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25.1 随机事件与概率
【基础训练】
一、单选题
1．以下转盘分别被分成2 个、4 个、5 个、6 个面积相等的扇形，任意转动这4 个转盘各1 次．已知某转盘
停止转动时，指针落在阴影区域的概率是
，则对应的转盘是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案．
【详解】
解：A．指针落在阴影区域的概率是
，
B．指针落在阴影区域的概率是
，
C．指针落在阴影区域的概率是
，
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D．指针落在阴影区域的概率是
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是偶数
B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下
C．打开电视机，正在播放“快乐大本营”
D．任意画一个三角形，其内角和是
【答案】D
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】
解：A、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；
B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放“快乐大本营”，是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是
，是必然事件；
故选D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也
可能不发生的事件．
3．如图，有4 张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，
背面完全相同，现将这4 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡好是
冰壶项目图案的概率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
事件所有可能的结果有4 种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1 种，据此利用概率公式求解
即可．
【详解】
事件所有可能的结果有4 种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1 种，所以抽出的卡片正面怡
好是冰壶项目图案的概率是
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等可能事件的概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果．
4．在一个不透明的袋中装有5 个球，其中2 个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸
出1 个球，摸出红球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据简单事件的概率计算公式即可得．
【详解】
解：由题意得：从不透明的袋中随机摸出1 个球共有5 种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有2 种，
则从中随机摸出1 个球，摸出红球的概率是
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
5．下列说法错误的是（ ）
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A．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查
B．了解北海市中学生睡眠时间，采用抽样调查
C．气象局预报说“明天的降水率为85%”，意味着明天一定下雨
D．在统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图
【答案】C
【分析】
直接利用概率的意义、全面调查和抽样调查的意义和统计图的特点分别分析即可得出答案．
【详解】
A、了解某班同学的数学成绩，适宜采用全面调查，故说法正确，不符合题意；
B、了解北海市中学生睡眠时间，适宜采用抽样调查，故说法正确，不符合题意；
C、气象局预报说“明天的降水率为85%”，意味着明天下雨的可能性较大，故说法错误，符合题意；
D、在统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查随机事件的定义，概率的意义，调查方式的选择和统计图的特点，正确把握相关定义是解题
关键．
6．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，
③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】
不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．
【详解】
A 选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；
B 选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
C 选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
D 选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一
定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指
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在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C．打开电视机，正在播放广告
D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
【答案】D
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握三种事件的区别与联系成为解答本题的
关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B．某彩票的中奖机会是1%，买100 张一定会中奖
C．从装有3 个红球和4 个黑球的袋子里摸出1 个球是红球的概率是
D．某校有3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200 名学生，其中有85 名学
生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360 人
【答案】D
【分析】
根据普查的特点，得出了解我国中学生课外阅读情况应采取抽样调查；由于中奖的概率是等可能的，则买
100 张可能会中奖，可能不会中奖；共有7 个小球，其中3 个红球，抽到红球的概率为
；根据计算公式
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列出算式
，即可求出答案．
【详解】
解：A、根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学生课外阅读情况，
人数较多，范围较广，应采取抽样调查，选项说法错误，不符合题意；
B、由于中奖的概率是等可能的，则买100 张可能会中奖，可能不会中奖，选项说法错误，不符合题意；
C、共有7 个小球，其中3 个红球，抽到红球的概率为
，选项说法错误，不符合题意；
D、根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式
，求出结果为1360 人，
选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了普查与抽样调查的区别、概率发生的可能性、求随机事件的概率与求某项的人数，关键在
于熟悉普查的适用范围是调查对象的个体数很少，没有破坏性，要求结果准确，同时会根据等可能事件的
概率公式求解，进行判断．
9．下列说法正确的是（ ）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式
B．平均数相同的甲、乙两组数据，若甲组数据的方差
，乙组数据的方差
，则乙组数
据比甲组数据稳定
C．某次抽奖，中奖概率为
，小李抽取了100 张彩票，一定有两张中奖
D．随机掷一枚质地均匀的硬币，若第一次正面朝上，则第二次一定反面朝上
【答案】B
【分析】
根据题意，分别对四个选项利用概率及数据分析的知识进行判断，选择正确的选项即可．
【详解】
A.要了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查的方式，A 错误；
B.方差越小则数据越稳定，B 正确；
C.某次抽奖，中奖概率为
，小李抽取了100 张彩票，可能有两张中奖，C 错误；
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D.随机掷一枚质地均匀的硬币，若第一次正面朝上，则第二次可能反面朝上，D 错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，难点在于理解概率的意义，熟练掌握概率及数据分析的相
关知识是解决本题的关键．
10．下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3 天内将下雨
B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号
D．没有水分，种子发芽
【答案】D
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】
解：A、3 天内将下雨，是随机事件；
B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也
可能不发生的事件．
11．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为6
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．两个加数的和一定大于每一个加数
D．任意实数的绝对值为非负数
【答案】D
【分析】
根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念即可区分各类事件．
【详解】
A、随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数可以为1-6 中任意一个，是随机事件，选项不合题意；
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B、抛一枚硬币，正面朝上也可以反面朝上，是随机事件，选项不合题意；
C、两个加数的和不一定大于每一个加数，是随机事件，选项不合题意；
D、任意实数的绝对值为非负数，即
，选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；必然事件是指在
一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事
件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．在一个不透明的袋中装有6 个只有颜色不同的球，其中3 个红球、2 个黄球和1 个白球．从袋中任意摸
出一个球，是白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先确定袋中任意摸出一个球，是白球的结果数，再确定总结果数，最后利用概率公式即可求解．
【详解】
解：从袋中任意摸出一个球，是白球的结果数为1 个，总结果数为6 个，因此袋中任意摸出一个球，是白
球的概率为
；
故选A．
【点睛】
本题考查了等可能事件的概率问题，解决本题的关键是牢记概率公式，本题较基础，侧重学生对概率的理
解与对概率公式的运用．
13．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．如果x2＝y2，那么x＝y
B．车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯
C．掷一枚1 元的硬币，有数字的面向上
D．太阳每天都会从东方升起
【答案】D
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【分析】
根据时间发生的可能性大小判断相应事件的类型即可
【详解】
A、如果x2＝y2，那么x＝y 或x＝-y，所以x＝y 是随机事件，不符合题意；
B、车辆行驶到某十字路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚1 元的硬币，有数字的面向上是随机事件，不符合题意；
D、太阳每天都会从东方升起是必然事件，符合题意．
故答案选：D
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一
定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14．数轴上表示
两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据实数运算法则，利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义逐一分析即可得答案．
【详解】
∵数轴上表示
两数的点分别在原点左、右两侧，
∴
，
，
∴
可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故A 选项是随机事件，符合题意，
，故B 选项是不可能事件，不符合题意，
，故C 选项是不可能事件，不符合题意，
，故D 选项是必然事件，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查实数的运算及随机事件、不可能事件、必然事件的定义；根据数轴确定a、b 的符号，熟练掌握实
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数的运算法则及随机事件、不可能事件、必然事件的定义是解题关键．
15．在一个不透明的盒子放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有4 个，每次将球搅拌
均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的概率稳定在
25%，那么可以推算出a 约是（ ）
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】C
【分析】
摸到红球的频率稳定在25%，即
， 即可解得a 的值．
【详解】
解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴
，
解得：a＝16．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
16．四个相同的不透明的袋子都装有除颜色外无其它差别的小球．从这四个袋子中分别随机摸出一个球，
摸到红球可能性最大的是（ ）
A．有1 个红球和2 个白球的袋子
B．有2 个红球和3 个白球的袋子
C．有3 个红球和4 个白球的袋子
D．有4 个红球和5 个白球的袋子
【答案】D
【分析】
根据概率公式求出每一个选项的概率，比较即可．
【详解】
解：A、随机摸出一个球，摸到红球的概率
B、随机摸出一个球，摸到红球的概率
C、随机摸出一个球，摸到红球的概率
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D、随机摸出一个球，摸到红球的概率
故选：D．
【点睛】
本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P（A）＝事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果
数商是解答此题的关键．
17．“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，
这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任
意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则
的值可能是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】
根据必然事件的意义，进行解答即可．
【详解】
解：根据题意可得，x 的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：A．
【点睛】
本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可
能性是正确解答的关键．
18．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到6
号卡片的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据概率公式直接求解即可．
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【详解】
由题意，共有6 张卡片，其中6 号卡片有3 张，
∴摸到6 号卡片的概率为：
，
故选：A．
【点睛】
本题考查根据概率公式求概率，理解概率公式是解题关键．
19．笔简中有8 支形状相同的铅笔，其中红色3 支，黑色5 支，若蒙住眼从笔筒中任意抽出一支铅笔，则
抽到黑色铅笔的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用概率公式计算可得．
【详解】
解：∵笔简中有8 支形状相同的铅笔，其中红色3 支，黑色5 支，
∴从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到黑色铅笔的概率是
；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果数÷
所有可能出现的结果数．
20．不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2 个红球和1 个白球，从袋子中随机摸出2 个球，下列事件是
必然事件的是（ ）
A．摸出的2 个球中至少有1 个红球
B．摸出的2 个球都是白球
C．摸出的2 个球中1 个红球、1 个白球
D．摸出的2 个球都是红球
【答案】A
【分析】
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根据随机事件和必然事件的具体意义进行判断即可．
【详解】
解：袋子里装有2 个红球和1 个白球，
随机摸出2 个球，根据抽屉原理可知，
随机摸出2 个球，至少有1 个红球，
故选：A．
【点睛】
本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提．
21．如图，小明从
入口进入博物馆参观，参观后可从
，
，
三个出口走出，他恰好从
出口走出
的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
此题根据事件的三种可能性即可确定答案
【详解】
当从A 口进，出来时有三种可能性即：B，C，D；恰好从C 口走出的可能性占总的
，故概率为
；
故答案选：B；
【点睛】
此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可．
22．五张不透明的卡片，正面分别写有实数
，
，
，
，5.06006000600006……（相邻两个6 之
间0 的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张
卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
通过有理数和无理数的概念判断，然后利用概率计算公式计算即可．
【详解】
有理数有：
，
，
；
无理数有：
，5.06006000600006……；
则取到的卡片正面的数是无理数的概率是
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可．
23．下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．打开电视机，正在播放新闻联播
C．随机买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】A
【分析】
根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可．
【详解】
解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°；属于必然事件，故此选项符合题意；
B、打开电视机，正在播放新闻联播；属于随机事件，故此选项不符合题意；
C、随机买一张电影票，座位号是奇数号；属于随机事件，故此选项不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；属于随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
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本题考查了随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的
可能性是正确解答的关键．
24．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
C．一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7
D．甲乙两人在相同的条件下各射击
､
10 次，他们成绩的平均数相同．方差分别是
，
，
则甲的成绩更稳定
【答案】D
【分析】
根据必然事件的定义、概率的定义、中位数和众数的定义、方差的意义逐项判断即可得．
【详解】
A、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此项说法错误；
B、“明天下雨概率为
”，是指明天下雨的可能性有
，此项说法错误；
C、一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数是6 和7，此项说法错误；
D、因为
，所以甲的成绩更稳定，此项说法正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了必然事件、概率、中位数和众数、方差，掌握理解各定义是解题关键．
25．背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数
的四个结论，现将卡片
背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】
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根据函数
的图像与性质先判断四张卡片上有3 张卡片的结论正确，进而即可得到抽到卡片上的
结论正确的概率是
．
【详解】
∵
，
∴函数图象经过一、三、四象限，y 随着x 的增大而增大
令
，得到
∴函数图像与x 轴的交点为点
令
，得到
∴函数图像与y 轴交点为
∵y 随着x 的增大而增大，当
，得到
，当
，得到
∴当
时，
∴4 张卡片中第一、二、四张卡片上的结论正确，结论正确的有3 张
∴随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图像与性质，以及简单概率的求解，熟练掌握一次函数的图像与性质是解决本
题的关键．
26．一个不透明的盒子里有若干个黑球和3 个白球，3 个红球，它们除颜色外没有其他区别，若从这个盒
子里随机摸出一个黑球的概率是
，则这个盒子里黑球的个数为（ ）
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A．12 个
B．9 个
C．6 个
D．3 个
【答案】B
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，
让黑球的个数除以球的总数即为摸到黑球的概率，进而求出黑球个数．
【详解】
解：设黑球的个数为x 个，共（6＋x）个球，
由题意得：
，
解得：x＝9，
经检验：
是原方程的根，且符合题意，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m
种结果，那么事件A 的概率P（A）＝
．
27．从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽
取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】
分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又
是中心对称图形的是：矩形，圆，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：
分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图
形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；
现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为
，
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故选：B．
【点睛】
本题考查了概率公式的应用，解题的关键是：首先判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形，然
后利用概率公式求解．
28．下列事件是必然发生事件的是（ ）
A．打开电视机，正在转播足球比赛
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．在一个只装有5 个红球的袋中摸出1 个球，是红球
D．农历十五的晚上一定能看到圆月
【答案】C
【分析】
根据必然事件的定义判断即可，必然事件即事件发生的可能性为100％．
【详解】
解：A、打开电视机，正在转播足球比赛为随机事件，不符合题意；
B、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数为随机事件，不符合题意；
C、在一个只装有5 个红球的袋中摸出1 个球，是红球为必然事件，符合题意；
D、农历十五的晚上一定能看到圆月有可能阴天，为随机事件，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查必然事件的定义，能够根据题意判断事件发生的可能性大小是解题的关键．
29．下列说法中，正确的是（ ）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．甲、乙两人各进行了10 次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s 甲
2＝3.2，s 乙
2＝1，则乙的射
击成绩较稳定
C．为了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100 袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100
D．某种彩票中奖的概率是
，则购买10 张这种彩票一定会中奖
【答案】B
【分析】
分别根据抽样调查的概念、方差的意义、样本的概念和概率的意义对各选项分析判断即可．
【详解】
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解：A、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
B、甲、乙两人各进行了10 次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s 甲
2＝3.2，s 乙
2＝1，则乙的射
击成绩较稳定，正确，符合题意；
C、为了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100 袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100
袋洗衣粉的质量，故本选项不符合题意；
D、某种彩票中奖的概率是
，则购买10 张这种彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
考查了概率公式、调查方式的选择、算术平均数及方差的意义，属于基础性题目，比较简单，应该重点掌
握．
30．下列说法正确的是（ ）
A．可能性很小的事情是不可能发生的
B．可能性很大的事情是必然发生的
C．投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是不可能发生的
D．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的
【答案】D
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】
解：A、可能性很小的事情是可能发生的，本选项说法错误；
B、可能性很大的事情不一定是必然发生的，本选项说法错误；
C、投掷一枚普通的正方体骰子，结果恰好是“3”是随机事件，本选项说法错误；
D、投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数是必然发生的，故本选项说法正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不
可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也
可能不发生的事件．
二、填空题
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31．如图，飞镖游戏板（
方格）中每一块小正方形除标注的数字外都相同，假设飞镖击中每一块小正
方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1 次），任意投掷飞镖1 次，击中标
有数字“1”的小正方形的概率等于______．
1
2
3
2
3
2
2
1
2
3
1
3
3
1
2
1
3
1
2
2
2
3
2
3
1
【答案】
【分析】
让数字“1”的小正方形的个数除以所有小正方形的总数即可．
【详解】
解：掷一次击中数字“1”的小正方形的个数有7 个，小正方形的个数有共25 个，
∴掷一次击中数字“1”的小正方形的概率是：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
32．如图是由四个直角边长分别为2 和4 的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖
线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是______．
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【答案】
【分析】
先由４个全等且直角边已知的三角形求出阴影部分面积，再结合勾股定理求出大正方形的面积，最后根据
几何概率的求法即可求解．
【详解】
根据题意，“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角形的直角边长分别为2 和4，
则阴影部分的正方形的边长为
，即面积为4．
由勾股定理，可得大正方形的边长为
，即面积为20．
故针扎在阴影部分的概率为
．
故答案是：
．
【点睛】
本题考察勾股定理和几何概率的求法，难度不大，属于基础题．解题的关键在于掌握几何概率的求解方法．
33．如图，是用黑白打印机在纸张上打印的边长为
的正方形“易加学院”微课二维码．为了估计图
中黑色部分的总面积，在该二维码内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在
0.75 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_________
．
【答案】300
【分析】
先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75 左右，可估计点落入黑色部分的概率为
0.75，再乘以正方形的面积即可得出答案．
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【详解】
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在075 左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.75，
∴估计黑色部分的总面积约为20×20×0.75 = 300，
故答案为：300．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动
的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是
这个事件的概率．
34．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全
相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
【答案】
【分析】
先判断黑色区域的面积，再利用概率公式计算即可
【详解】
解：因为正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小
正方形的面积，所以黑色区域的面积为2 个小正方形的面积，而共有9 个小正方形则有小球停留在黑色区
域的概率是
故答案为：
【点睛】
本题考查概率的计算，正方形的性质、熟练掌握概率公式是关键
35．某单位组织抽奖活动，共准备了150 张奖券，设一等奖5 个，二等奖20 个，三等奖80 个．已知每张
奖券获奖的可能性相同，则1 张奖券中一等奖的概率是____________．
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【答案】
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】
解：根据随机事件概率公式得；
1 张奖券中一等奖的概率为
，
故答案是：
．
【点睛】
本题考查了概率公式，解题的关键是：理解随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有的可能出
现的结果数．
三、解答题
36．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情
况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查
结果绘制成下面两幅统计图．
（1）本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校4000 名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2 名男生，其余为女生，从中随机抽取2 人在全校做垃圾分类知识
交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
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【答案】（1）50 名，见解析；（2）1360 人；（3）
【分析】
（1）由“了解”的人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以对应的百分比可求出“非常了解”、
“了解很少”的人数，继而求出“不了解”的人数，从而补全图形；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图展示所有20 种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）本次被调查的学生有：12÷24%＝50（人），
则“非常了解”的人数为50×10%＝5（人），
“了解很少”的人数为50×36%＝18（人），
“不了解”的人数为50−（5＋12＋18）＝15（人），
补全图形如下：
（2）估计该校4000 名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是：4000×（10%＋24%）＝1360（人）；
（3）根据题意画树状图如下：
共有20 种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的有12 种结果，
所以恰好抽到一男一女的概率为
＝
．
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【点睛】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重
量小于或等于1 千克的收费10 元；重量超过1 千克的部分，每超过1 千克（不足1 千克按1 千克计算）需
再收费2 元．下表是该公司某天9：00～10：00 统计的收件情况：
重量
（千克）
件数
135
140
110
65
50
0
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
（1）求包裹重量为1＜G≤2 的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3 千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司
收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
【答案】（1）
；（2）方案②，见解析
【分析】
（1）包裹重量为1＜G≤2 的概率，等于1＜G≤2 的件数除以总件数；
（2）法一：设小东打算邮寄的这批每件3 千克的包裹共有
件，所需要的费用为
元，法二：设小东打
算邮寄的这批每件3 千克的包裹，每件所需要的费用为
元，将两咱付费方式的费用分别计算出来进行比
较即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）法一：设小东打算邮寄的这批每件3 千克的包裹共有
件，所需要的费用为
元，依题意得：
方案①付费：
（元）
方案②付费：
（元）．
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∵
，
小东应选择方案②付费合算．
法二：设小东打算邮寄的这批每件3 千克的包裹，每件所需要的费用为
元，依题意得：
方案①每件包裹需付费：
（元/件）
方案②每件包裹需付费：
（元/件）
∵
（元/件），且小东邮寄的包裹数量固定，
∴小东应选择方案②付费合算．
【点评】
此题考查了概率，加权平均数等知识，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的
关键．
38．某中学八年级在新学期开设了四门校本选修课程：
．国学；
．击剑；
．舞蹈；
．国际象棋，
要求每名学生必须选择且只能选择其中一门课程，学校随机抽查了部分八年级学生，对他们的课程选择情
况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
课程选择情况条形统计图 课程选择情况扇形统计图
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共抽查了________名学生；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）现有甲，乙两名同学选课，求他们选择同一门课程的概率．
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【答案】（1）210；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由D 课程人数及其所占百分比求解即可；
（2）总人数减去A、B、D 人数即可求出C 课程人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）此次抽查的学生人数为42÷20%=210（名），
故答案为：210；
（2）C 课程人数为210-（58+50+42）=60（人），
（3）列表可得
甲
乙
由表格可得，甲，乙两名同学选课总的情况有16 种，恰好是甲，乙选择同一门课程的的情况有4 种，
∴甲、乙两位同学选择同一门课程的概率为
；
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
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或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
39．在初中毕业理化生实验复习备考中，化学田老师为本班学生准备了下面5 个实验项目：A 粗盐中难溶
性杂质的去除；B．二氧化碳的实验室制取、验满及检验；C 镁、锌、铁、铜主要化学性质的探究；D．配
置50g 质量分数为6%的氯化钠溶液；E．探究物质燃烧的条件．并准备了如图的五等分转盘，规定每名学
生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）．
根据数学知识回答下列问题：
（1）小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是多少？
（2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“E”实验的概率（用树状图或列表法求
解）．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有25 个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是
；
（2）画树状图如图：
共有25 个等可能的结果，小明和小红两名同学都没有选中“E”实验的结果有16 个，
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∴小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“E”实验的概率为
．
【点睛】
此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意列出树状图及概率公式的运用．
40．辽宁省某城市力争创建精神文明城市，需要全民一心，大家共同打造自己美好的家园．小明的爸爸和
妈妈申请利用业余时间到社区义务服务，根据社区的安排，小明的爸爸和妈妈被随机分配到A、B、C、D
四个共享单车停车点中的一个地点服务．
（1）小明的爸爸会被分到A 停车点服务的概率是 ；
（2）小明的爸爸和妈妈分配在同一停车点的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法列出所有可能结
果）
【答案】（1）
；（2）
，见解析
【分析】
（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【详解】
解：（1）小明的爸爸会被分到A 停车点服务的概率是
，
故答案为：
；
（2）依题意画出树状图如下图所示，
故小明的爸爸和妈妈分配在同一停车点的概率是
．
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【点睛】
本题考查列表法与树状图法、概率的求解，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的
概率．
41．全国政协十三届四次会议和十三届全国人大四次会议相继于2021 年3 月4 日、5 日在北京召开．某校
党支部为了解在校生收看两会的总时长（单位：小时）的情况，从在校生中随机抽取了
名学生进行调
查，并完成调查问卷（有关两会的基本知识测试，共分4 个部分，分别为“两会常识、民生部分、科技部
分、政治部分”，各部分满分25 分）．校党支部回收所有问卷后，进行整理、统计，绘制了如表1 所示的
频数分布表（不完整）．
表1：受调查者收看两会的总时长统计表
总时长/小时
频数
频率
7
0.14
0.28
12
9
表2：甲、乙、丙三位学生的问卷成绩
甲
乙
丙
两会常识（权重：
20%）
24
22
25
民生部分（权重：
30%）
20
24
19
科技部分（权重：
25%）
17
18
21
政治部分（权重：
25%）
23
19
20
总分
20.85
20.10
（1）本次抽样调查的样本容量是______；表1 中
______，
______，
______．
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（2）从受调查者中随机抽取一人，求抽到的受调查者收看两会的总时长在“
”范围内的概率．
（3）该校党支部欲从收看两会的总时长在“
”的范围内的受调查者中，选取问卷成绩较好的一人
作为学生代表，在校周会上进行发言．经过初步筛选后，有甲、乙、丙三位学生入选，各自对应的问卷成
绩如表2 所示（不完整）．根据表2，请你判断甲、乙、丙三位学生中，哪位学生可以作为学生代表进行
发言，并说明理由．
【答案】
【详解】
略
42．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的
个小球，其中红球
个，黑球
个．
（1）先从袋子中取出
个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件
．当
为何值时，事件
是必然事件？
（2）先从袋子中取出
个红球，再放入
个一样的黑球并摇匀，若随机摸出个球是黑球的概率等于
，
求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件；
（2）利用概率公式列出方程，求得
的值即可．
【详解】
解：（1）当
时，事件
是必然事件．
（2）依题意，得
，
解得
，
故所求
的值是
．
【点睛】
本题考查概率问题，掌握概率的计算公式以及准确理解题意是解答本题的关键．
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43．高铁和航空业的飞速发展不仅方便了人们的出行，更显著带动了我国经济的发展．据统计，在2019 年
内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50 万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取
100 人次作为样本，得到下表（单位：人次）数据：
满意度
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
10 分（满意）
12
1
20
2
20
1
5 分（一般）
2
3
6
2
4
9
0 分（不满意）
1
0
6
3
4
4
（1）在样本中任取1 个，求这个人恰好是青年人的概率；
（2）如果甲要从A 市前往B 市，以满意度的平均值作为决策依据，你会建议甲乘坐高铁还是飞机？
【答案】（1）0.42；（2）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市
【分析】
（1）先计算出出行的青年人的人次，再利用概率公式计算即可．
（2）分别计算出乘坐高铁的乘客的满意度平均值和乘坐飞机的乘客的满意度平均值，再进行比较即可．
【详解】
解：（1）由表可得：样本中出行的青年人人次为
，
所以在样本中任取1 个，这个人恰好是青年人的概率为
．
（2）乘坐高铁的乘客的满意度平均值为
．
乘坐飞机的乘客的满意度平均值为
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．
因为
，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．
【点睛】
本题考查简单的概率计算和加权平均数的实际应用．从表格中获取必要的信息数据是解答本题的关键．
44．一个不透明的口袋中放有290 个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的
2 倍多40 个．
（1）求袋中红球的个数；在“①从袋中任取一个球是白球的概率是
”，“②从袋中任取一个球是黑球
的概率是
”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择多个条件分
别解答，按第一个解答计分）
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【答案】（1）200；（2）
【分析】
（1）根据题意设黑球的个数为x，则分别表示出红球和白球的个数，从而结合概率公式求解即可；
（2）在（1）得出的结论基础之上结合概率公式求解即可．
【详解】
（1）设黑球的个数为x，则红球的个数为
，白球的个数为
，
若选①，根据概率公式得：
，
解得：
，
∴红球个数为：
；
若选②，根据概率公式得：
，
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解得：
，
∴红球个数为：
；
综上，红球的个数为200 个；
（2）由（1）可知，袋子中有黑球80 个，红球200 个，白球10 个，
∴从袋中任取一个球是黑球的概率
．
【点睛】
本题考查已知概率反求数量的问题，理解概率的定义以及概率公式是解题关键．
45．小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别对应价值2，5，5，10（单位：元）的四件
奖品．
（1）如果随机翻一张牌，直接写出抽中5 元奖品的概率；
（2）如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10 元的概率．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）利用概率的定义，翻到5 元的次数除以总共可发生的次数即可；
（2）通过画树状图，可得两次翻牌的和，即可；
【详解】
由题知：（1）在价值为2，5，5，10（单位：元）的四件奖品，价值为5 元的奖品有2 张，∴ 抽中5 元奖
品的概率为
；
（2）画树状图如下：
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由树状图可知共有12 种等可能结果，其中所获奖品总值不低于10 元的有8 种，∴所获奖品总值不低于10
元的概率为
；
【点睛】
本题主要考查随机概率事件及树状图的使用，关键在熟练使用树状图；
46．某地响应国家号召，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类，并分别设置了
相应的垃圾箱．为调查该地居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该地四类垃圾箱中总计1000
吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“有害垃圾”箱
“其它垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
40
60
可回收物
30
140
10
20
有害垃圾
5
20
60
15
其他垃圾
25
15
20
40
（1）估算该地“有害垃圾”被正确投放在“有害垃圾箱”的概率．
（2）已知该地一个月有5600 吨生活垃圾，问投放错误的有害垃圾大约有几吨？
【答案】（1）该地“有害垃圾”投放正确的概率是0.6；（2）该地一个月5600 吨生活垃圾中有害垃圾投
放错误的大约有2240 吨．
【分析】
（1）有害垃圾100 吨，投放到 “有害垃圾”箱60 吨，故可求“有害垃圾”被正确投放在“有害垃圾箱”的概率；
（2）利用5600 乘以投放错误的有害垃圾的概率即可
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【详解】
（1）
，
答：该地“有害垃圾”投放正确的概率是0.6
（2）
（吨）．
答：该地一个月5600 吨生活垃圾中有害垃圾投放错误的大约有2240 吨．
【点睛】
本题考查了概率公式的求解和对立事件，属基础题，正确的理解题意是解题的关键．
47．在一个口较里有
个黑球和
个白球
（1）从口袋中随机地取出一个球，如果它是白球的概率是
，写出表示
和
关系的表达式．
（2）在（1）的结论下，如果往口袋中再放进10 个黑球，则取得白球的概率变为
，求
和
的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
根据概率的求法，找准两点：
符合条件的情况数目，
全部情况的总数，二者的比值就是其发生的
概率．
【详解】
（1）根据题意可得，袋中共有
个球，白球的个数为
个，根据白球的概率是
，可得关系式
，
整理得：
（2）如果往口袋中再放进10 个黑球，则袋中共有
个球，白球个数为：
个，因为白球的概率
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变为
，
可得：
，
与（1）中
联立得
，
解得：
，
所以：
．
【点睛】
本题考查了概率的求法：如果一个事件有
种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结
果，那么事件A 的概率为：
．
48．某中学举行“中国梦·中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D 四个等级，绘制
了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有______人，扇统计图中
______，
______；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）学校欲从A 等级2 名男生2 名女生中随机选取两人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，
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求A 等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码
、
表示，女生分别用代码
、
表示）
【答案】（1）共有40 人，
，
；（2）见解析；（3）
．
【分析】
（1）根据题意：参加演讲比赛的学生共有4÷10%=40（人），然后由扇形统计图的知识，可求得m 与n 的
值；
（2）由总人数减去A、C、D 等级的人数即可求出B 等级的人数，再补充完整条形统计图即可；
（3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A 等级中一男一女参加比赛的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有4÷10%=40（人），
∵n%=
×100%=30%，
∴m%=1-40%-10%-30%=20%，
∴
，
；
（2）B 等级的人数为：
（人）
如图：
（3）画树状图得：
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∵共有12 种等可能的结果，A 等级中一男一女参加比赛的有8 种情况，
∴A 等级中一男一女参加比赛的概率为：
．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况之比．
49．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于
年
月
日至
月
日在北京举行，北京将成为历史上第
一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有
名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
（收集数据）从甲、乙两校各随机抽取
名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲
乙
（整理、描述数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩
甲
(说明：优秀成绩为
，良好成绩为
、合格成绩为
)
（分析数据）两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：
学校
平均数
中位数
众数
甲
乙
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其中
（得出结论）（1）小明同学说：“这次竞赛我得了
分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可
知小明是 校的学生；(填“甲”或“乙”)
（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为_____；
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．(至少从两个不同的角度说明推断
的合理性)
【答案】【分析数据】80；【得出结论】（1）甲；（2）
；（3）选乙，理由见解析
【分析】
-【分析数据】由原始数据根据众数的概念可得；
【得出结论】（1）根据两个学校成绩的中位数判断可得；
（2）利用概率公式进行计算即可；
（3）根据平均数和中位数这两方面的意义解答可得．
【详解】
解：【分析数据】∵乙校的20 名同学的成绩中80 分出现次数最多，
∴众数为80 分，即a=80；
【得出结论】（1）∵甲校的中位数为60 分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，
∴由表中数据可知小明是甲校的学生；
（2）∵乙校的20 名同学的成绩中80 分以上的有2 人；
∴从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为：
；
（3）∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数75 高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70
分的人数比甲校多，
∴乙校的成绩较好．
【点睛】
本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数、平均数以及简单概率，掌握众数、中位数以及平均数的定
义是解题的关键．
50．文具店购进了
盒“
”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“
”铅笔．店员进行统
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计后，发现每盒铅笔中最多混入了
支“
”铅笔，具体数据见下表：
混入“
”铅笔数
盒数
（1）用等式写出
，
所满足的数量关系 ；
（2）从
盒铅笔中任意选取盒：
①“盒中没有混入‘
’铅笔”是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）
②若“盒中混入支‘
’铅笔”的概率为
，求
和
的值．
【答案】（1）
；（2）①随机，②
【分析】
（1）由总数量为
盒，可得
从而可得答案；
（2）①由表格信息可得“盒中没有混入‘
’铅笔”是随机事件，从而可得答案，②由“盒中混入
支‘
’铅笔”的概率为
，可得方程：
解方程求解
再求解
，从而可得答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
故答案为：
（2）①由题意可得：“盒中没有混入‘
’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机．
②
“盒中混入支‘
’铅笔”的概率为
，
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【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的解法，随机事件的含义，简单随机事件的概率的计算，掌握以上知识是解
题的关键．
51．某校组织八年级部分学生开展庆“五·四”演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D 四个
等级进行整理，得到下列不完整的统计图表．
等级
频数
频率
A
4
0.08
B
20
a
C
b
0.3
D
11
0.22
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）参加此次演讲比赛的学生共有 人，
，
．
（2）请计算扇形统计图中B 等级对应的扇形的圆心角的度数；
（3）已知A 等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名
参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．
【答案】（1）50；0.4；15；（2）144°；（3）
．
【分析】
（1）首先根据A 组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
（2）B 组的频率乘以360°即可求得答案；
（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
【详解】
解：（1）参加演讲比赛的学生人数为4÷0.08＝50 人，a＝20÷50＝0.4，b＝50×0.3＝15，
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故答案为：50、0.4、15；
（2）扇形统计图中B 等级对应的扇形的圆心角的度数为360°×0.4＝144°；
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，
列树形图得：
∵共有12 种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2 种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大
小．
52．平面上有3 个点的坐标：
，
，
在A，B，C 三个点中任取一个点，这个点既在直线
上又在抛物线上
上的概
率是多少？
从A，B，C 三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线
上的概率．
【答案】(1)
；（2）
.
【分析】
(1)把
,
,
三点分别代入直线
和抛物线上
,求出既满足
在直线上又满足抛物线上的点的个数,然后根据概率公式计算,
(2)树状图第一层先从三个点中任取一个点共有3 种情况,第二层从剩下两个点中任取一个点,组合共有6 种
情况,然后再代入抛物线解析式求出满足两点同时在抛物线上的情况,然后根据概率公式计算.
【详解】
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当
时,
,
,则A 点在直线和抛物线上,
当
时,
,
，,则B 点在直线和抛物线上,
当
时,
,
,则C 点在直线上,不在抛物线上,
所以在A,B，,C 三个点中任取一个点,这个点既在直线
上又在抛物线上
上的概率
,
画树状图为:
共有6 种等可能的结果数,其中两点都落在抛物线
上的结果数为2,
所以两点都落在抛物线
上的概率
.
【点睛】
本题主要考查概率公式,随机事件A 的概率等于事件A 可能出现的结果除以所有可能出现的结果,解决本题
的关键是要熟练掌握概率计算公式.
53．2020 年5 月我国“两会”胜利召开．在“两会”将要召开的前夕，网络上就出现了很多关于“两会”
期间可能出现的频率最高的热词的预测，某数学兴趣小组就这些预测的热词（A：正风反腐．B：依法治国．
C：社会保障．D：国家安全）在校园内进行了抽样调查，每名被调查的同学必须且只能从中选择一个自己
最关注的热词．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列各
题．
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（1）本次调查中，一共调查了________名同学．
（2）条形统计图中，
________，
________；扇形统计图中B 所在的扇形的圆心角的度数是
________．
（3）从该校学生中随机抽到一名自己最关注热词D 的学生的概率是多少？
【答案】（1）300；（2）90，60，72°；（3）0.15
【分析】
（1）根据
计算即可；
（2）根据总人数乘以30%计算出n，根据总人数减去A，B，D 的人数计算即可得到m；
（3）用D 的人数除以总人数即可得到；
【详解】
解：（1）本次调查中，一共调查的学生人数是
（名）.
（2）条形统计图中，
，
，
扇形统计图中B 所在的扇形的圆心角的度数是
．
（3）从该校学生中随机抽到一名自己最关注热词D 的学生的概率是
．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，准确分析是解题的关键．
54．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的18 个小球，其中红球4 个，黑球14 个．
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（1）先从袋子中取出
个红球后，再从袋子中随机摸出1 个球，将“摸出黑球”，记为事件A，请完
成下列表格：
事件A
必然事件
随机事件
的值
（2）先从袋子中取出
个红球，再放入
个一样的黑球并摇匀，随机摸出1 个球是黑球的概率是
，
求
的值．
【答案】（1）4，2 或3；（2）2．
【分析】
（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件，从而可得答案；
（2）利用概率公式列出方程，求得m 的值即可
【详解】
解：（1）先从袋子中取出
个红球后，再从袋子中随机摸出1 个球是黑球是必然事件；
从袋子中取出
或
个红球后，再从袋子中随机摸出1 个球是黑球是随机事件，
故答案为：4，2 或3；
（2）依题意，得
，
解得 m=2，
经检验m=2 是原方程的解，所以m 的值为2．
【点睛】
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种
结果，那么事件A 的概率
55．某中学欲开设A 实心球、B 立定跳远、C 跑步、D 足球四种体育活动，为了了解学生们对这些项目的
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选择意向，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2，请结合图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求扇形C 的圆心角的度数；
（4）某班喜欢“跑步”的学生有3 名，其中有2 名男生，1 名女生，现从这3 名学生中选取2 名，请用画
树状图或列表的方法，求出刚好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）150；（2）见解析；（3）144°；（4）见解析，
【分析】
（1）从两个统计图可得，“A 组”的有15 人，占调查人数的10%，可求出调查人数；
（2）求出“C 组”人数，即可补全条形统计图：
（3）样本中，“C 组”占1﹣10%﹣30%﹣20%＝40%，因此圆心角占360°的40%，可求出度数；
（4）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，进而求出概率．
【详解】
解：（1）15÷10%＝150（人），
故答案为：150；
（2）150﹣15﹣45﹣30＝60（人），补全条形统计图如图所示：
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（3）360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%）＝144°
答：扇形C 的圆心角的度数为144°；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6 种可能出现的结果数，其中一男一女的有4 种，
因此，刚好抽到一名男生和一名女生的概率为
＝
．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用与概率的求解，解题的关键是根据题意列出表格表示出所有的情况．
56．由于疫情对中小企业造成巨大的冲击，某市计划对该市的中小企业进行财政补贴．相关行业的主管部
门为了解该市中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季
度产值增长率y 的频数分布表．
（同一组中的数据用该组数据的组中值为代表）
（1）分别估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率以及产值增长率的平均数；
（2）该市有3000 家中小企业，通过市场调研，去年该市的中小企业的第一季度平均产值是20 万元，若要
使一家中小企业保持良好的经营状态，必须保证其第一季度产值不能低于18 万元．若要想让该市的所有中
小企业保持良好的经营状态，该市应准备多少万元的补贴资金？
【答案】（1）估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率为
，产值增长率的平均数为
；（2）该市应准备9600 万元的补贴资金
【分析】
（1）根据这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表，利用样本估计总体即可分
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别估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率以及产值增长率的平均数；
（2）根据题意要想让该市的所有中小企业保持良好的经营状态，利用频数分布表中的数据分别进行计算
即可得该市应准备多少万元的补贴资金.
【详解】
解：（1）
＝
，
＝
（﹣0.5×12﹣0.3×56﹣0.1×24+0.1×6+0.3×2）＝﹣24%，
答：估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率为
，产值增长率的平均数为﹣24%；
（2）对于﹣0.60≤y＜﹣0.40，20（1﹣50%）＝10，需补贴18﹣10＝8（万）；
对于﹣0.40≤y＜﹣0.20，20（1﹣30%）＝14，需补贴18﹣14＝4（万）；
对于﹣0.20≤y＜0，20（1﹣10%）＝18，需补贴18﹣18＝0（万）；
对于0≤y＜0.20，需补贴0 万；
对于0.20≤y＜0.40，需补贴0 万；
所以
（12×8+56×4+0×24+0×6+0×2）×3000＝9600（万）．
答：该市应准备9600 万元的补贴资金．
【点睛】
本题主要考查了数据分析知识点，准确分析是解题的关键．
57．为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代
数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘
制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．并得到获得“祖冲之奖”的学生成绩统计表．
获“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
分数/分
80
85
90
95
人数/人
4
2
10
4
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根据图表信息，解答下列问题：
（1）获得“秦九韶奖”的学生有多少人，补全条形统计图；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是
分，众数是
分；
（3）若从这些获奖学生中随机抽取1 名，则恰好抽到是“获祖冲之奖，且得分为90 分”的学生的概率．
【答案】（1）200 人，见解析；（2）90，90；（3）
【分析】
（1）先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数，再根据扇形统计图得出获得刘徽奖的人数进而补全
条形统计图；
（2）根据中位数和众数的定义求解可得；
（3）根据概率公式，用10 除以200 求解可得．
【详解】
解：（1）本次获奖人数有20÷10%＝200（人），
则获得“秦九韶奖”的人数有200×46%＝92（人）．
则刘徽奖的人数为200×（1﹣24%﹣46%﹣10%）＝40（人），
补全条形统计图如解图所示．
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90 分，众数是90 分，
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故答案为：90、90；
（3）∵抽到获祖冲之奖，且得分为90 分的有10 人，样本总数为200 人，
∴P（抽到祖冲之奖且得分为90 分）＝
＝
．
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图关联，从统计图中获取相关信息是解题的关键.
58．某家庭记录了未使用节水水龙头50 天的日用水量数据（单位：
）和使用了节水水龙头50 天的日用
水量数据，得到频数直方图如下：
（1）估计该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于
的概率；
（2）为了计算方便，把用水量介于
之间的日用水量均近似地看做
，用水量介于
之间的日用水量均近似地看做
，用水量介于
之间的日用水量均近似地看
做
，……，以此类推，请估计该家庭使用节水水龙头前后的日用水量分别是多少？（结果精确到
）
（3）如果一年按365 天计算，那么利用（2）的结论估计该家庭一年能节省多少水？
【答案】（1）0.4；（2）使用节水水龙头前后的50 天日均用水量分别为
与
；（3）
【分析】
（1）根据频数直方图可得该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于0.4m3 的概率；
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（2）根据题意即可求出未使用节水水龙头50 天的日用水量和使用节水水龙头50 天的日用水量；
（3）由（2）可得一年能节省的水量．
【详解】
解：（1）根据频数直方图可知该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于
的概率约为
，
答：该家庭使用节水水龙头后，日用水量小于
的概率约为
．
（2）未使用节水水龙头50 天的日均用水量为
，
使用节水水龙头50 天的日均用水量为
，
答：使用节水水龙头前后的50 天日均用水量分别为
与
．
（3）由（2）可知一年能节省水
．
答：估计该家庭使用节水水龙头后，一年能节省水
．
【点睛】
本题考查了概率公式、频数分布直方图、近似数、用样本估计总体，平均数的计算，解决本题的关键是综
合掌握以上知识．
59．为了促进学生全面发展，河南省某地区教育局在全区中小学开展“书法、手球、豫剧进校园”活动今年
8 月份，该区某校举行了“朝阳沟”演唱比赛、比赛分
五个等级，该校部分学生参加了学
校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题:
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求该校参加本次“朝阳沟”演唱比赛的学生人数；
求扇形统计图
等级所对应扇形的圆心角度数；
已知
等级的
名学生中有
名男生，
名女生，现从中任意选取
名学生作为全校学生的楷模请你
用列表法或画树状图的方法求出恰好选男女的概率.
【答案】（1）50 人；（2）115.2°；（3）
【分析】
（1）由A 的人数和其所占的百分比即可求出总人数；
（2）总人数减去其它等级人数求得B 等级人数，再用360°乘以B 等级人数占总人数的比例即可得；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：(1) 由题意可知总人数=4÷8%=50 人；
(2) 因为B 等级人数为50-（4+20+8+2）=16，
则扇形统计图中B 等级所对应扇形的圆心角=
×100%×360°=115.2°；
(3) 列表如下：
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得到所有等可能的情况有12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有8 种，
所以恰好选到1 名男生和1 名女生的概率=
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
60．我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D 四个等级，并将结果绘
制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m 的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生中选出2 名去参加市中学生知识竞赛．已知“A 等级”中有1
名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
【答案】（1）5（2）72°；40（3）
【分析】
（1）先根据“A 等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B 等级”的学生人数；
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（2）根据“D 等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C 等级”的人数即可求出m 的值；
（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．
【详解】
（1）学生总人数为3÷15%=20（人）
∴成绩为“B 等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）
故答案为：5；
（2）“D 等级”的扇形的圆心角度数为
m=
，
故答案为：72°；40；
（3）根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）=
．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法．
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