文档文本内容
13.5.1 互逆命题与互逆定理
教材分析：本课的主要内容是逆命题与逆定理的概念、在简单情况下写出一个命题的逆命题，
并了解原命题成立，逆命题不一定成立. 在整个教材体系中，给学生以思想方法
的启迪：我们常常从正、反两个方面来研究某一个问题，这样的研究方法有利于
培养学生的逆向思维和发展思维的批判性、深刻性等品质.
学生分析：根据生活中的体会，学生对于这一节的知识有一定的了解，但对于数学概念的严
谨性和逻辑性把握不是很到位。
教学目标：1、知识与技能目标：理解原命题、逆命题、逆定理的概念，通过比较，提高学生的
辨析与表达能力；
2、过程与方法目标：通过独立思考、小组合用，培养学生说理有据，有条理地表达
自己想法的良好意识；
3、情感与态度目标：积极投入，全力以赴，初步感受公理化方法对数学发展和人
类文明的价值。
重点难点：重点：写出一个命题的逆命题。
难点：判断逆命题的真假。
教具准备： 教法：“学、探、测” 学法：合作探究法 课时安排：1 课时
教学过程：
一、预习案
1.什么叫逆命题？
2.如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？
3.什么叫逆定理？
二、基础知识探究
探究点一 逆命题与互逆命题
问题1：命题由哪两部分组成？
答案：命题由题设和结论组成。
问题2：如果把一个命题的题设与结论互换位置，组成一个新的命题，那么新命题与原命
题之间有什么关系？
答案：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做
原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题；逆命题是一个命题，而互逆命题指的是两个命题
之间的关系。
填表并思考
命题
条件
结论
命题真假
⑴两直线平行，同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行
⑶如果
，那么
⑷如果
，那么
问题3：如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？
答案：每个命题都有它的逆命题。原命题是真命题，它的逆命题未必是真命题，例如原命
题“对顶角相等”是真命题，而它的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题。
问题4：如何判断一个命题的逆命题是假命题？
答案：举反例。
探究点二 逆定理与互逆定理
问题1：定理与命题有什么关系？
答案：定理是命题，而命题不一定是定理。
问题2：定理一定存在逆定理吗？
答案：定理与逆定理一定是真命题；定理是一个命题，然而它的逆命题不一定正确，所以
定理不一定存在逆定理。
问题3：什么是互逆定理？
答案：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定
理叫做另一个定理逆定理。
归纳总结：特别注意定理、逆定理、互逆定理的联系：如果一个定理的逆命题也是定理，
那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
三、知识综合应用
例1.写出下列命题的逆命题，指出这些逆命题的题设和结论，并判断其是真命题还是假
命题：
（1）两个负数之积为正数； （2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）有两个角互余的三角形是直角三角形；（4）如果
那么
.
思考1：如何判断命题的题设与结论？
思考2：如何根据原命题的题设与结论写出逆命题？
思考3：如何说明一个逆命题是假命题？
例2.写出下列定理的逆命题，并判断其能否成为原定理的逆定理：
（1）等边三角形的三个内角都相等；（2）全等三角形的对应角相等。
思考1：定理与逆定理一定是真命题吗？
思考2：如何判断定理的逆命题能否成为原定理的逆定理？
四、课堂练习
1.说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（2）等边三角形的每个角都等于60°；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5 整除；
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等。
五、课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？还存在哪些疑惑？
六：随堂检测：
1.下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.两直线平行，内错角相等
C.矩形的对角线相等 D.菱形的对角线互相垂直平分
2.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A.若
＜－2，则
＞4 B.全等三角形的对应角相等
C.同位角相等，两直线平行 D.平行四边形有一组对边互相平行
3.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）若
； （2）若
.
5.下面的原命题与逆命题是互逆定理吗？如果不是，请说明理由.
（1）“如果一个三角形的三边
满足
，那么这个三角形是直角三角形”
与“直角三角形中，两直角边
的平方和等于斜边c 的平方，即
”；
（2）“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”.
七、布置作业P93 练习 第1、2、3 题
八、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间和右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左
边用于板书以下内容。
命题的概念：
13.5.2 线段垂直平分线
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线
的性质定理和判定定理．
2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
(二)思维训练要求
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．
3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
(三)情感与价值观要求
1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．
2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
教学难点
写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．
教具准备
多媒体演示、直尺、圆规
教学过程
Ⅰ．创设现实情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，A、B 表示两个仓库，要在
A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使
它到两个仓库的距离相等，码头应建
在什么位置？
[生]码头应建在线段AB 的垂直平分线与在A，B 一侧的河岸边的交点上．
[师]同学们认同他的看法吗？
[生]是的
[师]认为对的说说你的理由是什么呢？
[生]（回忆定理）我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分
线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B 一侧的
河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
[师]（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在七年级时
研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对
称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个
端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你
能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？
教师演示线段垂直平分线的性质：
定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
Ⅱ．讲述新课
[第一部分] 线段垂直平分线的性质定理
[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是
不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？
[师]（引导）
问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线
上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？
（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点
都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想）
②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？
③谁能帮老师分析一下证明思路？
[生]（思考回答）
[师生共析]
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足
是C，且AC＝BC，P 是MN 上的点．
求证：PA＝PB．
分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS)．
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．
[第二部分] 线段垂直平分线的判定定理
教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
[师]（引导、并提问两学生）
问题二：①这个命题是否属于“如果……那么……”的形式？
②你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式吗？
③最后再把它的逆命题写出来
[生A]（思考分析）原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．
结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．
[生B]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的
垂直平分线上．
[师]很好，能否把它描述得更简捷呢？
[生B]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
[师]good!当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；
如果假，则需用反例说明．请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证．
（给学生思考空间）
已知：线段AB，点P 是平面内一点且PA＝PB．
求证：P 点在AB 的垂直平分线上．
（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）
[师]看学生的具体情况，做适当的引导
证法一：
证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC．
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL 定理)．
∴AC＝BC，
即P 点在AB 的垂直平分线上．
证法二：
证明：取AB 的中点C，过PC 作直线．
∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．
∴P 点在AB 的垂直平分线上．
证法三：
证明：过P 点作∠APB 的角平分线．
∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应
角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝
90°．
∴P 点在线段AB 的垂直平分线上
．
[师]先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点
评和纠正。
[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是
真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．到现在我们已经学习了线段
垂直平分线的性质定理和判定定理，下面小试牛刀
教师多媒体演示：
P26 随堂练习（抢答）：
如图：已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是
AB 上的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm，如
果∠ECD＝60°,那么∠EDC＝___°
（让学生说出理由）
[第三部分] 用尺规作线段垂直平分线
答对了上面的题，咱们来轻松一下，一起来欣赏一组美丽的数学图。
教师多媒体演示：
做一做
用尺规作线段的垂直平分线．
[师]（边演示图边讲讲作图有关的数学史）大家知道这些图是用什么工具作
出来的吗？
（资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其
中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭
自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465 年)
提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前427—347)大力提倡.柏拉图非常重视数
学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，
反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330—275)又把它
总结在《几何原本》一书中。于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科
玉律。）
[师]其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用
尺规作线段的垂直平分线。
（分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个
端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两
个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．）
类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求
作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．
[教师示范，请学生同时练习]
已知：线段AB(如图)．
求作：线段AB 的垂直平分线．
作法：1．分别以点A 和B 为圆心，以大于
AB
的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D．
2．作直线CD．
直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．
[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线吗？
请与同伴进行交流．
[生]从作法的第一步可知
AC＝BC，AD＝BD．
∴C、D 都在AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．
∴CD 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．
[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时
一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以
我们也用这种方法作线段的中点．
Ⅲ．随堂练习
解决引例（假如要把码头的具体位置准确的画出来，你会画了吗？）
看时间是否允许，可让学生完成P95 试一试，同桌之间相互检查批改，加深理解。
Ⅳ．课时小结
本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会
用尺规作线段的垂直平分线．
Ⅴ．课后作业
练习第1、3 题
Ⅵ．板书设计
§13.5.2 线段垂直平分线
一、线段垂直平分线的性质定理．
二、线段垂直平分线的判定定理．
三、用尺规作线段的垂直平分线．
13.5.3 角平分线（一）
课型：新授课
教学目标
1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学重点和难点
重点：角平分线的性质定理、判定定理
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学方法
观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
教学手段
多媒体课件
教学过程
一、
从学生原有的认知结构提出问题
以前我们曾研究过角平分线上的一些性质，这节课，我们通过证明，得出它的性质，应用
这个两个定理解决一些几何问题。
二、
师生共同研究形成概念
1、书本引例
☆ 书本P96
学生已经探索过角平分线的性质，此处可先让学生回顾这一性质及其探索过程，并尝试
证明。
2、角平分线的性质
1）点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2）角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
3）符号语言
∵ 点P 在∠AOB 的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
B
A
P
O
E
D
A
B
P
∴ PD = PE
3、角平分线的判定
1） 书本P97
学习线段的垂直平分线时，学生已经历了构造其逆命题的过程，因此学生容易类比着来
构造角平分线性质定理的逆命题。
2）定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
3）符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P 在∠AOB 的角平分线上
4、讲解例题
例1
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD 相交于O，
且∠
1 = ∠
2 。
求证：OB
= OC
。
分析：要证OB = OC，只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE，为此,
还需要证明OD = OE，可直接用角平分线性质定理证得。
例2
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD 相交于O，
且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。
分析：要证OB = OC，只需要证明Rt△BOD≌Rt△COE，为此,还需要证明OD = OE，可直接
用角平分线性质定理证得。
例3
如图，AB = AC，DE 为△ABC 的AB 边的垂直平分线，D 为
垂足，DE 交BC 于E。
求证：BE + EC = AB。
O
E
D
A
B
P
2
1
O
E
D
A
B
C
2
1
O
E
D
A
B
C
分析：此题要运用到线段的垂直平分线的性质，引导学生把线段等量代换。
例4
如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
a) 已知CD = 4cm，求AC 的长；
b) 求证：AB = AC + CD。
分析：此题较难，但通过上面的分散难点的例题，降低了难度。
三、
随堂练习
1、如图，E 是线段AC 上的一点，AB⊥EB 于B，AD⊥ED 于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。
2、如图，在△ABC 中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE 相交于点P，AE = BD。求证：P 在∠ACB 的
角平分线上。
3、如图，E 为AB 边上的一点，DA⊥AB 于A，CB⊥AB 于B，∠1 =∠C，DE = EC。求证：DA +
CB = AB。
2
3
1
E
D
A
B
C
4
P
C
B
A
D
E
E
D
A
B
C
C
B
A
D
E
1
E
D
A
B
C
四、
小结
角平分线的性质定理
五、
作业
书本 P98 习题13.5 3
六、 板书设计：
教学反思：
一、角平分线性质定理
二、角平分线判定定理
三、用直尺和圆规作角的平分线
13.5.3 角平分线(二)
课型：新授课
1、进一步发展学生的推理证明意识和能力
2、能够利用尺规作已知角的平分线
教学重点和难点
重点：角平分线的相关结论
难点：角平分线的相关结论的应用
教学方法
观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
教学手段
多媒体课件
教学过程
一、
从学生原有的认知结构提出问题
在学习线段的垂直平分线时，我们发现，三角形三边的垂直平分线交于一个点。我们看
看，三角形的三条角平分线有什么性质。
二、
师生共同研究形成概念
1、用尺规作角的平分线
1）以你现在的能力作出一个角的角平分线
2）
与其他尺规作图一样，这里要求学生会写出“已知”、“求作”、“作法”。此外，还应能说
明所作的射线是角的平分线的理由。
3）作角平分线的方法：有量角器度量；用三角板作；用尺规作图法作。
2、讲解例题
例1
用尺规作图法作下列各个角的平分线。
分析：这四个图都很有代表性，让学生通过不同的角，深化作角平分线的方法。
例2
如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P 到∠AOB 两边的距离相等。
B
A
O
B
A
O
O
A
B
P
C
B
A
D
O
X
分析：这是一条综合题，两种重要作图都要运用到。
3、例题讲解
例3
作一个三角形三个内角的平分线。
分析：此例比较复杂，让学生细心一点作出图形。作出图形后让学生尝试归纳定理。
4、角平分线的相关推论
1）归纳总结
通过上面的作图，让学生自己归纳总结结论。
2）定理
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
3）符号语言
∵ 点P 是△ABC 的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB
∴ PD = PE = PF
4）证明
此处内容的引入与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似，在证明结论时，
可引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考。
三、
随堂练习
书本 P98 练习 2
四、
小结
角平分线的作法。
五、
作业
书本 P98 习题13.5 1
六、板书设计：
C
B
A
D
O
P
C
B
A
D
E
F
N
M
教学反思：
一、三角形的三条角平分线性质定
理
二、综合应用定理，学习例题
