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专题突破练(分值:82 分)
学生用书
P151
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·广东韶关模拟)已知sin α=- 3
5
,且π<α<3 π
2
,则tan α=( )
A.- 4
5
B.- 3
4
C.3
4
D.4
5
答案C
解析由sin α=-3
5
,π<α<3 π
2
,得cos α=-√1- sin
2α=-4
5
,所以tan α= sin α
cosα = 3
4
.故选C.
2.(2024·浙江杭州期中)已知角α 的终边经过点P(-1,3),则
cos( π +α )
cos(
π
2 +α)-cosα
=( )
A.1
2
B.-1
2
C.1
4
D.-1
4
答案B
解析由题可得,
cos( π +α )
cos(
π
2 +α)-cosα
=-cosα
-sin α -cosα =
cosα
sin α +cosα .已知角α 的终边经过点(-1,3),可
得cos α≠0,且tan α=-3,则
cosα
sin α +cosα =
1
tan α +1
=-1
2
.故选B.
3.(2024·安徽黄山一模)已知sin αsin β=1
5
,cos(α-β)=3
5
,则cos(α+β)=( )
A.-1
5
B.1
5
C.18
25
D.-23
25
答案B
解析因为sin αsin β=1
5
,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β+1
5 = 3
5
,解得cos αcos β=2
5
,故
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2
5 - 1
5 = 1
5
.故选B.
4.(2024·福建漳州一模)在平面直角坐标系Oxy 中,A(-1,2),B(2,2),射线OB 逆时针旋转最小角θ,使得
OB 与OA 重合,则tan θ=( )
A.3
B.2
C.4
D.5
答案A
解析如图,设角α,β 终边上的点分别为A,B,A(-1,2),B(2,2),
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则tan α= 2
-1
=-2,tan β=2
2
=1.因为射线OB 逆时针旋转最小角θ,使得OB 与OA 重合,所以α=β+θ,所以
tan θ=tan(α-β)= tan α - tan β
1+ tan α tan β =-2-1
1+(-2)×1
=3.
故选A.
5.(2024·河北沧州二模)化简cos20°-sin30°cos 40°
sin 40°cos60°
=
( )
A.1
B.√3
C.2
D.2√3
3
答案B
解析由题得cos20°-sin30°cos 40°
sin 40°cos60°
=cos(60°- 40°)-sin30°cos 40°
sin 40°cos60°
= sin 60°sin 40°
sin 40°cos60°
=tan 60°=√3.故选B.
6.(2024·江西鹰潭一模)已知θ∈(0, π
2),tan(θ+ π
4)=-2
3
tan θ,
cos(θ+ π
2)cos2θ
√2sin(θ+ π
4)
=( )
A.-1
2
B.-3
5
C.3
D.3
5
答案D
解析因为tan(θ+ π
4)=-2
3
tan θ,所以tanθ+1
1- tanθ
=-2
3
tan θ,整理可得2tan2θ-5tan θ-3=0.又θ∈(0, π
2),即
tan θ>0,解得tan θ=3,
所以
cos(θ+ π
2)cos2θ
√2sin(θ+ π
4)
=-sinθ(co s
2θ - sin
2θ)
sinθ+cosθ
=-sin θ(cos θ-sin θ)=
-sinθcosθ+ sin
2θ
sin
2θ+co s
2θ
=- tanθ+tan
2θ
tan
2θ+1
=-3+3
2
3
2+1
= 3
5
.故选D.
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7.(2024·江苏南通二模)若cos α,cos(α - π
6),cos(α + π
3)成等比数列,则sin 2α=( )
A.√3
4
B.-√3
6
C.1
3
D.-1
4
答案B
解析由cos α,cos(α - π
6),cos(α + π
3)成等比数列,得cos2(α - π
6)=cos αcos(α + π
3),
即1
2
[1+cos(2α - π
3)]=cos α(1
2
cos α-√3
2
sin α),则1
2 + 1
4
cos 2α+√3
4
sin 2α=1
4 + 1
4
cos 2α-√3
4
sin 2α,所以
sin 2α=-√3
6
.故选B.
8.(2024·河南新乡二模)已知sin(130°+α)=2cos 20°cos α,则tan(α+45°)=( )
A.-2+√3
B.2-√3
C.2+√3
D.-2-√3
答案A
解析由题得,sin(130°+α)=sin[150°+(α-20°)]=1
2
cos(α-20°)-√3
2
sin(α-20°),
2cos 20°cos α=cos(α+20°)+cos(α-20°).
因为sin(130°+α)=2cos 20°cos α,
所以1
2
cos(α-20°)-√3
2
sin(α-20°)=cos(α+20°)+cos(α-20°),所以-1
2
cos(α-20°)-√3
2
sin(α-20°)=cos(α+20°),
即cos[120°+(α-20°)]=cos(α+20°),
即cos(100°+α)=cos(α+20°),
所以100°+α=α+20°+k·360°或100°+α+α+20°=k·360°,k∈Z,所以α=-60°+k·180°,k∈Z,故tan
α=tan(-60°+k·180°)=-√3,k∈Z,
所以tan(α+45°)=-√3+1
1+√3 =√3-2.故选A.
二、选择题:本题共2 小题,每小题6 分,共12 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·广东佛山一模)已知角θ 的终边过点P(3,4),则( )
A.cos 2θ=- 7
25
B.tan 2θ=-24
7
C.cosθ
2 = 2√5
5
D.tanθ
2 = 1
2
答案ABD
解析因为角θ 的终边过点P(3,4),
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所以cos θ=
3
√3
2+ 4
2 = 3
5
,sin θ=
4
√3
2+ 4
2 = 4
5
,tan θ=4
3
,所以cos 2θ=2cos2θ-1=2× 9
25
-1=- 7
25
,tan 2θ=
2tanθ
1-tan
2θ
=
2× 4
3
1- 16
9
=-24
7
,故A,B 正确;
因为2kπ<θ<2kπ+π
2
(k∈Z),所以kπ<θ
2
<kπ+π
4
(k∈Z),即角θ
2
的终边位于第一象限或第三象限,所以tan
θ
2
>0,但cosθ
2
>0 或cosθ
2
<0 均满足题意,故C 错误;
由tan θ= 2tan θ
2
1-tan
2 θ
2
= 4
3
,得2tan2θ
2
+3tanθ
2
-2=0,解得tanθ
2
=-2(舍去)或tanθ
2 = 1
2
,故D 正确.故选ABD.
10.(2024·河北保定二模)一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标,无论
是横坐标x 还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P 的横坐标x、纵坐标y 都是角α 的函数.下面给出
这些函数的定义:
①把点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;
②把点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数,记作cos α,即x=cos α;
③把点P 的纵坐标y 的倒数叫做α 的余割,记作csc α,即1
y
=csc α;
④把点P 的横坐标x 的倒数叫做α 的正割,记作sec α,即1
x
=sec α.
下列结论正确的有( )
A.csc 5 π
4
=-√2
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x 的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
答案ABD
解析由题得,csc
5 π
4 =
1
sin 5 π
4
=-√2,故A 正确;
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cos α·sec α=cos α·
1
cosα
=1,故B 正确;
函数f(x)=sec x 的定义域为{x|x≠kπ+π
2
,k∈Z},故C 错误;
sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+
1
co s
2α
+
1
sin
2α
=1+
1
sin
2α co s
2α
=1+
4
sin
22α
≥5,
当sin 2α=±1 时,等号成立,故D 正确.
故选ABD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
11.(2024·上海奉贤二模)已知α∈[0,π],且2cos 2α-3cos α=5,则α= .
答案π
解析已知2cos 2α-3cos α=5,由倍角公式得4cos2α-3cos α-7=(4cos α-7)(cos α+1)=0.
由α∈[0,π],cos α∈[-1,1],
解得cos α=-1,
则α=π.
12.已知α,β∈(0, π
2),且sin α-sin β=-1
2
,cos α-cos β=1
2
,则tan α+tan β= .
答案8
3
解析由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β,
所以sin α+cos α=sin β+cos β,
所以√2sin(α + π
4)=√2sin(β + π
4).
因为α,β∈(0, π
2),
所以α+π
4 ∈(
π
4 , 3 π
4 ),β+π
4 ∈(
π
4 , 3 π
4 ).
又α≠β,所以α+π
4
+β+π
4
=π,故α+β=π
2
,
所以sin α-sin β=sin α-cos α=-1
2
,
两边平方后得sin2α-2sin αcos α+cos2α=1
4
,
故sin αcos α=3
8
,则tan α+tan β=tan α+
1
tan α = sin α
cosα + cosα
sin α =
1
sin α cosα = 8
3
.
13.(2024·河北邯郸二模)正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图
所示的五角星中,以A,B,C,D,E 为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cos α+cos 2α+cos 3α+cos
4α= ,cos αcos 2αcos 3α·cos 4α=
.
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答案0 1
16
解析由题可得,正五角星可分割成5 个三角形和1 个正五边形,五个三角形各自的内角之和为180°,则
正五边形的内角和180°×(5-2)=180°×3=540°,每个角为540°
5
=108°.因为三角形是等腰三角形,底角
是五边形的外角,即底角为180°-108°=72°.又三角形内角和为180°,那么三角形顶角,即五角星尖角为
180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=36°.
则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=cos 36°+cos 72°+cos 108°+cos 144°=cos 36°+cos 72°+cos(180°-72°)
+cos(180°-36°)=cos 36°+cos 72°-cos 72°-cos 36°=0,cos αcos 2αcos 3αcos 4α=cos 36°cos 72°cos 108°cos
144°=(cos 36°cos 72°)2.
因为cos 36°cos 72°=2sin36°·cos36°·cos72°
2sin36°
= sin72°·cos72°
2sin36°
= sin144°
4 sin36° = 1
4
,
所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α= 1
16
.
四、解答题:本题共1 小题,共15 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14.(15 分)已知α,β∈0,π
2
,sin(2α+β)=2sin β,求tan β 的最大值.
解因为α,β∈0,π
2
,sin(2α+β)=2sin β,
所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],
即3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α,
所以tan(α+β)=3tan α.因为tan α>0,tan β>0,所以tan β=tan[(α+β)-α]= tan(α + β )- tan α
1+ tan(α + β )tan α
,所以tan
β=
2tan α
1+3tan
2α
=
2
1
tan α +3 tan α
≤
2
2√
1
tan α ·3 tan α
= √3
3 ,当且仅当
1
tan α
=3tan α,即tan α=√3
3
时,
等号成立,
所以tan β 的最大值为√3
3
.
