·山西·三模）甲工厂有
，
两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50 件零件统计零件
尺寸的误差（单位：
）如下表：
生产线
抽取件数
平均误
差
标准差
30
0.2
2.1
20
1.1
(1)求这50 件零件尺寸的误差的平均数和标准差；
(2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差
服从正态分布
．以此次抽取样本的平均数和标准差分别
作为
，
的估计值，规定
为一等品，其余为二等品．
（i）若从该工厂生产的零件抽取1000 件，估计其中一等品的件数；
（ii）乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生产的零件中逐
一抽取进行检测，若检测出4 件二等品或抽取件数达到20 件即停止检测．设第
次检测
停止的概率为
，
是否存在最大值？若存在，求
取得最大值时
的值；若不存在，试说明理由．
附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
．
参考数据：
，
．
【答案】(1)平均数为0，标准差为1.79．
(2)（i）680 件；（ii）答案见解析
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、独立事件的乘法公式、正态分布
的实际应用
【分析】（1）根据已知条件和平均数和方差的公式求出平均数和方差，然后即可求得标准差.
（2）对于（i），根据正态分布的性质可求得零件是一等品的概率值，进而可得到一等品的件数；对于
（ii），首先列出
的表达式并化简，然后根据单调性确定其是否有最大值并求得
的值.
【详解】（1）设这50 件零件尺寸误差的平均数为
，方差为
，则
，
，
所以
．
所以这50 件零件尺寸的误差的平均数为0，标准差为1.79．
（2）（i）由（1）得零件尺寸的误差
服从正态分布
，
则
，
零件是一等品的概率估计为0.68，
，
所以估计其中一等品的件数约为680 件．
（ii）第
次检测停止，即前
次抽到3 件二等品，第
次抽到第4 件二等品，
则当
时，
．
当
时，由
， 解得
．
所以当
时，
单调递增；当
时，
单调递减．
综上，
存在最大值.当
时，
取得最大值．
9．（2025·宁夏石嘴山·三模）某学校排球社团为了解性别、身高等因素是否对学生喜欢排球有影响，随机
调查了该校男、女生共100 名，其中部分数据如下：
性别
排球
喜欢
不喜欢
女生
30
30
男生
30
10
(1)经计算，样本中女生身高的平均数和方差分别为168 和48，男生的身高平均数和方差分别为178 和30，
根据以上信息，试估计该校全体学生身高的平均数和方差；
(2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记
次传球后球在甲手中的概率为
.
（i）求
；
（ii）若随机变量
服从两点分布，且
，则
.记前
次
（即从第1 次到第
次）传球中球在甲手中的次数为随机变量
，求
的数学期望，并比较前
次传球中
球分别在甲、乙、丙三人手中的次数的数学期望的大小.
【答案】(1)平均数172，方差64.8；
(2)（i）
；（ii）
.
【难度】0.4
【知识点】分组（并项）法求和、计算几个数据的极差、方差、标准差、递推法求概率、求离散型随机变
量的均值
【分析】（1）利用分层抽样的平均数、方差公式列式计算即可.
（2）（i）根据给定条件可得递推公式
，再利用构造法求出通项公式；（ii）由
结合分组求和及等比数列前n 项和公式，求出
，再求出球在乙、丙手中的次
数的数学期望并比较大小.
【详解】（1）样本平均数
；
样本方差为
.
（2）（i）依题意，
，则
，
又
，因此数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，
所以
.
（ii）由（i）知
，
则当
时，
，
记
次传球后球在乙手中的概率为
，前
次传球中球在乙、丙手中的次数分别为随机变量
，
则
，
，而
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
，即
，
，
同理
，因此
，
又
，
所以
.
10．（2025·辽宁·三模）某农业兴趣小组为比较长效肥和缓释肥这两种肥料的作用，进行了一个季度的对
比试验，长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的同一种植物分别对应第
组．分别从第
组各随机
抽取20 株并测出株高，得到的60 个样本数据分组整理如下表所示：
株高（单位：厘
米）
第1 组（长效肥）
2
10
6
2
第2 组（缓释肥）
3
8
8
1
第3 组（未施肥）
8
5
6
1
(1)从第一组20 株植物中随机抽取2 株，求至少有一株株高在
内的概率；
(2)为了进一步研究，从这三组植物中各随机抽取1 株，记这3 株植物中恰有X 株的株高在
内，求X
的分布列和数学期望（假设植物的生长情况相互独立，用频率估计概率）；
(3)已知这三组植物的平均株高分别为
，株高的方差分别为
，
求样本的平均数和方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)9.3；6.83
【难度】0.65
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、写出
简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）根据排列组合求出事件
的概率.
（2）分别算出从三组中抽取一株株高在特定区间的概率，确定
可能取值，根据独立事件概率公式求出
各取值的概率，进而列出分布列并计算数学期望.
（3）依据样本平均数计算公式算出平均数；按照样本方差计算方法，结合已知的各组平均数和方差，算
出样本方差.
【详解】（1）设事件
“从第一组20 株植物中随机抽取2 株，至少有一株株高在
”，
则
．
（2）X 的可能取值为
，
则
，
，
，
，
的分布列为
0
1
2
3
．
（3）样本的平均数为
，
所以样本的方差为
，
又
，
类似的，
，
成立，
所以
.
所以样本的平均数为9.3，方差为6.83.
