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艺体生专项训练7 排列组合与二项式定理
建议用时：40 分钟
参考公式：
1. 排列：从
个不同元素中选
个（
），按一定顺序排成一列，记作排列数：
（规定
）
2. 组合：从
个不同元素中选
个（
），不考虑顺序组成一组，记作组合数：
3. 对称性：
；
4. 特殊值：
，
，
。
5. 二项式定理：
（
），右侧为展开式，共
项；
6. 通项公式：第
项（从0 开始计数）
（
）。
7. 二项式系数之和：
（令
）；
8. 奇数项二项式系数之和=偶数项二项式系数之和：
（令
）；
9. 项的系数之和：令
（若a、b 含系数，需代入对应值，如
的项的系数之和为
）.
一、单选题
1．某校文艺部有4 名学生，其中高一、高二年级各2 名．从这4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，则
这2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4 名学生中随机选2 名组织校文艺汇演，总的基本事件有
件，
其中这2 名学生来自不同年级的基本事件有
，
所以这2 名学生来自不同年级的概率为
.
故选：D.
2．
展开式中
项的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先确定
的展开式的通项，再判断
项的组成，即可求其系数.
【详解】∵
的展开式的通项是
，由
中的
项与
中的
项，
项与
项相乘均可得
项，
∴所求系数为
.
故选：
.
3．在
的展开式中常数项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知，
的展开式中常数项是
的展开式的
的系数减去
的系数即
可
【详解】解：
展开式的通项公式为
，
所以
展开式的
的系数为
，
的系数为
，
所以
的展开式中常数项是
，
故选：B
4．
展开式中
的系数为（ ）
A．14
B．20
C．25
D．28
【答案】A
【分析】先利用二项式定理求得
展开式中
与
的系数，从而可求得
展开式中
的
系数.
【详解】因为
展开式的通项公式为
，
所以
展开式中
的系数为
，
的系数为
，
因此
展开式
的系数为
.
故选：A.
二、多选题
5．在
的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．含
项的系数为
B．第3 项与第4 项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数之和为32
D．所有项的系数之和为
【答案】BCD
【分析】先求出
的展开式的通项，赋值可判断AD，所有项的二项式系数之和为
可判断C，由二
项式定理可判断B.
【详解】
的展开式的通项为
.
令
，可得含
项的系数为
，故A 错误；
第3 项
的二项式系数为
，第4 项
的二项式系数为
，两者相等，故B 正确；
所有项的二项式系数之和为
，故C 正确；
令
，可得所有项的系数之和为
，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
6．在二项式
的展开式中，
的系数为 ．
【答案】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式
，
令
，得
，
可得
项的系数为
.
故答案为：
.
7．
的展开式中
的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】写出
的展开式通项，结合乘积形式写出含
的项，即可得结果.
【详解】由
展开式通项为
，
所以含
的项为
，则其系数为
.
故答案为：
8．在
的展开式中，
的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式
，令
确定
的
值，然后计算
项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式
，
令
可得，
，
则
项的系数为
.
故答案为：60.
9．设
，则
．
【答案】17
【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和
的系数即可.
【详解】二项式
展开式的通项为
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
所以
，
故答案为：17
10．已知有4 名男生6 名女生，现从10 人中任选3 人，则恰有1 名男生2 名女生的概率为 ．
【答案】
/0.5
【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意所选的3 人中恰有1 名男生2 名女生的概率
，
故答案为：
11．在
的二项展开式中，若各项系数和为32，则
项的系数为 ．
【答案】10
【分析】根据给定条件，求出幂指数
，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式
的展开式各项系数和为32，得
，解得
，
所以
的展开式
项的系数为
.
故答案为：10
12．若
，则
.
【答案】1 或2023
【分析】由组合知识进行求解.
【详解】由于
，故
或
，其他值不合要求.
故答案为：1 或2023
13．已知
，则
．
【答案】3
【分析】根据题意结合组合数性质运算求解即可.
【详解】因为
，则
或
，解得
或
，
且
，所以
.
故答案为：3.
14．关于
的方程
的解为 .
【答案】
【分析】根据组合数的性质列方程解得即可.
【详解】因为
,
所以根据组合数的性质可得：
或
,
解得：
或
（舍去，因为
）,经检验均符合题意.
故答案为：
.
15．
的二项展开式中的第3 项的系数为 ．
【答案】80
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为
，
所以第3 项系数为
．
故答案为：80
16．
的展开式中含x 项的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可.
【详解】
的通项公式为
，
令
，得
，所以含x 项的系数为
.
故答案为：
.
四、解答题
17．已知
的展开式中，二项式系数的和为64，求：
(1)
；
(2)含
的项；
(3)各项系数和.
【答案】(1)6
(2)
(3)729
【分析】（1）结合题意建立方程，再求解参数即可.
（2）利用二项式定理求出展开式的通项，再求解所需项即可.
（3）利用赋值法求解各项系数和即可.
【详解】（1）因为二项式系数的和为64，
所以
，解得
.
（2）由（1）知
，则二项式变为
，
由二项式定理可得展开式的通项为
，
令
，得
，故含
的项为
.
（3）令
，则各项系数和为
.
18．已知
，求x．
【答案】
【解析】略
19．在15 件产品中，有10 件是一级品，5 件二级品，从中一次任意抽取3 件产品，求：
(1)抽取的3 件产品全部是一级品的概率；
(2)抽取的3 件产品中至多有1 件是二级品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用组合计数问题、古典概率公式列式计算即可.
（2）利用互斥事件的概率公式，结合（1）的结论求出概率.
【详解】（1）记抽取的3 件产品全部是一级品为事件A，则事件A 的概率
.
（2）记抽取的3 件产品中恰有1 件是二级品为事件B，则事件的概率
，
所以抽取的3 件产品中至多有1 件是二级品的概率
.
