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专题03 函数的概念与性质
一、知识速览
二、考点速览
1
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知识点1 函数的有关概念
1、函数的概念：一般地，设
是非空的数集，如果对于集合
中的任意一个数
，按照某种确定的对
应关系
，在集合
中都有唯一确定的
和它对应，那么就称
为从集合
到集合
的一个函
数，记作
.
2、函数的三要素：
（1）在函数
中，
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的定义域；
（2）与
的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B
的子集．
（3）函数的对应关系：
.
3、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量
取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称
为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部
分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
知识点2 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1, x2，
当x1<x2 时，都有f ( x1)<f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当x1<x2 时，都有f ( x1)>f ( x2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D
叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
2
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（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3、函数单调性的性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性.
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反.
（3）当a>0 时，af (x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af (x)与f ( x)单调性相反.
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性.
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点3 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数f(x)是偶函数
关于y 轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有
，那么函数
是奇函数
关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）
为奇函数⇔
的图象关于原点对称；
为偶函数⇔
的图象关于y 轴对称．
（2）如果函数
是偶函数，那么
．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即
，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的
非空数集．
3
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（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于
原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点4 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，那
么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点5 函数的对称性
1、关于线对称
若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别地，当a＝b＝0 时，
函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
2、关于点对称
若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0
时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
一、求函数定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即
(
2 ,
)
n x
n
k k
N
其中
中
0,
x
奇次方根的被开方数取全体实数，即
(
2
1,
)
n x
n
k
k
N
其中
中，x
R
.
3、零次幂的底数不能为零，即
0
x 中
0
x
.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交
集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4
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【解析】由题得
.解得
所以函数的定义域为
.故选：C
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
有意义满足
，即
，
，
解得
，故选：D
二、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；
（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；
（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x 。
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，
然后以x 替代g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式。
5
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例如：若条件是关于
f x 与
f
x 的条件（或者与
1
f
x
）的条件，
可把x 代为x （或者把x 代为x
1
）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出
f x
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若
是
上单调递减的一次函数，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
是
上单调递减的一次函数，所以可设
，
所以
，
又因为
，所以
恒成立，
所以
，因为
，所以
，
.
所以
.故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列关于函数解析式的叙述中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若一次函数
满足
，则
D．若奇函数
满足当
时，
，则当
时，
【答案】AB
【解析】对于A,
，且
，所以
，A 正确；
对于B，由
得
，
联立
解得
，B 正确；
对于C，设
，则
，即
，
所以
解得
或
，所以
或
，C 错误；
6
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对于D，
时，
，且函数为奇函数，所以
，D 错
误，
故选:AB.
三、求函数值域的七种方法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．
函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形
结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便
于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）
f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后
确定靠下(或靠上)的部分为该
f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归
为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即
可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如
ax
b
y
cx
d 或
2
ax
bx
e
y
cx
d
（a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以
ax
b
y
cx
d 为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成
a
e
y
c
cx
d 的形式，
第二步，求出函数
e
y
cx
d 在定义域范围内的值域，进而求出
ax
b
y
cx
d 的值域。
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6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
f
ex
dx
c
bx
ax
y
2
2
将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域。应
用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
7、导数法：对可导函数
求导，令
，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
【典例1】（2022 秋·上海·高三校考阶段练习）函数
在
上的值域为 ．
【答案】
【解析】
在
上为增函数，
则
在
上的最小值为
，最大值为
，
即
．故答案为：
.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）
的值域为
【答案】
【解析】设
则
，
，
故函数
的值域为
.故答案为：
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）当
时，求函数
的最小值.
【答案】
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【解析】因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值为
.
【典例4】（2023·全国·高三课时练习）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】设题中函数为
，则
，
当
时，
；
当
时，视其为关于x 的二次方程，
判别式
，
综上，故值域为
．故选：C.
四、单调性定义的等价形式及应用
1、函数
x
f
在区间
b
a,
上是增函数:
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，都有
0
2
1
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.
2、函数
x
f
在区间
b
a,
上是减函数:
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，都有
0
2
1
x
f
x
f
；
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任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.
【典例1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数
的定义域为
，
的图象
关于点
对称，
，且对任意的
，
，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象关于点
对称，
的图象关于点
对称，
是定义在
上的奇函数，
对任意的
，
，
，满足
，
在
上单调递减，所以
在
上也单调递减，
又
所以
，且
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以由
可得
或
或
，
解得
或
，即不等式
的解集为
．故选：C.
【典例2】（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，
，若
，
且
满足
，则不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】因为
，
且
满足
，则
在
上单调递增，
因为
是定义在R 上的奇函数，且
，则
，
在
上单调递增，
由
，得
，
当
时，由
，得
，当
时，由
，得
，
所以原不等式的解集为
.故选：A
【典例3】（2022 秋·河南驻马店·高三校联考期中）已知函数
，在区间
内任取两
个实数
，
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设
，则
等价于
，
即
在
上单调递增，
也即
在
上恒成立.
由函数的定义域知，
，所以
在
内恒成立，
由于二次函数
在
上是单调递减函数，
故
，
∴
，∴
.故选：A．
五、常见奇函数、偶函数的类型及应用
1、
（
）为偶函数；
2、
（
）为奇函数；
3、
（
）为奇函数；
4、
（
）为奇函数；
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5、
（
）为奇函数；
6、
为偶函数；
7、
为奇函数；
【典例1】（2022 秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）下列函数中，是奇函数且在
上单调
递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A 选项：
，不是奇函数，故A 选项错误；
B 选项：
，不是奇函数，故B 选项错误；
C 选项：因为
的定义域为
，
且
，
∴
是奇函数．设
，
因为
在
上单调递减，
在
上单调递增，
由复合函数单调性知，
在
上单调递减，故C 选项正确；
D 选项：
，因为
在
上都单调递增，
所以
在
上单调递增，故D 选项错误，故选：C．
【典例2】（2023·四川成都·校考模拟预测）“
”是“函数
是奇函数”的（
）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当函数
为奇函数，
则
，解得
.
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所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.
六、函数周期性的常用结论及应用
（a 是不为0 的常数）
（1）若
f x
a
f x ，则
T
a ； （2）若
f x
a
f x
a ，则
2
T
a ；
（3）若
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （4）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ；
（5）若
1
f x
a
f x ，则
2
T
a ； （6）若
f x
a
f x
b ，则
T
a
b （
a
b ）；
【典例1】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）定义在R 上的函数
满足
，
且当
，则
＝ ．
【答案】
/0.25
【解析】由
可得
，所以
，
故
为周期函数，且周期为8，
，故答案为：
【典例2】（2023·广东梅州·统考三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．10 B．20 C．15 D．5
【答案】A
【解析】因为函数
为偶函数，所以
，
所以函数
的图象关于
对称，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
即
，即
，则
，
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那么
，所以2 是函数
的一个周期，
因为
是定义在
上的奇函数，所以
，且
，
所以
，
，
所以
.故选:A
易错点1 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
点拨：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
1、已知
)
(x
f
的定义域为A ，求
))
(
(
x
g
f
的定义域，其实质是
)
(x
g
的取值范围为A ，求x 的取值范围;
2、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域为B ，求
)
(x
f
的定义域，其实质是已知
))
(
(
x
g
f
中的x 的取值范围为B ，求
)
(x
g
的范围（值域），此范围就是
)
(x
f
的定义域.
3、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域，求
))
(
(
x
h
f
的定义域，要先按（2）求出
)
(x
f
的定义域.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域为
，则
的定义域为 .
【答案】
【解析】由于函数
的定义域为
，则
，
所以函数
的定义域为
，
则函数
中
，
所以
，即
的定义域为
.故答案为：
.
【典例2】（2023·高三课时练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域
为 ．
【答案】
【解析】因为函数
的定义域为
，
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所以在函数
中，
，解得
或
，
故函数
的定义域为
.
故答案为：
.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
，则函数
的定
义域为 .
【答案】
【解析】解法1：由函数
，则满足
，可得
，
即函数
的定义域为
，
对于函数
，令
，即
，解得
，
即函数
的定义域为
.
解法2：由
，
，
可得
，
令
，解得
，所以
的定义域为
.
故答案为：
.
易错点2 忽略二次型式子中最高项的系数为0
点拨：在二次型函数
中，当
时为二次函数，其图象为抛物线；当
时为
一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意
项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨
论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，函数
的定义域为
，
所以不等式
在
上恒成立.
当
时，当
时，
，
所以不等式
在
上恒成立显然不成立，
当
时，则满足
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
.故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数
的定义域为
，则实数m 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】由函数
的定义域为
，得
，
恒成立．
当
时，
，成立；
当
时，需满足
于是
．
综上所述，m 的取值范围是
．故答案为：
.
易错点3 判断函数奇偶性时忽视定义域
点拨：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。
在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x 都有
，则
为奇函数；如果
对定义域内任意x 都有
，则
为偶函数，如果对定义域内存在
使
，
则
不是奇函数；如果对定义域内存在
使
，则
不是偶函数。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数
的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
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【答案】C
【解析】由函数
的定义域可得
，
则
，
由于定义域不关于原点对称，故
为非奇非偶函数.故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数
【解析】（1）原函数的定义域为
，关于原点不对称，
从而函数
为非奇非偶函数．
（2）由
得
，即函数
的定义域是
，
关于原点对称．又
，
因此函数
是偶函数．
（3）
的定义域为
，关于原点对称．
又
，
，所以
既是奇函数又是偶函数．
（4）如图，作出函数
的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数
为奇函数．
易错点4 忽视抽象函数的定义域
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点拨：解抽象函数不等式时需要注意函数的定义域，需在函数定义域前提下利用函数的单调性与奇偶性进
行求解。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
是定义在区间
上的函数，且在该区间上单调
递增，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
是定义在区间
上的增函数，满足
，
所以
，解得
.故选：D
【典例2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数
是定义在
上的减函数，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数
是定义在
上的减函数，且
，
∴
，解得
．故答案为：
易错点5 忽略分段函数单调性的分段点
点拨：分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的
题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，满足对任意的实数
，
且
，都有
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对任意的实数
，都有
,即
成立，
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可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得：
，解得
，故选：C
【典例2】（2022 秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知函数
(
且
)
是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
(
且
)是R 上的单调函数，
若
是R 上的单调递增函数，则
，解得
；
若
是R 上的单调递减函数，则
，解得
；
综上，a 的取值范围是.故选：B.
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