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§6.7 子数列问题
重点解读 子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几
个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位
置，即项不变化，项数变化.
题型一 奇数项与偶数项问题
例1 已知数列{an}满足an+1＝{
2an-1,n 为奇数,
an+1,n 为偶数
且a1＝1.
(1)证明：数列{a2n－1}为等比数列；
(2)求数列{an}的前100 项和S100.
思维升华 数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1＝f(n)或an·an+1＝f(n))；
(2)含有(－1)n的类型；
(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型.
跟踪训练1 (2024·西安模拟)已知正项数列{an}中，a3＝4，a2a5＝32，且ln an，ln an+1，ln an+2成等差数
列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an+(－1)nlog2an+1，求数列{bn}的前n 项和Tn.
题型二 数列的公共项
例2 已知数列{an}的前n 项和Sn＝3n
2+n
2
，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2+1，b3为等差数列.
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n 项和Tn.
思维升华 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列
的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
跟踪训练2 (2025·沈阳模拟)已知数列an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列公共项从小到大排列得到
的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为( )
A.cn＝3n－2
B.cn＝4n－1
C.cn＝5n－3
D.cn＝6n－5
题型三 数列增减项
例3 (2024·滨州模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k＝1，2，…)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的
项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前50 项和T50.
思维升华 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)
了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.
跟踪训练3 已知数列{bn}的前n 项和为Sn，且Sn＝n2+n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.
(1)求数列{bn}与{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}中去掉{an}中的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20 项和.
答案精析
例1 (1)证明 由题意，得当n∈N*时，a2n＝2a2n－1－1，
①
a2n+1＝a2n+1，②
将①代入②，得a2n+1＝2a2n－1，
所以数列{a2n－1}是首项为1，公比为2 的等比数列.
(2)解 由(1)知a2n－1＝2n－1，
因为a2n＝2a2n－1－1，
所以a2n＝2·2n－1－1＝2n－1.
所以S100＝(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)
＝(20+21+…+249)+(21－1+22－1+…+250－1)
＝(20+21+…+249)+(21+22+…+250)－50
＝1×(1-2
50)
1-2
+2×(1-2
50)
1-2
－50
＝3×250－53.
跟踪训练1 解 (1)∵ln an，
ln an+1，ln an+2成等差数列，
∴2ln an+1＝ln an+ln an+2，
即an+1
2
＝anan+2，而an>0，
∴{an}为等比数列，
设{an}的公比为q，q>0，
则{
a3＝a1q
2＝4 ,
a2a5＝a1
2q
5＝32,
得a1＝1，q＝2，∴an＝2n－1.
(2)bn＝2n－1+(－1)nlog22n＝2n－1+(－1)nn，
当n 为偶数时，
Tn＝(1+2+22+…+2n－1)+[－1+2－3+4－…－(n－1)+n]
＝1-2
n
1-2 +n
2＝2n+n-2
2
，
当n 为奇数时，
Tn＝Tn+1－bn+1＝2n+1+n-1
2
－2n－(－1)n+1(n+1)＝2n－n+3
2
，
∴Tn＝{
2
n- n+3
2
(n 为奇数),
2
n+ n-2
2
(n 为偶数).
例2 解 (1)由Sn＝3n
2+n
2
得，
当n＝1 时，a1＝S1＝2，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，
当n＝1 时，上式也成立，
所以an＝3n－1.
依题意，b1+b3＝2(b2+1)，
b1+b1·22＝2(b1·2+1)，
解得b1＝2，所以bn＝2n.
(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，所以21，23，25，27，…构成首项为2，公
比为4 的等比数列，所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1+c2+…+cn＝2(1- 4
n)
1- 4
＝2(4
n-1)
3
.
跟踪训练2 D [因为数列{an}是首项为1，公差为2 的等差数列，而数列{bn}是首项为1，公差为3 的等
差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6 的等差数列，故cn＝
1+(n－1)×6＝6n－5.]
例3 解 (1)因为数列{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5，
可得公差d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，
所以an＝1+2(n－1)＝2n－1.
(2)因为在ak与ak+1(k＝1，2，…)之间插入2k－1个3，
故在a1与a2之间插入20＝1(个)3，
在a2与a3之间插入21＝2(个)3，
在a3与a4之间插入22＝4(个)3，
在a4与a5之间插入23＝8(个)3，
在a5与a6之间插入24＝16(个)3，
在a6与a7之间插入25＝32(个)3，
所以在a6之前共插入了1+2+4+8+16＝31(个)3，
在a7之前共插入了1+2+4+8+16+32＝63(个)3，
故T50＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+44×3＝6×(1+11)
2
+132＝168.
跟踪训练3 解 (1)∵Sn＝n2+n，
∴当n≥2 且n∈N*时，
bn＝Sn－Sn－1＝2n.
又b1＝S1＝2 也符合上式，
∴bn＝2n.
∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，
∴等比数列{an}的公比为2，
∴an＝2n.
(2)∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，
a4＝16，a5＝32，b25＝50，
∴c1+c2+…+c20
＝(b1+b2+…+b25)－(a1+a2+…+a5)
＝S25－(21+22+…+25)
＝252+25－2×(1-2
5)
1-2
＝650－62＝588.
