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专题01 集合与常用逻辑用语（十大题型七大易错题）
【题型1】 集合的含义和表示
1．（2025 届江西省华大联盟高三联考（三模）三模数学试题）已知集合
A ={0,a,a
2},B = {a−1,3a−2},a∈R，则A ∪B中的元素个数至少为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2020·新疆喀什·二模）已知集合A ={1,2}，B ={2,4 }，则C ={xy ∣x∈A , y ∈B}
的元素个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
{a,b}⊆{−1,0,1,2,3,4 },(a,b)∈{( x , y)| x
2+ y
2≤4 }，则(a,b)可能的取值的个数
为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
4．（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {0,1}，B = {0,a+1,a−1}，若A ⊆B，则a=
（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．−2或2
5．多选题（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若x , y ∈M，则
x
y ∈M；②若x , y ∈M，则x + y ∈M.下列说法中正确的有（ ）.
A．−1∈M.
B．2025∈M.
C．若x , y ∈M，则xy ∈M.
D．若x , y ∈M，则x−y ∈M.
6．多选题（25-26 高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，y ∈M，都有
x + y ∈M，且x−y ∈M，则称集合M 为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合M =¿为闭集合
1
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D．若集合M 1，M 2为闭集合，则M 1∪M 2也为闭集合
【题型2】 集合的基本关系
1．（2025·江苏南京·一模）设集合A ={x∣x
2−4≤0},B = {x∣x +a≤0}.若A ⊆B，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,2]
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−2]
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|m+1≤x ≤2m−1}，
B⊆A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2
B．m<2
C．m≤3
D．2<m≤3
3．（24-25 高三上·山东青岛·期末）设集合A = {0,1}，B = {1,a,a+1}，若A ⊆B，则a=
（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．−1或0
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合A = {1,3,5,7}，集合B = {1,2,3,4,5,6,7}，若集合M
满足A⫋M ⊆B，则这样的集合M共有 个.
【题型3】 集合的运算
1．（2025·山东威海·三模）已知集合A ={1,2,√m},B ={1,m}，若A ∩B = B，则m=
（ ）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合M =¿，N = {−2,−1,0,1,2,3}，则M ∩N =
（ ）
A．{−1,0,1,2}
B．{−2,−1,0,1}
C．{0,1,2,3}
D．{1,2,3}
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合A ={2025, z(1+i)}，B ={2,2024 }，且
A ∩B ={2}，则|z−2 z|=（ ）
A．√7
B．3
C．√10
D．2√3
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知全集U = Z，集合A =¿，B = {0,1,2,3,4}，则
(∁U A)∪B =（ ）
A．¿或x ≥0, x∈Z}
B．¿或x>0, x∈Z}
C．{x|x ≥0, x∈Z}
D．{x|x>0, x∈Z}
5．（2024·山西太原·一模）已知全集U = R，集合A = {0,1,2,3}，B = {−2,−1,0,1}，则图
2
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中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{−2,−1,0,1,2,3}
B．{0,1}
C．{2,3} D．
{−2,−1}
6．（2025·福建南平·三模）若A =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合A ={x ∣log2 x ≤2}，B ={x∣
4
x−5 ≤−1}
，则
A ∩B =（ ）
A．(0,1]
B．[1,4]
C．(1,4]
D．[0,5]
【题型4】 集合中的求参问题
1．（2025·湖南长沙·一模）已知集合A ={−1,0,2,m
2},B ={x ∈Z ∣x
2≤3}，若
A ∩B = {−1,0,1}，则m=（ ）
A．1
B．−1
C．±1
D．0
2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合P ={x||x +1|<2}，Q ={x | x
2−(a+1)x +a<0}．
若P∪Q = P，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−3,1)
B．[−3,1]
C．(1,3]
D．(−∞,1)
3．（2024·山西临汾·三模）已知集合A =¿，B =¿，且A ∪∁R B = R，则实数a的取值范围
是（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
4．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合A ={x∈Z|−1< x<3}，B ={x|3 x−a<0}，
且A ∩(∁R B)= {1,2}，则a的取值范围为（ ）
A．(0,4)
B．(0,4]
C．(0,3]
D．(0,3)
3
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5．（2024·河北·二模）已知集合A ={x| x
2−4 x−5<0}，B ={x |(x −m)[x −(m+2)]>0}，
若A ∪B = R，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−1,+∞)
B．(−∞,3]
C．(−1,3)
D．[−1,3]
6．（2025·河南·模拟预测）已知集合A =¿，非空集合B =¿，若A ∩B = B，则b的取值范围
是 ．
7．（2024·江苏常州·三模）集合A =¿，B =¿，若A ∪B = A，则实数m 的取值范围为
．
【题型5】 集合语言的运用
1．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上
或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10 0
0
的学生第
二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15 0
0
的学生第二天
会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
2．多选题（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100
米、400 米、1500 米三个项目，其中有8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米
比赛”，有5 人参加“1500 米比赛”，“100 米和400 米”都参加的有4 人，“100 米
和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500 米”都参加的有3 人，则下列说法正确
的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有1 人
【题型6】 充分条件与必要条件的判断
1．（2025·湖北·模拟预测）已知实数x , y ∈(0,π)，则“x> y”是“sin x>sin y”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
4
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知集合A ={x ∈R| x
2=m}，
B ={x ∈R| x
2+ x ≤m+2}，则“−2∈A”是“A ∩B = A”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·天津红桥·二模）已知命题 p:a>b>0，命题q:2
a>2
b，则命题p是命题q的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知{⃗a,⃗b}是同一平面内所有向量的一个基底，则“⃗
a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹角是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·湖北·模拟预测）已知⃗m，⃗n，⃗l是同一个平面内的三个向量，则“⃗
m⋅(⃗n⋅⃗l)=(⃗m⋅⃗n)⋅⃗l”是“⃗m∥⃗l”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线C :
x
2
m−1 +
y
2
3−m =1，则“1<m<3”是“曲线C表
示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025·河南·二模）设甲：1
a > 1
b >0；乙：2
a>2
b，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既
不充分也不必要条件
8．（2025·四川·三模）已知向量⃗a=(cosα ,1),⃗b=(sinα ,√3)，则“α =π
3
”是“向量
5
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a,⃗b共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2025·福建三明·三模）已知a，b∈R，则“|a|+|b|≤1”是“a
2+b
2≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型7】充分条件与必要条件的应用
1．（2025·福建泉州·模拟预测）设A =¿，B =¿，若x∈A是x∈B的充分条件，则
（ ）
A．0<a<2
B．1<a<2
C．a=2
D．a≥2
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知p:“x
2−(2m+3) x +m
2+3m>0”是q：“
x
2−x−6≤0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．¿
B．(−∞,−5)∪(3,+ ∞)
C．(−5,3)
D．[−5,3]
3．（23-24 高三下·河南周口·开学考试）若“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，则实
数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,1]
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知f (x)=(
1
2)
x
−3，则f (x)<5的一个必要不充分条件是
（ ）
A．x>−4
B．x>−3
C．x<−2
D．x<−3
5．（2024·山东·二模）已知p:1<2
x<4，q: x
2−ax−1<0，若p是q的充分不必要条件，
则（ ）
A．a≥3
2
B．0<a≤3
2
C．a>2
D．0<a≤2
6．多选题（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A =¿，集合B =¿，能使
A ∩B = A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0
B．m>1
C．m>3
D．m>4
7．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意x∈[1,3]，a≤2
x+2
−x”为假命题，则实数a的取
值范围是 .
6
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【题型8】 全称量词与存在量词命题的真假判断
1．（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R , x
2>0；命题q:∃x>0,ln x<0．则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∃x∈R，x
2−x +1≤0，命题q: ∀x ≥0，
e
x≥cos x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
3．（2023·宁夏银川·一模）已知命题p：∀x<1，log3 x>0；命题q：∃x0∈R，x0
2≥2
x0，
则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨q
B．(¬ p)∧(¬q)
C．p∨(¬q)
D．p∧q
4．（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知命题p:∀x∈R，
x
| x|+1 <1，命题
q:∃x>0，x
3< x
2，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．¬ p和q 都是真命题
C．p 和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
5．多选题（22-23 高一上·云南昆明·期末）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数
的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也
使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D (x)=¿，有以下四个命题，其中
真命题是 （ ）
A．函数D( x)是奇函数
B．∃x，y ∈R，D( xy )= D( x)+ D( y)
C．函数D( D( x))是偶函数
D．∀x∈R，∀a∈Q，
D(a+ x)= D(a−x)
【题型9】含有一个量词的命题否定
7
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1．（2025·贵州黔东南·三模）命题“∀x∈R , x +| x|≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R , x +| x|≥0
B．∃x∉R , x +| x|<0
C．∀x∈R , x +| x|<0
D．∃x∈R , x +| x|<0
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知命题p:∃x>0，x
3> x，则命题p的否定为（ ）
A．∃x>0，x
3≤x
B．∃x ≤0，x
3> x
C．∀x>0，x
3≤x
D．∀x>0，x
3> x
3．（2025·陕西西安·模拟预测）若p:∀x>0,ln x + x
2+2>0，则（ ）
A．p是真命题，且¬ p:∃x>0,ln x + x
2+2≤0
B．p是真命题，且¬ p:∃x ≤0,ln x + x
2+2≤0
C．p是假命题，且¬ p:∃x>0,ln x + x
2+2≤0
D．p是假命题，且¬ p:∃x ≤0,ln x + x
2+2≤0
4．（2025·四川·模拟预测）命题“∀x∈R ,2
x+1>0”的否定是（ ）
A．∀x∉R ,2
x+1>0
B．∀x∈R ,2
x+1≤0
C．∃x∈R ,2
x+1>0
D．∃x∈R ,2
x+1≤0
5．（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“∃x∈R ,2sin x +3cos x ≥4”的否定是（ ）
A．∀x∈R ,2sin x +3cos x ≥4
B．∀x∈R ,2sin x +3cos x<4
C．∃x∈R ,2sin x +3cos x<4
D．以上说法均错误
6．（2025·江西景德镇·二模）命题：∀x∈[0,1]，x
2+ x−2≤0的否定是（ ）
A．∀x∈(−∞,0)∪(1,+∞)，x
2+ x−2>0
B．∃x∈[0,1]，x
2+ x−2>0
C．∃x∈(−∞,0)∪(1,+ ∞)，x
2+ x−2>0
D．∀x∈[0,1]，x
2+ x−2>0
【题型10】含量词命题的应用
7．（2024·四川攀枝花·一模）命题“∃x∈R , x
2+(a+1)x +1<0”为假命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−3]∪[1,+ ∞)
B．(−∞,−3)∪(1,+ ∞)
C．[−3,1]
D．(−3,1)
8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知a∈R，若“∃x∈R，a=2
x+1”为假命题，则a的
取值范围是（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,+ ∞)
C．(−∞,1]
D．[1,+∞)
8
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9．（2025·辽宁·一模）若命题“∃x∈R ,sin x<a”是假命题，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．(−∞,−1]
D．(−∞,−1)
1．已知集合A ={1,2,√m},B ={1,m}，若A ∩B = B，则m=（ ）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
2．已知x
2∈{1,0, x }，则实数x的值为（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．±1
3．已知集合A = {0,1}，B = {0,a+1,a−1}，若A ⊆B，则a=（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．−2或2
4．已知集合A ={0, a+b, a
b }, B = {0, 1−b, 1}(a, b∈R)，若A = B，则a+2b=
（ ）
A．−2
B．2
C．−1
D．1
5．若集合A ={x∈N ∣1≤x ≤5}，则集合A 的真子集有（ ）个.
A．7
B．15
C．31
D．63
6．设集合A ={x||x +2|≤2}，B ={x| x
2+2 x ≤3}，C ={x| x∈A且x∉B}，则集合
C =（ ）
A．∅
B．[−4 ,−3)
C．(−4 ,−3]
D．[0,1)
7．已知集合A ={0,a
2},B = {1,a+1,a−1}，则“a=1”是“A ⊆B”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知集合A ={−1,0,1}，B ={y | y =2
x , x ∈A}，则（ ）
A．A ∩B = {1}
B．A ∪B = {−1,0,1} C．B⊆A
D．A ⊆B
9．a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件（ ）
A．3a>4 b
B．a
2>b
2
C．a>|b|
D．2
a>3
b
9
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