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培优点3 泰勒展开式
分值：60 分
一、单项选择题(每小题5 分，共15 分)
1.(2024·郑州统考)计算器计算ex，ln x，sin x，cos x 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯
片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运
算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+f
'( x0)
1！
(x-x0)+f
' '( x0)
2！
(x-x0)2+f
' ' '( x)
3！(x-x0)3+…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)
是f'(x)的导数，f' ' '(x)是f″(x)的导数，….取x0=0，则sin 1 精确到0.01 的近似值为( )
A.0.82
B.0.84
C.0.86
D.0.88
2.已知a=e0.1-1，b=sin 0.1，c=ln 1.1，则( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.c<a<b
D.c<b<a
3.设a=2ln 1.01，b=ln 1.02，c=√1.04-1，则( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<a<b
二、多项选择题(共6 分)
4.(2025·沈阳模拟)泰勒公式通俗地讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下
面给出两个泰勒展开式：
ex=1+x+ x
2
2！+ x
3
3！+ x
4
4！+…+ x
n
n！+…；
sin x=x- x
3
3！+ x
5
5！- x
7
7！+…+(-1)n-1·
x
2n-1
(2n-1)！+….
由此可以判断下列各式中正确的是( )
A.eix=cos x+isin x(i 是虚数单位)
B.eix=-i(i 是虚数单位)
C.2x≥1+xln 2+( x ln2)
2
2
(x≥0)
D.cos x<1- x
2
2 + x
4
24 (x∈(0，1))
三、填空题(共5 分)
5.数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x=x- x
3
3！+ x
5
5！- x
7
7！+…+(-1)n-1
x
2n-1
(2n-1)！+…(n∈N*)，称为正弦
函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x 的近似值.
如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6 米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角
∠BAC=30°，气球的视角α=2°，则该气球的高BC 约为 米.(精确到1 米)
四、解答题(共34 分)
6.(17 分)(2024·合肥模拟)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0 处n(n∈N*)阶导数
都存在时，f(x)在x=0 处的n 阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+f ″(0)
2！x2+f
(3)(0)
3！x3+…+f
(n)(0)
n！xn+….注：f″(x)
表示f(x)的2 阶导数，即为f'(x)的导数，f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出f(x)= 1
1- x 的泰勒展开式(只需写出前4 项)；(4 分)
(2)根据泰勒公式估算sin1
2的值，精确到小数点后两位；(4 分)
(3)证明：当x≥0 时，ex- x
2
2 -sin x-cos x≥0.(9 分)
7.(17 分)(2024·廊坊模拟)对于函数f(x)，规定f'(x)=[f(x)]'，f″(x)=[f'(x)]'，f(3)(x)=[f″(x)]'，…，f(n)(x)=[f(n-1)(x)]'，
f(n)(x)叫做函数f(x)的n 阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a，b)上具有直到(n+1)阶的导数，则对任意
x∈(a，b)，f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f ″( x0)
2！
(x-x0)2+f
(3)( x0)
3！
·(x-x0)3+…+f
(n)( x0)
n！
(x-x0)n+Rn(x)，该公式称为函数
f(x)在x=x0处的n 阶泰勒展开式，Rn(x)是此泰勒展开式的n 阶余项.已知函数f(x)=ln(x+1).
(1)写出函数f(x)在x=1 处的3 阶泰勒展开式(Rn(x)用R3(x)表示即可)；(4 分)
(2)设函数f(x)在x=0 处的3 阶余项为g(x)，求证：对任意的x∈(-1，1)，g(x)≤0；(4 分)
(3)求证：(1+ 1
2)(1+ 1
2
2)(1+ 1
2
3)…(1+ 1
2
n)<e
37
42(n∈N*).(9 分)
答案精析
1.B [根据题意，f(x)=sin x，f'(x)=cos x，f″(x)=-sin x，f' ' '(x)=-cos x，…，
取x0=0，可得f(x)=f(0)+f
'(0)
1！x+f
' '(0)
2！x2+f
' ' '(0)
3！x3+…，
则f(x)=sin x=0+1×x+0×x2+(-1)× 1
3！x3+0×x4+1× 1
5！x5+…=x-1
6x3+ 1
120x5+…，
令x=1，代入上式可得f(1)=sin 1=1-1
6+ 1
120+…=101
120+…≈0.84，
所以sin 1≈0.84.]
2.D [∵sin x=x- x
3
3！+ x
5
5！-…，
ln(1+x)=x- x
2
2 + x
3
3 -…，
ex=1+x+ x
2
2！+ x
3
3！+…，
∴sin 0.1=0.1-0.1
3
6 +0.1
5
120 -…，
ln 1.1=0.1-0.1
2
2 +0.1
3
3 -…，
e0.1=1+0.1+0.1
2
2 +0.1
3
6 +…，
则e0.1-1=0.1+0.1
2
2 +0.1
3
6 +…，
∴ln 1.1<sin 0.1<0.1<e0.1-1，
故c<b<a.]
3.B [因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02，
所以a>b，排除A，D；
由公式ln(1+x)=x- x
2
2 +…，
得a=2ln(1+0.01)
≈2×(0.01- 0.01
2
2 )
≈0.02-0.000 1=0.019 9，
由公式(1+x)α=1+αx+α(α -1)
2！
x2+…，
得c=(1+0.04)
1
2-1≈1
2×0.04-
1
4
2
×0.042≈0.02-0.000 2=0.019 8，
所以a>c，排除C.]
4.ACD [对于A，B，由sin x=x- x
3
3！+ x
5
5！- x
7
7！+…+(-1)n-1
x
2n-1
(2n-1)！+…，
两边求导得cos x=1- x
2
2！+ x
4
4！- x
6
6！+…+(-1)n-1
x
2n-2
(2n-2)！+…，
isin x=xi- x
3i
3！+ x
5i
5！- x
7i
7！+…+(-1)n-1·
x
2n-1i
(2n-1)！+…，
cos x+isin x=1+xi- x
2
2！- x
3i
3！+ x
4
4！+ x
5i
5！- x
6
6！- x
7i
7！+…+(-1)n-1·
x
2n-2
(2n-2)！+(-1)n-1
x
2n-1i
(2n-1)！+…，
又eix=1+xi+( xi)
2
2！+( xi)
3
3！+( xi)
4
4！+…+( xi)
n
n！+…
=1+xi- x
2
2！- x
3i
3！+ x
4
4！+ x
5i
5！- x
6
6！- x
7i
7！+…+(-1)n-1
x
2n-2
(2n-2)！+(-1)n-1
x
2n-1i
(2n-1)！+…
=cos x+isin x，
故A 正确，B 错误；
对于C，已知ex=1+x+ x
2
2！+ x
3
3！+ x
4
4！+…+ x
n
n！+…，则ex≥1+x+ x
2
2！.
因为2x=exln 2(x≥0)，则exln 2≥1+xln 2+( x ln2)
2
2！
，即2x≥1+xln 2+( x ln2)
2
2
(x≥0)成立，故C 正确；
对于D，cos x=1- x
2
2！+ x
4
4！- x
6
6！+ x
8
8！- x
10
10！+…+(-1)n-1
x
2n-2
(2n-2)！+…
=(1- x
2
2！+ x
4
4！)- x
6
6！+ x
8
8！- x
10
10！+…-
x
2n
(2n)！+
x
2n+2
(2n+2)！-…(n 为奇数)，
当x∈(0，1)时，- x
6
6！+ x
8
8！<0，- x
10
10！+ x
12
12！<0，…，
-
x
2n
(2n)！+
x
2n+2
(2n+2)！
= x
2n[ x
2-(2n+1)(2n+2)]
(2n+2)！
<0，x∈(0，1)，
所以- x
6
6！+ x
8
8！- x
10
10！+…-
x
2n
(2n)！+
x
2n+2
(2n+2)！-…<0，
所以cos x<1- x
2
2！+ x
4
4！=1- x
2
2 + x
4
24 (x∈(0，1))成立，故D 正确.]
5.86
解析 由题意过点B 作切线的垂线交于点D，
在△ABD 中，
BD=3，
sin 1°=BD
AB ，
所以AB= BD
sin1° ，
在Rt△ABC 中，sin∠BAC=sin 30°=BC
AB ，
联立可得BC=
3
2sin1° =
3
2sin π
180
≈
3
2· π
180
≈86.
6.(1)解 f(x)= 1
1- x ，f'(x)=
1
(1- x)
2，f″(x)=
2
(1- x)
3，f (3)(x)=
6
(1- x)
4，
f(0)=f'(0)=1，f″(0)=2，f (3)(0)=6，
所以f(x)= 1
1- x =1+x+x2+x3+….
(2)解 因为(sin x)'=cos x，(cos x)'=-sin x，
可得sin x=x- x
3
3！+ x
5
5！- x
7
7！+…，
故sin1
2=1
2- 1
48+…≈0.48.
(3)证明 方法一 由泰勒展开式ex=1+x+ x
2
2！+ x
3
3！+ x
4
4！+ x
5
5！+…+ x
n
n！+…，
易知当x≥0 时，ex≥1+x+ x
2
2 ，
所以ex- x
2
2 -sin x-cos x≥1+x+ x
2
2 - x
2
2 -sin x-cos x
=1+x-sin x-cos x≥x-sin x，
令g(x)=x-sin x，
则g'(x)=1-cos x≥0，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
故g(x)≥g(0)=0，
即证得当x≥0 时，ex- x
2
2 -sin x-cos x≥0.
方法二 令G(x)=ex- x
2
2 -sin x-cos x，
G'(x)=ex-x-√2cos(x + π
4)，
易知当x∈[0，3 π
4 )时，y=ex-x，
y=-√2cos(x + π
4)均单调递增，
所以G'(x)=ex-x-√2cos(x + π
4)单调递增，
所以G'(x)≥G'(0)=0，
所以当x∈[0，3 π
4 )时，G(x)单调递增，
所以G(x)≥G(0)=0，
当x∈[
3 π
4 ，+ ∞)时，
G(x)=ex- x
2
2 -sin x-cos x
≥ex- x
2
2 -2，
令F(x)=ex- x
2
2 -2，
则F'(x)=ex-x>0，
则F(x)=ex- x
2
2 -2 单调递增，
则当x∈[
3 π
4 ，+ ∞)时，F(x)=ex- x
2
2 -2>F(2)=e2-4>0，
综上，原不等式得证.
7.(1)解 由f(x)=ln(x+1)，
得f'(x)= 1
x +1，f″(x)=-
1
( x +1)
2，
f (3)(x)=
2
( x +1)
3，
所以f(1)=ln 2，f'(1)=1
2，
f″(1)=-1
4 ，f (3)(1)=1
4 ，
所以函数f(x)在x=1 处的3 阶泰勒展开式为f(x)=ln 2+1
2(x-1)-1
8(x-1)2+ 1
24 (x-1)3+R3(x).
(2)证明 由(1)，得f(0)=0，f'(0)=1，f″(0)=-1，f (3)(0)=2.
所以函数f(x)在x=0 处的3 阶泰勒展开式为f(x)=x-1
2x2+1
3x3+R3(x)，
所以g(x)=R3(x)=ln(x+1)-x+1
2x2-1
3x3.
g'(x)= 1
x +1-1+x-x2=- x
3
x +1，令g'(x)=0，得x=0，
当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减.
所以g(x)≤g(0)=0，
即对任意的x∈(-1，1)，g(x)≤0.
(3)证明 由(2)知，当x∈(0，1)时，
g(x)=ln(x+1)-x+1
2x2-1
3x3<0，
即ln(x+1)<x-1
2x2+1
3x3，
因为1
2
n∈(0，1)(n∈N*)，所以ln(1+ 1
2
n)< 1
2
n-1
2· 1
4
n+1
3· 1
8
n.
ln(1+ 1
2)+ln(1+ 1
2
2)+ln(1+ 1
2
3)+…+ln(1+ 1
2
n)<1
2+ 1
2
2+…+ 1
2
n-1
2(
1
4 + 1
4
2 +…+ 1
4
n)+1
3(
1
8 + 1
8
2 +…+ 1
8
n)
=
1
2(1- 1
2
n)
1- 1
2
-1
2×
1
4(1- 1
4
n)
1- 1
4
+1
3×
1
8(1- 1
8
n)
1- 1
8
=37
42+1
6· 1
4
n- 1
2
n- 1
21· 1
8
n，
因为37
42+1
6· 1
4
n- 1
2
n- 1
21· 1
8
n<37
42+1
6· 1
4
n- 1
2
n
=37
42+1
6(
1
4
n - 6
2
n)
=37
42+1
6·1-6·2
n
4
n
<37
42(n∈N*)，
所以ln(1+ 1
2)+ln(1+ 1
2
2)+
ln(1+ 1
2
3)+…+ln(1+ 1
2
n)<37
42，
即ln[(1+ 1
2)(1+ 1
2
2)(1+ 1
2
3)…
(1+ 1
2
n)]<37
42，
所以(1+ 1
2)(1+ 1
2
2)(1+ 1
2
3)…(1+ 1
2
n)<e
37
42(n∈N*).
