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专题02 不等式的综合应用与求值技巧
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热点聚焦
方法精讲
能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：1、不等式是近3 年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为
稳定，重点是基本不等式，及不等式与指数对数相结合．
2、基本不等式作为求最值的工具，经常结合其他知识点运用，比如圆锥曲线的解答题，立体几何中的最
值问题．
预测2026 年：不等式内容可能与指数、对数不等式的形式考查，同时还需重点关注基本不等式的基本运
用．
热点题型：
题型01 利用不等式的性质求最值 题型02 基本不等式及其应用
题型03 指数对数与不等式综合运用 题型04 与三角行三边相关的不等式问题
题型05 利用不等式性质解决max{a,b,c}最值问题
题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值
题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题
题型01 利用不等式的性质求最值
解｜题｜策｜略
常见不等式①||a|−|b||≤|a±b|≤|a+b|②a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d ③a≥b>0,c≥d>0⇒ac≥bd
【精选例题】
【例1】已知
，
，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
1
【例2】设定义在
上的函数
，满足
，且对任意
，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（多选题）已知实数
，
满足
，
，则（ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
，
，使得
【例4】（多选题）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．已知
，
，则
D．已知
，若
，
，则
【例5】（多选题）在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：
，其中
为非零常数，
为幂常数，为主观感觉强度，
为物理刺激强度，
.现有如下RPE
（主观感觉强度）表：
强度
自我感觉
6－8
9－11
12－14
15－17
18－20
已知在临床条件下
，在RPE 强度为
时得到的实际物理刺激强度为
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【例6】已知实数
，
满足
且
，则
的最大值为 .
【例7】设
为互不相等的三个实数，且
，则有
A．
B．
2
C．
D．
【例8】（多选题）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9】当
时，不等式
恒成立，则
的最大值是 ．
【变式训练】
1．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选题）已知
，且
．则下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．（多选题）若
，
，则（ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
4．已知正数a，b，c 满足
，则
的取值范围是 ．
5．设
，若
，则
的取值范围为 .
6．若关于
的不等式
的解集为
，则
的取值范围是 .
7.若
是定义在
上的函数，且对任意
都有
，
，且
，
则
题型02 基本不等式及其应用
3
解｜题｜策｜略
①常见不等式：x+ y≥2√xy (x>0, y>0)，(x+ y)2≥4xy (x , y∈R)，x2+ y2≥±2xy
②三角换元：遇到
Ax 2+By 2+Cxy =D
，配凑成
(ax )2+(bx −cy )2=d
，可设{
ax =√dcosθ
bx −cy =√dsinθ
③遇到
Ax 2+By 2
Cx 2+Dxy +Fy 2 结构，可同除y2
④学会运用消元法，齐次化，分解因式法及万能K 法
【精选例题】
【例1】设
，则下列说法正确的是（ ）
A．ab 的最小值为1 B．
的最小值为4 C．
的最小值为9 D．
的最大值为
【例2】已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知
，且
，则
的最小值与最大值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】（多选题）已知正实数
满足
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【例5】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若
，
，
，则
的最小值为
B．已知
，
，
，则
的最小值是
C．若
，则
的最小值为4
D．若
，
，
，则
的最小值为
【例6】（多选题）下列命题正确的有（ ）
4
A．已知
，
，且
，则
的最小值为9
B．已知
，
，且
，则
的最小值为
C．已知
，
，且
，则
的最小值为
D．已知
，
，且
，则
的最小值为
【例7】（多选题）已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
的最小值为4 B．当
时，
的最小值为2
C．
的最小值为6 D．
的最小值为
【例8】（多选题）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9】（多选题）已知
，
，
，则下列正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
最大值为8 D．
的最大值为6
【例10】（多选题）下列是真命题的是（ ）．
A．已知
，且
，则
的最大值为5
B．已知
，
则
的取值范围为
C．已知
且
恒成立，实数
的最大值是
D．若
则
的最大值是6．
【变式训练】
1.（多选题）若
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5
2．（多选题）已知
，
为正实数，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为4
C．
的最小值为
D．
的最小值为
3．（多选题）已知
，
，
，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
的最大值为4
C．
的最小值为
D．
的最小值为11
4．（多选题）已知
均为正实数，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为5
C．
的最小值为
D．若
，则
的最小值为
5．（多选题）已知
，且
，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
7．（多选题）已知
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．当
，
时，
的最小值为4
D．当
，
时，
的最小值为2
8．（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列结论正确的是（ ）
6
A．
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
9．（多选题）已知
，
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的最小值为8 C．
的最小值是
D．
的最小值为2
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若
,则
的最小值为
B．已知
,且
,则
的最小值为
C．已知
,且
,则
的最小值为
D．若
,则
的最小值为
11．已知函数
，且
，则
的最小值是 .
题型03 指数对数与不等式综合运用
解｜题｜策｜略
①指对数转换ax=b⇔x=logab ，②换底公式logab=
1
logba
③常见不等式放缩
，1−1
x ≤ln x≤x−1，
【精选例题】
【例1】已知
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知
，
，则下列式子不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】已知
是函数
图象上两个不同的点，则下列4 个式子
①
；②
；③
；④
，
7
其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【例4】已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【例6】若实数
满足
，
，则的最大值是（ ）
A．2 B．1 C．
D．
【例7】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例9】（多选题）已知函数
，若
，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最小值为
C．
D．
的最大值为
【例10】（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例11】（多选题）已知不等式
在
上恒成立（当且仅当
时等号成立），下列不等
式正确的是（ ）
A．
B．
8
C．
D．
【变式训练】
1.若
，x，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
2．若正实数a，b 满足
，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．2
D．2
5．若
，
，
均为正数，且
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知实数
，
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）已知正数
、
、
满足
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）若
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
9
C．
D．
9．（多选题）已知函数
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
最小值为14
10．（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 与三角行三边相关的不等式问题
解｜题｜策｜略
利用三角形两边之和大于第三边，即a+b>c
【精选例题】
【例1】设
,若对任意的正实数
,都存在以
为三边长的三角形,则
实数
的取值范围是 ．
【例2】设
，若三个数
能组成一个三角形的三条边长，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练】
1．
的边分别为a，b，c，且满足
，则
的取值范围为 .
2.已知函数
，对任意实数
，使得以
，
，
数值为边长
可构成三角形，则实数
的取值范围为 .
3.已知
，
，
，
，
.若a，b，c 构成三角形的三边，则m 的取值
范围是 .
10
题型05 利用不等式性质解决max{a,b,c}最值问题
解｜题｜策｜略
求类似
max{a,b,c}
的最小值一类题目，我们一般设
M=max{a,b,c}
，则{
M≥a
M≥b
M≥c
，再通过三个式子相
加或者相乘，然后用基本不等式构造一个不等式，求出最值即可
【精选例题】
【例1】已知
表示
中的最大者，若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【例2】设
，已知
或
，则
的最小值为（以
表示数
集
中最大的数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】记
表示数集
中最大的数，设
为正数，
，
，则
的最小值为 .
【例4】定义
表示实数
，
中的较大者，若
，
，是正实数，则
的最小值是 ．
【例5】设
，
，是非负实数，满足
，
，设
，则
的最大
值为 ．
【变式训练】
1．
表示
，
中的最大者，若
，则
的最小值为 .
2．定义
，设
，已知
或
，则
的最小值
11
为 .
3．记
表示
三个数中的最大数．若函数
的值域为
，
则
的最小值为 ．
4．设
表示
，
，，
中最大的数，已知
，
均为正数，则
的最小值
为 .
5．定义
为数集M 中最大的数，已知
，若
或
，则
的最小值为 .
题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值
解｜题｜策｜略
遇到多变量问题求最值，有时候我们可以对局部进行放缩，然后再求最值
【精选例题】
【例1】已知正实数a，b，c，
，则
的最小值为______
【例2】对任意的正实数
，且满足
，则
的最小值为 .
【例3】已知a>0,b>0,c>1
且
a+b=1
，求(
a2+1
ab −2√2)c+ 2
c−1
的最小值为 .
【变式训练】
1．已知
，
，是正实数，且
，则
最小值为 .
2．已知正数
满足
，
，则
的最小值为 .
12
题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题
解｜题｜策｜略
①遇到形如
(mx )2+(ny )2=r2 ，可以利用三角换元设{
mx =rcosθ
ny =rsinθ
②遇到形如
(mx )2−(ny )2=r2
，可以利用三角换元设{
mx =
r
cosθ
ny =r tanθ
【精选例题】
【例1】（多选题）若x，y 满足
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【例2】函数
的最大值为（ ）
A．
B．4
C．3
D．5
【例3】已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练】
1.已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
2.已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
13
1．若
，则
的最小值为（ ）（参考：
，
.）
A．
B．
C．
D．
2．已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
的最小值为4
C．
的最小值为4
D．
3．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每
次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（ ）
A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定
4．函数
，若存在正实数
，
，…，
，其中
且
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．已知正实数
，
，满足
，则
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，若对于任意实数
与
至少有一个为正数，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．当
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14
9．已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．5
C．
D．7
10．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知二次函数
对任意
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
12．生活经验告诉我们：
克糖水中有
克糖（
，
，且
），若再添加
克糖（
）后，
糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：
.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确
的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
且
，则
C．若
，
，为
三条边长，则
D．若
，
，为
三条边长，则
13．已知实数m，n 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知曲线C：
，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C 关于x 轴对称
B．曲线C 构成的封闭图形面积小于
的面积
15
C．曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2
D．曲线C 的内部（不含边界）有4 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
15．已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知曲线C：
，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C 关于原点对称
B．直线
与曲线C 有公共点
C．曲线C 上任一点的横坐标的取值范围是
D．曲线C 上任一点与原点距离的取值范围是
17．已知正实数
满足
，则（ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的最小值为6
D．
的最小值为
18．已知
均为正实数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
19．已知
，则
的最大值为 ．
16
20．已知实数
满足
，则
的取值范围是 ..
21．若
，
，都有
，则实数
的取值范围为 .
22．若实数
、
、满足
，
，则实数的最小值是 .
23．已知集合
，
，若
，则
的取值
范围为 .
24．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为 ；
的最小值为
25．已知函数
，且
，则
的最小值是 .
17
