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进阶5 解析几何中的定值问题
分值：34 分
1.(17 分)已知椭圆C：x
2
4 +y2=1，A，B 是椭圆C 的左、右顶点，点P 是椭圆上异于A，B 的任意一点.
(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；(7 分)
(2)设经过D(1，0)且斜率不为0 的直线l 交椭圆于M，N 两点，直线AM 与直线BN 交于点Q，求证：⃗OA·⃗
OQ为定值.(10 分)
2.(17 分)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且顶点到渐近线的距离为2√5
5
，
点P 是双曲线C 右支上一动点(不与A2重合)，且满足PA1，PA2的斜率之积为4.
(1)求双曲线C 的标准方程；(7 分)
(2)过点Q(-2，0)的直线l 与双曲线C 交于x 轴上方的M，N 两点，若E 是线段MN 的中点，F 是线段MN 上
一点，且| MF |
| NF | =| MQ|
| NQ| ，O 为坐标原点，试判断直线OE，OF 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该
定值；若不是，请说明理由.(10 分)
答案精析
1.证明 (1)由题意，设点P(x0，y0)，A(-2，0)，B(2，0)，
则直线PA 的斜率为kPA=
y0
x0+2 ，
直线PB 的斜率为kPB=
y0
x0-2 ，
所以kPA·kPB=
y0
x0+2·
y0
x0-2=
y0
2
x0
2- 4
，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，
可得x0
2
4
+y0
2=1，
即y0
2=1- x0
2
4
=4 - x0
2
4
，
所以kPA·kPB=
y0
2
x0
2- 4
=-1
4 ，
即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.
(2)由直线l 过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l 的方程为x=ky+1，
联立{
x =ky +1,
x
2
4 + y
2=1,
整理得(k2+4)y2+2ky-3=0，Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=- 2k
k
2+ 4
，y1y2=-
3
k
2+ 4
，
则
y1+ y2
y1 y2
=2k
3 ，
即3y1+3y2=2ky1y2，
又由直线AM：y=
y1
x1+2(x+2)，
直线BN：y=
y2
x2-2(x-2)，
联立方程组，
可得
y1
x1+2(x+2)=
y2
x2-2(x-2)，
整理得x +2
x -2=
y2
x2-2·
x1+2
y1
=
y2
k y2-1·k y1+3
y1
=k y1 y2+3 y2
k y1 y2- y1
=k y1 y2+2k y1 y2-3 y1
k y1 y2- y1
=3，
解得x=4，即点Q(4，yQ)，
又由向量⃗OA=(-2，0)，⃗OQ=(4，yQ)，
所以⃗OA·⃗OQ=-2×4+0×yQ=-8，
即⃗OA·⃗OQ为定值.
2.解 (1)双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±b
ax，即bx±ay=0，
因为顶点到渐近线的距离为2√5
5
，
所以|ab|
√a
2+b
2=ab
c =2√5
5
，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(-a，0)，A2(a，0)，
则k P A1·k P A2=
y0
x0+a·
y0
x0-a=4，
所以y0
2=4(x0
2-a2)，
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以x0
2
a
2- y0
2
b
2 =1，
所以y0
2=b
2
a
2 ( x0
2-a2)，所以b
2
a
2=4，
又c2=a2+b2，所以a2=1，b2=4，c2=5，
所以双曲线C 的标准方程为x2- y
2
4 =1.
(2)设直线MN 的方程为x=my-2，
M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
联立{
x
2- y
2
4 =1,
x =my -2,
得(4m2-1)y2-16my+12=0，
则Δ=(-16m)2-4(4m2-1)×12=64m2+48>0，且4m2-1≠0，
所以y1+y2= 16m
4 m
2-1
，y1y2=
12
4 m
2-1
，
因为直线l 与双曲线C 交于x 轴上方的M，N 两点，
所以{
y1+ y2>0,
y1 y2>0,
即{
16m
4 m
2-1
>0,
12
4 m
2-1
>0,
解得m>1
2 ，
所以yE= y1+ y2
2
=
8m
4 m
2-1
，xE=myE-2=
2
4 m
2-1
，
即E(
2
4 m
2-1
，
8m
4 m
2-1)，
所以kOE=
y E
xE
=4m，
又| MF |
| NF | =| MQ|
| NQ| ，所以
y F - y1
y2- y F
=
y1
y2
，
所以yF=
2 y1 y2
y1+ y2
=
24
4 m
2-1
16m
4 m
2-1
= 3
2m ，
所以xF=myF-2=-1
2 ，
所以F(- 1
2 ，3
2m)，
所以kOF=
yF
xF
=- 3
m ，
所以kOE·kOF=4m·(- 3
m)=-12，
即直线OE，OF 的斜率之积为定值-12.
