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专题04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................2
题型一：构造
或
(
，且
)型...............2
题型二：构造
或
(
，且
)型...............5
题型三：构造
或
型............................7
题型四：构造
或
型..........................10
三、专项训练....................................................11
一、必备秘籍
1、两个基本还原
①f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)=[ f ( x)g( x)]
' ②
f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
[ g( x)]2
=[ f ( x)
g( x) ]
'
2、类型一：构造可导积函数
①enx [ f
'(x)+nf (x)]=[enx f (x)]
' 高频考点1： ex[ f
'( x)+f ( x)]=[ex f ( x)]
'
②xn−1[ x f
'(x)+nf (x)]=[ xnf (x)]
'
高频考点1：x f
'( x)+f ( x)=[xf ( x)]
' 高频考点2 x[ x f
'( x)+2f ( x)]=[ x2f ( x)]
'
③
f
'( x)−nf ( x)
enx
=[ f ( x)
enx ]
' 高频考点1： f '( x)−f ( x)
ex
=[ f ( x)
ex
]'
④x f
'( x)−nf ( x)
xn+1
=[ f ( x)
xn ]
'
1
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高频考点1：
x f
'( x)−f ( x)
x2
=[ f ( x)
x
]
' 高频考点2 x f
'( x)−2f ( x)
x3
=[ f ( x)
x2 ]
'
⑤
⑥
序号
条件
构造函数
1
f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)≥0
F( x)=f ( x)g( x)
2
f '( x)+f ( x)<0
F( x)=ex f ( x)
3
f
'( x)+nf ( x)<0
F( x)=enx f ( x)
4
x f
'( x)+f ( x)>0
F( x)=xf ( x)
5
x f
'( x)+2f ( x)≤0
F( x)=x2f ( x)
6
x f
'( x)+nf ( x)>0
F( x)=xnf ( x)
7
f
'( x)sin x+f ( x)cos x>0
F( x)=f ( x)sin x
8
f
'( x)cos x−f ( x)sin x>0
F( x)=f ( x)cos x
3、类型二：构造可商函数
①
f
'( x)−nf ( x)
enx
=[ f ( x)
enx ]
' 高频考点1： f '( x )−f ( x )
ex
=[ f ( x )
ex
]'
②x f
'( x)−nf ( x)
xn+1
=[ f ( x)
xn ]
'
高频考点1：
x f
'( x)−f ( x)
x2
=[ f ( x)
x
]
' 高频考点2：
x f
'( x)−2f ( x)
x3
=[ f ( x)
x2 ]
'
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造
或
(
，且
)型
1．（2023 下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在
上的偶函数
的导函数为
，且
2
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当
时，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由当
时，
，
得
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
又函数
为偶函数，
所以
为偶函数，
所以
在在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，所以
，A 选项错误；
，即
，所以
，B 选项错误；
，即
，所以
，C 选项错误；
，即
，所以
，D 选项正确；
故选：D.
2．（2023 下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数
满足
在
上恒成立，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：设
，则
，
由
，可知
，所以
在
上是增函数，
又
，所以
，即
，
故选：B.
3．（2023 下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在
上的函数
，其导函数为
，当
时，
3
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，若
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，
，
则
，
∵当
时，
，
即
，
在
单调递减，
∴
，
∴
，
即
，
∴
.
故选：D.
4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知
为偶函数，且当
时，
，其中
为
的导数，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】令函数
，当
时，
，即函数
在
上单调递
减，
由
为偶函数，得
，即函数
是奇函数，于是
在R 上单调递减，
不等式
，
因此
，解得
，所以原不等式的解集是
.
故答案为：
5．（2023 上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知
是定义域为
的偶函数，
且
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是 .
【答案】
【详解】记
，则
，
4
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故当
，
，所以
，因此
在
上单调递增，
又当
时，
，
因此
为
奇函数，故
在
上单调递增，
又
，因此当
和
时，
，
当
和
时，
，
因此
，即可得
和
，
故
成立的
的取值范围是
，
故答案为：
题型二：构造
或
(
，且
)型
1．（2023 上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R 的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则
，
因为
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，故
在
上单调递减，
，即
，故A 不正确；
，即
，即
，故B 不正确；
，即
，即
，故C 正确；
5
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，即
，即
，故D 不正确；
故选：C
2．（2023 上·四川内江·高三期末）已知
是函数
的导函数，
，其中是自然对数的底
数，对任意
，恒有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，令函数
，
，求导得
，
则函数
在R 上单调递增，
，
而
，则
，因此有
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：C
3．（2023 下·河南洛阳·高二统考期末）已知
是定义在R 上的函数
的导函数，对于任意的实数
x，都有
，当
时，
．若
，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：因为
，所以
，
令
，则
，
所以
为偶函数，
当
时，
，
所以
，
所以函数
在
上单调递增，
6
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根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知
在
上单调递减，
因为
，
所以
，
所以
，即
，即
，
即
，则
，
解得
.故数a 的取值范围为：
故选：B.
4．（2023 上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在
上的函数
满足
，且有
，则
的解集为 .
【答案】
【详解】设
，则
，
，
，
在R 上单调递增.
又
，则
.
∵
等价于
，即
，
∴
，即所求不等式的解集为
.
故答案为：
.
5．（2018 上·江西赣州·高三统考期中）函数
的定义域和值域均为
，
的导函数为
，
且满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设
，则
＞0
∴
在
上单调递增，所以
，
即
＜
⇒
＜
；
7
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令
，则
∴
在
上单调递减，所以
，
即
＞
⇒
＞
综上，
＜
且
＞
．
故答案为：
题型三：构造
或
型
1．（2023 下·四川成都·高二期末）记函数
的导函数为
，若
为奇函数，且当
时恒
有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，
当
时恒有
，所以
，
则
在
上单调递增，
所以
，则
，即
，选项A 错误；
，则
，即
，选项B 正确；
，则
，又
为奇函数，所以
，选项C 错误；
由
得
，选项D 错误；
故选：B
8
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2．（2023·青海海东·统考模拟预测）已知
是奇函数
的导函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，则由
，得
；
当
时，
，则由
，得
．
令
，则
，
故g（x）在
上单调递增，在
上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以
是偶函数，
故
，即
，
，
即
．
与
和
的大小关系不确定．
故选：A．
3．（2023 上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）定义在
上的奇函数
的导函数为
，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】令
，因为
是定义在
上的奇函数，
则
，
所以
为偶函数.
当
时，
，
，
9
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由已知
，
所以
，
则
在
上单调递增，
由
可化为
，
即
，得
；
当
，
，则
，
即
，
由
为偶函数，则
在
上单调递减，
得
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
.
题型四：构造
或
型
1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，不等
式
恒成立（
为
的导函数），若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得函数
为偶函数，构造函数
，
10
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所以
，
易知当
时，
，所以函数
在
上单调递减．
因为
，则
，
由
，则
，
且
，
因为函数
在
上单调递减，且
，
所以
，即
，
故选：C．
2．（2023 下·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在
上的函数
，已知
是它的导函数，且恒
有
成立，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：令
，
则
，
因为
，
所以
，
则
在
上单调递减.
11
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所以
，
故
，
，
故选：C
三、专项训练
一、单选题
1．（2023 上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R 上的函数
，其导函数
满足：对任意
都有
，则下列各式恒成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】记
，则
，
因为
，即
，
所以
，所以
在R 上单调递增，
故
，
，
整理得
，
.
故选：B
2．（2023·河南开封·统考三模）设定义在
上的函数
的导函数
，且满足
，
．则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
12
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【详解】因为
，所以
，
设
，则
，
令
，则
，
设
，则
，
∴当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
∴
，
∴
，
在
上单调递减，
又
，理由如下：
如图，设
，射线
与单位圆相交于点
，过点
作
⊥
轴于点
，
过点
作
⊥
轴交射线
于点
，连接
，
设扇形
的面积为
，
则
，即
，
解得
，
其中
，故
，
∴
．
故选：C
13
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3．（2023 下·云南保山·高二统考期末）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时不等
式
成立，若
，
，
，则
，
，的
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】构造函数
，则由题意可知当
时
，
所以函数
在区间
上单调递减，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
是定义在
上的偶函数，
所以
在区间
上单调递增，
又
，
，
，
因为
，
，所以
，
所以
，即
，
正确.
故选：
.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数
在R 上可导，且满足
恒成立，常数
则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
恒成立，故
在
上单调递增．
，
，即
．
故选：A
5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时不等式
成立，若
，则
的大小关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【详解】构造函数
，则由题意可知当
时
，
所以函数
在区间
上单调递减，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
是定义在
上的偶函数，
所以
在区间
上单调递增，
，
，
，
因为
，
，
所以
，所以
，
即
，
故选：B
6．（2023·全国·高三对口高考）已知
是定义在
上的非负可导函数，且满足
，对
任意正数a、b，若
，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
.
若
不是常函数，则
在
上单调递减，又
，则
；
若
为常函数，则
.综上，
.
故选：A
7．（2023·云南·校联考三模）设函数
在
上的导数存在，且
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
15
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当
时，
，即
，
所以
且
.
故选：B
8．（2023 下·湖北·高二校联考期中）已知函数
的定义域为R，
为
的导函数，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，构造函数
，则
，
所以函数
在R 上单调递增，又
，即
，
所以
，即
，解得
.
故选：D.
9．（2023 下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数
的定义域为
，
是其导函
数，若
，
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，
而
可化为
，又
即
，解得
，
所以不等式
的解集是
．
故选：B
10．（2023 下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）
是定义在R 上的奇函数，当
时，有
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【详解】解：令
，
则
，
因为
，
所以
，
则
在
上递增，
又
是偶函数，且
是定义在R 上的奇函数，
所以
是定义在R 上的奇函数，
则
在
上单调递增，
所以
，即
，故A 错误；
，即
，故B 错误；
，即
，故C 正确；
，即
，故错误，
故选：C
11．（2023 下·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知函数
在
上连续且可导，同时满足
，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】构造函数
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
.
故选：C
二、填空题
12．（2023 上·河南焦作·高三统考开学考试）已知定义在R 上的函数
及其导函数
满足
，若
，则满足不等式
的x 的取值范围是 ．
17
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【答案】
【详解】由题意，对任意
，都有
成立，
即
．
构造函数
，
则
，
所以函数
在
上单调递增．
不等式
即
，即
．
因为
，所以
．
故由
，得
.
所以不等式
的解集为
，
故答案为：
.
13．（2023 下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知偶函数
是定义在
上的可导函数，当
时，
且
，则
的解集为 .
【答案】
【详解】令
，可得
因为
时，
，
所以
，
即函数
在
为单调递增函数，
又因为函数
为偶函数，可得
，
所以函数
为偶函数，所以
在
为单调递减函数，
因为
，
即
，可得
，即
，
解得
，即不等式的解集为
.
故答案为：
.
14．（2021 下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考期中）函数
定义域为
，其导函数是
，
当
时，有
，则关于
的不等式
的解集为 ．
18
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【答案】
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，
所以
在
上为减函数，
由
，得
，
所以
，
因为
在
上为减函数，
所以
，
所以不等式
的解集为
，
故答案为：
15．（2022 下·江苏·高二校联考阶段练习）函数
的定义域是
，其导函数是
，若
，则关于
的不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】
变形为
，
变形为
，
故可令g(x)＝f(x)sinx，
，
则
，
∴g(x)在
单调递减，
不等式
即为g(x)＜g(
)，
19
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则
，
故答案为：
.
16．（2021 下·重庆江津·高二校考期中）已知定义在
上的偶函数
的导函数为
，当
时，有
，且
，则使得
成立的
的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵当
时，有
，令
，
∴
，
∴
在
上递增，
又∵
在
上的偶函数
∴
，
∴
在
上是奇函数
∴
在
上递增，
又∵
，
∴
当
时，
，此时，0＜x＜1，
当
时，
，此时，
，
∴
成立的
的取值范围是
．
故答案为：
﹒
17．（2021 下·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）设
的定义域为
，
的导函数为
，且对任意正数
均有
，设
，
，
，
，则
的大小关系是
【答案】
【详解】由
，得
，
令
，则
恒成立，
故函数
在
上单调递增.
因
，
，则
，
20
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故
，即
，
变形得：
①，
同理
②，
①+②得：
，
即
，故
.
故答案为：
.
18．（2020 下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）函数
定义在
上，
，
其导函数是
，且
恒成立，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】解：
，
构造函数
，
则
，
当
时，
，
在
单调递增，
不等式
，
即
即
，
故不等式的解集为
.
21
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故答案为：
.
19．（2020·陕西·统考二模）已知定义在
上的函数
满足
，其中
是函数
的导函数.若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，所以函数
在
为单调递减函数，
又由
，
所以
，即
，所以
，
即
，所以
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
20．（2019 下·江苏扬州·高二统考期末）已知可导函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】函数
的定义域为
构造函数：
已知：
所以
，
递减.
即
故答案为
21．（2017·河南·统考一模）设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集 ．
【答案】
【详解】令
，因为
，且
，所以
，即函数
在
上单调递减，因为
，即
，所以
，即
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，即不等式的解集为
.
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