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难点专题03 立体几何
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
1. 异面直线所成角
=
（其中
（
）为异面直线
所成角，
分别表示异面直线
的方向向量）
2. 线面角
直线
与平面所成角，
(
为平面
的法向量).
3. 二面角
的平面角
（
，
为平面
，
的法向量）.
4. 点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
5. 内切球体积
任意的简单n 面体内切球半径为
(V 是简单n 面体的体积，
是简单n 面体的表面积)
6. 三垂线法求二面角
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
7. 垂面法求二面角
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可
知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
8. 射影面积法求二面角
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（cosθ = S射
S斜
=
S△A
′ B
′C
′
S△ABC
,如图)求出二面角的大小
9. 三余弦定理
设AC 是α 内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO 与AB 所成的角为
，AB 与AC 所成的角为
，AO 与AC 所成的角为
．则
.
10. 三射线定理
若夹在平面角为
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是
,
,与二面角的棱所成的角
是θ，则有
;
(当且仅当
时等号成立).
长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
，夹角分别为
,则有
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
11. 空间两点间的距离公式
若A
，B
，则
=
.
12. 异面直线上两点距离公式
.
.
（
）.
(两条异面直线a、b 所成的角为θ，其公垂线段
的长度为h.在直线a、b 上分别取两点E、F，
,
,
).
13. 欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E 和面数F).
（1）
=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
的多边形，则面数F 与棱数E 的关
系：
；
（2）若每个顶点引出的棱数为
，则顶点数V 与棱数E 的关系：
.
14. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外
接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
的正四面体的内切球的半径为
,外接球的半径为
.
一、单选题
1．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥
中，侧面
底面ABCD，侧面SAD 是正三角形，底面
ABCD 是边长为
的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5π
B．10π
C．28π
D．56π
2．（2025·山西·一模）设
为圆锥
底面的一条直径，
为底面圆周上异于
的一点，
为
靠近
的一个三等分点，且二面角
与二面角
的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥
的体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川·模拟预测）在正四棱柱
中，
，
，
分别是平面
和
上一点，且
，
，记异面直线
与
所成的角为
，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广西·三模）如图，在棱长为
的正方体
中，点
是平面
内的一个动点，
当
时，点
的轨迹长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东·模拟预测）已知
为等腰直角三角形，
，D 为斜边BC 上一动点，将
沿AD 折起得到三棱锥
，C 的对应点为
，且二面角
为
，当
最小时，
三棱锥
的外接球半径为（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．（2025·广东广州·三模）已知棱长为2 的正方体的几何中心为
，平面
与以
为球心的球相切，若
截该正方体所得多边形始终为三角形，则球
表面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川成都·模拟预测）一个棱长为4 的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相
等的铁球，则铁球半径的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．1
8．（2025·江苏南通·模拟预测）已知半径为5，圆心角为
的扇形铁片
如图一，将其裁剪成如图
二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内
注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形
，
，
，将
沿对角线
折起，使以A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．（2025·浙江·一模）已知正四面体
外接球的球心为
，过点
的平面
与棱
分别相交，记在平面
两侧的几何体的体积分别为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2025·吉林长春·模拟预测）在四面体
中，
，其余各棱长均为2，则该四面体的（ ）
A．表面积为
B．体积为
C．外接球的半径为
D．内切球的半径为
12．（25-26 高二上·河北·月考）如图，在棱长为2 的正方体
中，
分别是线段
上的动点（不含端点），且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥
体积的最大值为
C．若
，则三棱锥
外接球的表面积为
D．存在
，使得
平面
13．（2025·江苏苏州·模拟预测）在正三棱柱
中，
，点P 满足
，
其中
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，直线
与直线
异面
B．当
时，平面
与底面
所成角为定值
C．当
时，有且仅有两个点P，使得
D．当
时，有且仅有一个点P，使得
平面
14．（2025·河北沧州·一模）已知菱形
的边长为2，
，将
沿着
折起至
，
连接
，得到三棱锥
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥
体积的最大值为1
C．若
，则三棱锥
外接球的表面积为
D．若二面角
的余弦值为
，则三棱锥
内切球的体积为
15．（2025·广东·模拟预测）已知体积为
的四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，且
，记四棱锥
的表面积为，则（ ）
A．点
到平面
的距离为2
B．
的面积为2
C．
D．存在点
使得四棱锥
有内切球，且内切球的表面积为
16．（25-26 高三上·吉林四平·月考）如图，在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为侧面
内一点（含边界），则（ ）
A．若
为棱
的中点，则平面
截正方体所得截面为梯形
B．若
为线段
上一点，则三棱锥
的体积为定值
C．若
为
的中点，则
平面
D．若
为侧面
的中心，则过
且与
垂直的平面截正方体所得截面面积为
17．（2025·云南昭通·模拟预测）正方体
的棱长为2，线段
上有两个动点E、F，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥
的体积为定值
C．过点A 仅能作1 条直线，使正方体的12 条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P 是平面
内一点，若
，则点P 的轨迹长度是
18．（25-26 高二上·浙江·月考）已知棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别为
，
，
的中点，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．若点
是正方体表面上一动点且满足
，则点
的轨迹长度为
D．已知平面
过点
且
，若
，且
，则
点的轨迹长度为
19．（2025·江苏·模拟预测）棱长为1 的正方体
中，M，N，P 分别为棱
，
，
的中点，Q 为平面PMN 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面PMN 截正方体表面所得截面为五边形
B．平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
C．若
与
的夹角为
，则Q 点的轨迹长度为
D．若
，
交于
，正方形
的四个顶点绕着
在上底面逆时针旋转45°得到一个十面体
（如图），则该十面体的体积为
20．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为的正方体
中，底面
内（含边
界）有一动点
，下列说法正确的有（ ）
A．当E 在线段
上运动时，三棱锥
体积不变
B．异面直线
与
成角的余弦值的取值范围是
C．当点
到
的距离等于点
到平面
的距离时，
的最大值为
D．四棱锥
外接球的表面积最小值为
三、填空题
21．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知正三棱锥
，底面边长为，二面角
的正切值为
，则正三棱锥
的外接球半径为 ，
分别为正三棱锥
内切球，外接球球面上
的动点，则线段
长度的最大值为 ．
22．（2025·河北·模拟预测）在三棱锥
中，
，点P 在平面ABC 上的投影O 是
的垂
心，
平面PBC，若
，则三棱锥
的体积的最大值为 ．
23．（2025·湖南·模拟预测）如图，圆锥
的顶点为S，点A，B，C，D 在底面圆O 的圆周上，且
，
的交点为圆心O，
，
，
，则平面
与平面
夹角的余弦值为 ；若P
是母线
上一点，且
，Q 是平面
内一点，则
周长的最小值为 .
24．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知在四棱锥
中，面
底面
，且
，
，则四棱锥
体积的最大值为 ．
25．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在正方体
中，点
分别在棱
，
，
上，
为
的中点，
，
，记平面
与平面
的交线为
．则直线
与平面
所成角的正切值为 ．
26．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面
，异面直线
与
所成的角是
，
则线段
的长为 ．
27．（2025·陕西·模拟预测）在四面体
中，
，
，
，
，若
异面直线
与
所成的角为
，则
．
28．（2025·四川成都·一模）在三棱锥
中，
底面
，侧面
侧面
，且
，
的面积为4.若三棱锥
的各个顶点都在球
的球面上，则球
表面积的最小值为 .
29．（2025·湖北·模拟预测）已知正
的边长
分别为边
的中点，将
沿直线
翻
折到
，当三棱锥
的体积最大时，四棱锥
外接球
的表面积为 ，此时
分别过
作球
的两个相切的平面
，设
相交所成的二面角大小为
，则
.
30．（2025·北京·三模）如图，已知棱长为2 的正方体
中，动点M ， N， P ， Q 分别
在棱
，
，
，
上， 且满足
，
， 设.
给出下列四个
结论：
当
①
时， 则四面体
的表面积为8:
存在
②
m、n，使得四面体
的表面积为9；
当
③
时，四面体
的体积为
四面体
④
.
的体积与m、n 无关.
其中所有正确结论的序号为 .
四、解答题
31．（2025·江苏·模拟预测）在三棱锥
中，
，
，
．
(1)若平面
平面
，
证明：
①
．
三棱锥
②
的各个顶点都在球
的表面上，求直线
与平面
所成角的正弦值．
(2)若二面角
的正切值为
，求
的长．
32．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为正方形，
底面
ABCD，
，E 为线段PB 的中点．
(1)若F 为线段BC 上的动点，证明：平面
平面PBC；
(2)若F 为线段BC 上的动点，探究是否存在点F 使得
平面AEF，说明理由；
(3)若F 为线段DC 的中点，
，过A、E、F 三点的平面交PC 于点G，求四棱锥
与
的体积之比．
33．（2025·湖北黄冈·三模）如图，在四棱锥
中，
底面
四面体
的体积为
的面积为
.
(1)求点
到平面
的距离；
(2)若
，平面
平面
，证明：BC⊥平面
(3)在（2）的条件下，在棱
上是否存在一点N，使平面
与平面
夹角为
，若存在，求
的长.若不存在，说明理由
34．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图
所示，长方形
①
中，
，点
是边
的中点，
将
沿
翻折到
，连接
，
，得到图
的四棱锥
②
．
(1)若
为等边三角形，求四棱锥
的体积；
(2)在图
中画出平面
②
与平面
的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
35．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台
中，
，
，
，
为线段
上一点，
.
(1)求证：点
为线段
的中点；
(2)若直线
与直线
所成角的正切值为5，
，求证：平面
平面
.
(3)设二面角
的大小为
，直线
与平面
所成角的大小为
，求
关于
的函数表达式，
并求
的取值范围.
36．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱
中，
是边长为2 的正三角形，且
．
(1)求证：四边形
是矩形；
(2)从条件
、条件
、条件
这三个条件中选择一个作为已知，求直线
①
②
③
与平面
所成角的正弦值．
条件
：平面
①
平面
；
条件
：三棱柱
②
的体积为
；
条件
：三棱锥
③
是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
37．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，四边形
是边长为2 的正方形，点
分别在线段
上
运动，且
．将
沿
折起，使得点
到达点
的位置，此时平面
平面
．
(1)当
时，求证：
；
(2)是否存在
，使
？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在
，使得二面角
的平面角为
．
38．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在多面体
中，
四点共面，四边形
为平
行四边形，
，
，
，且
，
，
，
.
(1)求
的长；
(2)求多面体
的体积；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
39．（2025·江苏·模拟预测）如图几何体中，四边形ABCD 和AEFD 都是梯形，
.
(1)证明：B，E，F，C 四点共面；
(2)若
，求该几何体的体积；
(3)求平面BDE 与平面BEFC 的夹角的余弦值的最大值.
40．（2025·四川成都·模拟预测）如图
所示，矩形
①
中，
，点
是边
的中点，
将
沿
翻折到
，连接
，得到图
的四棱锥
②
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求直线
与平面
所成角的大小；
(3)设
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
