文档文本内容
进阶5 解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线
斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一
个确定的数值.
解决定值问题的基本方法是函数方法
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤
数量积为定值；⑥系数和为定值.
题型一 与斜率、角度有关的定值问题
例1 已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)已知点T(t，0)，若E 上存在一点P，使得⃗PO·⃗PT＝－1，求t 的取值范围；
(3)过M(－4，0)的直线交E 于A，B 两点，过N(－4，4√3)的直线交E 于A，C 两点，B，C 位于x 轴的
同侧，证明：∠BOC 为定值.
(1)解 由题意可知，焦点F 到准线的距离为p＝2，
所以抛物线E 的标准方程为y2＝4x.
(2)解 设P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0，
则⃗PO＝(－x，－y)，⃗PT＝(t－x，－y)，
可得⃗PO·⃗PT＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1，
显然x＝0 不满足上式，
则x>0，可得t－4＝x＋1
x ，
又因为x＋1
x ≥2√x· 1
x ＝2，当且仅当x＝1
x ，
即x＝1 时，等号成立，
则t－4≥2，即t≥6，
所以t 的取值范围为[6，＋∞).
(3)证明 设A(
y1
2
4 ，y1)，B(
y2
2
4 ，y2)，C(
y3
2
4 ，y3)，
则直线AB 的斜率kAB＝
y1- y2
y1
2
4 - y2
2
4
＝
4
y1＋y2，
可得直线AB 的方程为y－y1＝
4
y1＋y2(x - y1
2
4 )，
整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理可得，直线AC 的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
由题意可得{
-16＋y1 y2＝0,
-16- 4√3( y1＋y3)＋y1 y3＝0,
整理得4(y3－y2)＝√3(y2y3＋16)，
又因为直线OB，OC 的斜率分别为kOB＝
y2
y2
2
4
＝4
y2，
kOC＝
y3
y3
2
4
＝4
y3，
显然∠BOC 为锐角，则
tan∠BOC＝|
kOB-kOC
1＋kOB·kOC|＝|
4
y2
- 4
y3
1＋4
y2
· 4
y3|
＝|
4( y3- y2)
y2 y3＋16|＝|
√3( y2 y3＋16)
y2 y3＋16 |＝√3，
所以∠BOC 为定值π
3 .
思维升华 解决定值问题的处理技巧
(1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢.
跟踪训练1 (2025·邯郸模拟)已知双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，
B(2，0)，离心率为√7
2 .过点(4，0)的直线l 与C 的右支交于M，N 两点，设直线AM，BM，BN 的斜率分
别为k1，k2，k3.
(1)若k1＝1
2，求k3；
(2)证明：k2(k1＋k3)为定值.
(1)解 设双曲线C 的焦距为2c，
由题意得，a＝2，c
a ＝√7
2 ，所以c＝√7.
因为c2＝a2＋b2，
所以b＝√3，所以双曲线C 的标准方程为x
2
4 －y
2
3 ＝1.
直线AM 的方程为y＝1
2(x＋2)，
由{
x
2
4 - y
2
3 ＝1,
y ＝1
2 ( x＋2),
消去y 化简并整理得x2－2x－8＝0，
解得x＝4 或x＝－2，
又因为A 点坐标为(－2，0)，所以M 点的坐标为(4，3).
又直线MN 过点(4，0)，所以直线MN 的方程为x＝4，所以N(4，－3)，k3＝-3-0
4 -2 ＝－3
2.
(2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则k1＝
y1
x1＋2，k2＝
y1
x1-2，k3＝
y2
x2-2.
因为点M，N 在双曲线C：x
2
4 －y
2
3 ＝1 上，
所以k1k2＝
y1
x1＋2·
y1
x1-2 ＝
y1
2
x1
2- 4
＝
3
4 ( x1
2- 4)
x1
2- 4
＝3
4
.
设直线MN 的方程为x＝my＋4，由{
x
2
4 - y
2
3 ＝1,
x＝my ＋4 ,
消去x 化简并整理得(3m2－4)y2＋24my＋36＝0.
则{
3m
2- 4≠0,
Δ＝144(m
2＋4)>0,
y1＋y2＝-24 m
3m
2- 4
,
y1 y2＝
36
3m
2- 4
,
故k2k3＝
y1
x1-2·
y2
x2-2 ＝
y1 y2
(m y1＋2)(m y2＋2) ＝
y1 y2
m
2 y1 y2＋2m( y1＋y2)＋4
＝
36
3m
2- 4
m
2·
36
3m
2- 4
＋2m·-24 m
3m
2- 4
＋4
＝－9
4 .
所以k2(k1＋k3)＝k1k2＋k2k3＝3
4 ＋(- 9
4)＝－3
2，为定值.
题型二 与距离、面积、系数和有关的定值问题
例2 已知椭圆C 的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1 且过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆
于A，B 两点，⃗OA ＋⃗OB与a＝(3，－1)共线.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设M 为椭圆C 上任意一点，且⃗OM＝λ⃗OA＋μ⃗OB(λ，μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值.
(1)解 设椭圆C 的方程为x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)，F(c，0)，则直线AB 的方程为y＝x－c，
联立{
y ＝x -c ,
x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1,
消去y 并整理得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，Δ>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1＋x2＝2a
2c
a
2＋b
2，x1x2＝a
2(c
2-b
2)
a
2＋b
2
，
由⃗OA ＋⃗OB＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，
且⃗OA ＋⃗OB与a 共线，
得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，
又y1＝x1－c，y2＝x2－c，
则3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，
∴x1＋x2＝3c
2 ，即2a
2c
a
2＋b
2 ＝3c
2 ，
可得a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴c
2
a
2 ＝2
3，
∴椭圆C 的离心率为e＝c
a ＝√
2
3 ＝√6
3 .
(2)证明 由(1)知a2＝3b2，
所以椭圆C 的方程x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1 可化为x2＋3y2＝3b2，
设⃗OM＝(x，y)，由⃗OM＝λ⃗OA＋μ⃗OB得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
∴{
x＝λ x1＋μ x2,
y ＝λ y1＋μ y2,
∵M(x，y)在椭圆上，
∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，
∴λ2(x1
2＋3y1
2)＋μ2(x2
2＋3y2
2)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2，①
由(1)知，x1＋x2＝3c
2 ，a2＝3
2c2，b2＝1
2c2，
x1x2＝a
2c
2-a
2b
2
a
2＋b
2
＝3
8c2，
x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)
＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝3
2c2－9
2c2＋3c2＝0，
又x1
2＋3y1
2＝3b2，x2
2＋3y2
2＝3b2，
代入①得，λ2＋μ2＝1，
故λ2＋μ2为定值1.
思维升华 解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，
就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，
就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优
化解法.
跟踪训练2 已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短
半轴长为半径的圆与直线y＝√2x＋3 相切，点P 在椭圆C 上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m 与椭圆C 相交于A，B 两点，且kOA·kOB＝－b
2
a
2，试判断△AOB 的面积是否为定值.
若是，求出定值；若不是，请说明理由.
解 (1)依题意有b＝
3
√2＋1 ＝√3，∴b2＝3，
由|PF1|＝2 及椭圆的定义得|PF2|＝2a－2，
由余弦定理得|P F1|
2＋|P F2|
2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝| F1 F2|
2，
即a2－3a＋3＝c2，
又a2－c2＝b2＝3，∴a＝2，
故椭圆C 的标准方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1.
(2)易知m≠0，联立{
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1,
y ＝kx ＋m,
可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则Δ＝48(3＋4k2－m2)>0，
①
又x1＋x2＝－
8km
3＋4 k
2，x1x2＝4(m
2-3)
3＋4 k
2 ，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3(m
2- 4 k
2)
3＋4 k
2
，
由kOA·kOB＝－b
2
a
2，
可得
y1 y2
x1 x2
＝－3
4 ，∴y1y2＝－3
4 x1x2，
即3(m
2- 4 k
2)
3＋4 k
2
＝－3
4 ·4(m
2-3)
3＋4 k
2 ，
解得2m2－4k2＝3，满足①，
∵|AB|＝√(1＋k
2)[( x1＋x2)
2- 4 x1 x2]
＝√
(1＋k
2)[(-
8km
3＋4 k
2)
2
- 4× 4 m
2-12
3＋4 k
2]
＝2√3·√1＋k
2
|m|
，
设原点到直线l 的距离为d，d＝
|m|
√1＋k
2，
∴S△AOB＝1
2·d·|AB|
＝1
2×
|m|
√1＋k
2×2√3·√1＋k
2
|m|
＝√3，
故S△AOB为定值，定值为√3.
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)已知椭圆C：x
2
4 ＋y2＝1，A，B 是椭圆C 的左、右顶点，点P 是椭圆上异于A，B 的任意一点.
(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；(7 分)
(2)设经过D(1，0)且斜率不为0 的直线l 交椭圆于M，N 两点，直线AM 与直线BN 交于点Q，求证：⃗OA·⃗
OQ为定值.(10 分)
证明 (1)由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA 的斜率为kPA＝
y0
x0＋2，
直线PB 的斜率为kPB＝
y0
x0-2，
所以kPA·kPB＝
y0
x0＋2·
y0
x0-2 ＝
y0
2
x0
2- 4
，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得x0
2
4 ＋y0
2＝1，
即y0
2＝1－x0
2
4 ＝4 - x0
2
4
，
所以kPA·kPB＝
y0
2
x0
2- 4
＝－1
4 ，
即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.
(2)由直线l 过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l 的方程为x＝ky＋1，
联立{
x＝ky ＋1,
x
2
4 ＋y
2＝1,
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－
2k
k
2＋4 ，y1y2＝－
3
k
2＋4 ，
则
y1＋y2
y1 y2
＝2k
3 ，
即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝
y1
x1＋2(x＋2)，
直线BN：y＝
y2
x2-2(x－2)，
联立方程组，可得
y1
x1＋2(x＋2)＝
y2
x2-2(x－2)，
整理得x＋2
x -2 ＝
y2
x2-2·
x1＋2
y1
＝
y2
k y2-1·
k y1＋3
y1
＝
k y1 y2＋3 y2
k y1 y2- y1
＝k y1 y2＋2k y1 y2-3 y1
k y1 y2- y1
＝3，
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量⃗OA＝(－2，0)，⃗OQ＝(4，yQ)，
所以⃗OA·⃗OQ＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即⃗OA·⃗OQ为定值.
2.(17 分)已知双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且顶点到渐近线的距离为
2√5
5
，点P 是双曲线C 右支上一动点(不与A2重合)，且满足PA1，PA2的斜率之积为4.
(1)求双曲线C 的标准方程；(7 分)
(2)过点Q(－2，0)的直线l 与双曲线C 交于x 轴上方的M，N 两点，若E 是线段MN 的中点，F 是线段MN
上一点，且| MF |
| NF | ＝| MQ|
| NQ| ，O 为坐标原点，试判断直线OE，OF 的斜率之积是否为定值.若为定值，求
出该定值；若不是，请说明理由.(10 分)
解 (1)双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±b
ax，即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为2√5
5
，
所以|ab|
√a
2＋b
2 ＝ab
c ＝2√5
5
，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则k P A1·k P A2＝
y0
x0＋a·
y0
x0-a＝4，
所以y0
2＝4(x0
2－a2)，
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以x0
2
a
2 －y0
2
b
2 ＝1，
所以y0
2＝b
2
a
2 ( x0
2－a2)，所以b
2
a
2＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C 的标准方程为x2－y
2
4 ＝1.
(2)设直线MN 的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立{
x
2- y
2
4 ＝1,
x＝my -2,
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝16m
4 m
2-1，y1y2＝
12
4 m
2-1，
因为直线l 与双曲线C 交于x 轴上方的M，N 两点，
所以{
y1＋y2>0,
y1 y2>0,
即{
16m
4 m
2-1
>0,
12
4 m
2-1
>0,
解得m>1
2，
所以yE＝y1＋y2
2
＝
8m
4 m
2-1
，
xE＝myE－2＝
2
4 m
2-1，
即E(
2
4 m
2-1
，
8m
4 m
2-1)，所以kOE＝
y E
xE
＝4m，
又| MF |
| NF | ＝| MQ|
| NQ| ，所以yF - y1
y2- yF
＝y1
y2
，
所以yF＝
2 y1 y2
y1＋y2
＝
24
4 m
2-1
16m
4 m
2-1
＝3
2m，
所以xF＝myF－2＝－1
2，所以F(- 1
2 ，3
2m)，
所以kOF＝
y F
xF
＝－3
m，
所以kOE·kOF＝4m·(- 3
m)＝－12，
即直线OE，OF 的斜率之积为定值－12.
