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第 04 讲 空间直线、平面的垂直
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图所示，AB是圆O的直径，C是异于
A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直
角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 是等边三角
形，平面 底面 ， ，四棱锥 的体积为 ， 为 的中点．线段 的长
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）在长方体 中， ， ，点 在棱 上，
若直线 与平面 所成的角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面
是（ ）A．平面ABCD B．平面PBC
C．平面PAD D．平面PCD
5．（2023·重庆·高二统考学业考试）如图，在长方体 中， ， ，则四棱
锥 的体积是（ ）
A．6 B．9 C．18
6．（2023·全国·高一专题练习）在矩形ABCD中， ， ，若 平面ABCD，且 ，则点
A到平面PBD的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）如图，在正三棱柱 中，底面边长为6，侧棱长为
8，D是侧面 的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京·高三专题练习）已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且
，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱ABC﹣ABC 中，AB=AA=1，P为线段BC 上的动点，
1 1 1 1 1 1
则下列结论中正确的是（ ）
A．点A到平面ABC的距离为 B．平面APC与底面ABC的交线平行于AP
1 1 1
C．三棱锥P﹣ABC的体积为定值 D．二面角A-BC-A的大小为
1 1
三、填空题
10．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）在三棱锥 中， 平面
，则三棱锥 的表面积为__________．
11．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在斜三棱柱 中， ，则
在面 上的射影H必在__________．
①直线 上 ②直线 上 ③直线 上 ④ 内部
四、解答题
12．（2023春·高一课时练习）如图，四棱锥 的底面ABCD是菱形， ， ，F是
PB的中点，连接AC，BD，且AC与BD交于点E，连接EF.(1)求证： 平面PCD；
(2)求证：平面 平面PAC.
13．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，三棱柱 的侧面 是边长为1的正方形，侧面
侧面 ， ， ，G是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若P为线段BC的中点，求三棱锥 的体积．
B能力提升
1．（2023春·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知正方形 的边长为 ，现将 沿对
角线 翻折，得到三棱锥 .记 的中点分别为 ，则下列结论错误的是△（ ）
A． 与平面 所成角的范围是
B．三棱锥 体积的最大值为
C． 与 所成角的范围是
D．三棱锥 的外接球的表面积为定值
2．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）如图一，矩形 中， ， 交对角线 于点 ，交 于点 ．现将 沿 翻折至 的位置，如图二，点 为棱 的中点，则下列
判断一定成立的是（ ）
A． B． 平面
C． 平面 D．平面 平面
3．（2023春·高一课时练习）已知点P在正方体 的侧面 及边界上运动，并保持
，若正方体的棱长为1，则PC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·高一专题练习）在古代数学中，把正四棱台叫做方亭，数学家刘徽用切割的方法巧妙地
推导出了方亭的体积公式 ， 为方亭的下底面边长， 为上底面边长， 为高.某地计
划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠，渠的横截面为等腰梯形，上底为 米，下底为 米，深 米，长为
米，并把挖出的土堆成一个方亭，设计方亭的下底面边长为 米，高为 米，则其侧面与下底面所
成的二面角的正切值为________.
5．（2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考期中）如图1，在平行四边形ABCD中，
，将 沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．
(1)证明：平面 平面PAD；
(2)当二面角 的平面角的正切值为 时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．C综合素养
1．（多选）（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）如图，正三棱锥 和正三棱锥
的侧棱长均为 ， .若将正三棱锥 绕 旋转，使得点E，P分别旋转至点A，
处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，则（ ）
A． B．
C．多面体 的外接球的表面积为 D．点P与点E旋转运动的轨迹长之比为
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考阶段练习）如图，正四棱柱
中， ，E，F分别为 ， 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． 平面BEF
B．直线 与直线BF所成的角为
C．平面BEF与平面ABCD的夹角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为
3．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）在边长为 的正方形 中，点M是 的中点，点N
是 的中点（如图a），将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使B，A，C三点重
合于点G，得到三棱锥 （如图b），设 ， ， 与平面 所成角分别为 ， ，
，平面 ，平面 ，平面 与平面 所成角分别为 ， ， ，则
__________．4．（2023·北京·人大附中校考三模）已知四棱锥 的底面为梯形 ，且 ，又
， ， ，平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)判断直线 和 的位置关系，并说明理由；
(2)若点 到平面 的距离为 ，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角 余弦值大
小．
① ；
② 为二面角 的平面角．
5．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，直三棱柱 中， ， ， 、
分别是 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)求证：平面 平面 ；(4)求 与 的夹角．
