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进阶6 解析几何中的定直线问题
分值：34 分
1.(17 分)已知抛物线C：x2=4y 的焦点为F，设动点P 的坐标为(m，n).
(1)若m=2，n=1，求过点P 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线方程；(6 分)
(2)设过动点P 的两条直线l1，l2均与C 相切，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，满足(k1-1)(k2-1)=4.证明：动点P
在一条定直线上.(11 分)
2.(17 分)(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)经过D(1，3
2)，E(2，0)两点.作斜率为1
2的直线l
与椭圆G 交于A，B 两点(点A 在点B 的左侧)，且点D 在直线l 上方.
(1)求椭圆G 的标准方程；(5 分)
(2)证明：△DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.(12 分)
答案精析
1.(1)解 当经过点P(2，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x=2，
与抛物线C：x2=4y 有且只有一个公共点P(2，1)，符合题意；
当经过点P(2，1)的直线斜率存在时，不妨设直线方程为y-1=k(x-2)，
代入抛物线方程化简得x2-4kx+8k-4=0，
令Δ=(-4k)2-4(8k-4)=0，
得k=1，
直线方程为x-y-1=0，
因此所求直线方程为x=2 或x-y-1=0.
(2)证明 设过点P 与抛物线C 相切的切线方程为l：y-n=k(x-m)，
由{
y -n=k( x -m),
x
2= 4 y ,
消去y 整理得x2-4kx+4(km-n)=0，
因为l 与抛物线C 相切，
所以Δ=(-4k)2-4×1×4(km-n)=0，
即k2-mk+n=0.
又因为k1，k2是方程k2-mk+n=0 的两根，
则k1+k2=m，k1k2=n，
由(k1-1)(k2-1)=4，
可得k1k2-(k1+k2)-3=0，
即n-m-3=0，
从而动点P(m，n)在直线x-y+3=0 上.
2.(1)解 因为椭圆G 的焦点在x 轴上，且过点E(2，0)，
所以a=2，又椭圆G 过点D(1，3
2)，
所以1
4 + 9
4 b
2=1，解得b2=3，
故椭圆G 的标准方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)证明 如图，设直线l 的方程为y=1
2x+t，
因为点D 在直线l 上方，
所以t<1，
联立{
y = 1
2 x +t ,
x
2
4 + y
2
3 =1,
消去y 得3x2+4(
1
2 x +t)
2
=12，
整理得x2+tx+t2-3=0.
由Δ>0 得t2-4(t2-3)>0⇒t2<4，
则-2<t<2，故-2<t<1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-t，x1x2=t2-3.
若AD⊥x 轴，则A(1，- 3
2)，
代入直线l：y=1
2x+t，得t=-2，不符合题意，
故x1≠1；
同理可得x2≠1.
所以直线AD，BD 的斜率一定存在，
故kAD= y1- 3
2
x1-1
=
1
2 x1+t - 3
2
x1-1
=1
2· x1+2t -3
x1-1
，
kBD=1
2· x2+2t -3
x2-1
，
因为kAD+kBD=1
2·
x1+2t -3
x1-1
+1
2·
x2+2t -3
x2-1
=1
2·
( x1+2t -3)( x2-1)+( x2+2t -3)( x1-1)
( x1-1)( x2-1)
=1
2·2 x1 x2+(2t - 4)( x1+ x2)-2(2t -3)
( x1-1)( x2-1)
=t
2-3-(t -2)t -(2t -3)
( x1-1)( x2-1)
=0，
所以∠ADB 的平分线为直线x=1，
故△DAB 的内切圆圆心一定在直线x=1 上.
