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专题04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造
或
(
，且
)型...........2
题型二：构造
或
(
，且
)型...........5
题型三：构造
或
型.................................9
题型四：构造
或
型...............................11
三、专项训练.....................................................................................14
一、必备秘籍
1、两个基本还原
①f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)=[ f ( x)g( x)]
' ②
f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
[ g( x)]2
=[ f ( x)
g( x) ]
'
2、类型一：构造可导积函数
①enx [ f
'(x)+nf (x)]=[enx f (x)]
' 高频考点1： ex[ f
'( x)+f ( x)]=[ex f ( x)]
'
②xn−1[ x f
'(x)+nf (x)]=[ xnf (x)]
'
高频考点1：x f
'( x)+f ( x)=[xf ( x)]
' 高频考点2 x[ x f
'( x)+2f ( x)]=[ x2f ( x)]
'
③
f
'( x)−nf ( x)
enx
=[ f ( x)
enx ]
' 高频考点1： f '( x)−f ( x)
ex
=[ f ( x)
ex
]'
④x f
'( x)−nf ( x)
xn+1
=[ f ( x)
xn ]
'
高频考点1：
x f
'( x)−f ( x)
x2
=[ f ( x)
x
]
' 高频考点2 x f
'( x)−2f ( x)
x3
=[ f ( x)
x2 ]
'
1
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⑤
⑥
序号
条件
构造函数
1
f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)≥0
F( x)=f ( x)g( x)
2
f '( x)+f ( x)<0
F( x)=ex f ( x)
3
f
'( x)+nf ( x)<0
F( x)=enx f ( x)
4
x f '( x)+f ( x)>0
F( x)=xf ( x)
5
x f
'( x)+2f ( x)≤0
F( x)=x2f ( x)
6
x f
'( x)+nf ( x)>0
F( x)=xnf ( x)
7
f
'( x)sin x+f ( x)cos x>0
F( x)=f ( x)sin x
8
f
'( x)cos x−f ( x)sin x>0
F( x)=f ( x)cos x
3、类型二：构造可商函数
①
f
'( x)−nf ( x)
enx
=[ f ( x)
enx ]
' 高频考点1： f '( x)−f ( x)
ex
=[ f ( x)
ex
]'
②x f
'( x)−nf ( x)
xn+1
=[ f ( x)
xn ]
'
高频考点1：
x f
'( x)−f ( x)
x2
=[ f ( x)
x
]
' 高频考点2：
x f
'( x)−2f ( x)
x3
=[ f ( x)
x2 ]
'
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造
或
(
，且
)型
1．（23-24 高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数
为定义在
上的偶函数，当
时，
，则下列四个判断正确的为（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
【答案】D
【分析】由
结构特征可知
是函数
的导数
简单变形得到的，故构造函数并得到函数
的单调性，再结合函数奇偶性即可
判断选项中各函数值大小.
【详解】令
，则
在
恒成
立，所以
在
单调递增，所以
，即
，
又因为函数
为定义在
上的偶函数，所以
，即
，
故选：D.
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知
的定义域为
是
的导函数，且
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
构造函数
，代入原式化简后得到
，再构造函数
，讨论
的单调性即可得到
，最后根据
的单调性求解即可.
【详解】因为
，即
，
构造函数
，则
，
.
将
代入
，得
.
再构造函数
，则
，
易知，当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减，所以
，
由于
，所以
，所以
，
所以当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递减，所以
在
单调递减.
3
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又根据单位圆可得三角不等式
，又
，
，所以
，故
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查构造函数，并利用导数比大小的问题.题中条件
可以构造函数
，进一步构造函数
，
然后讨论
的单调性，由
得到
，再由三角不等式得到自变量的大小关
系，最后根据
的单调性求解.
3．（多选）（23-24 高二下·山西太原·期中）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．当
时，
【答案】BC
【分析】构造函数
，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】设
，
由
是定义在
上的奇函数知，则
时，
为偶函数，
且
时，
，
故
在
单调递减，
由偶函数的对称性知，
在
单调递增，
故
，即
，故
，B 选项正确；
当
时，
，故
，C 选项正确；
当
时，
，故
，D 选项错误；
由B，D 选项知，
，故
，A 选项错误.
故选：BC
4
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4．（多选）（23-24 高三上·安徽六安·期末）已知函数
的导函数为
，对任意的
正数x，都满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】设
，利用导数求出
的单调性，据此即可判断A 和B 选
项，设
，根据导数求出
的单调性，据此即可求解C 和D 选项.
【详解】设
，则
，
所以
在
上单调递增，
由
得
，故A 项错误；
由
得
，故B 项正确；
设
，则
，
所以
在
上单调递减，
由
得
，故C 项正确：
由
得
，故D 项错误.
故选：BC.
5
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题型二：构造
或
(
，且
)型
1．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
是定义在
上的奇函数，对任意实数
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先构造函数
， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判
断.
【详解】设
，则
，
由条件可知，
，所以
，则函数
在
上单调递增，
因为函数
是定义在
上的奇函数，则
，即
，故A 错误；
由函数的单调性可知，
，得
，故B 正确；
由
，得
，故C 错误；
由
，得
，故D 错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数
，从而可以根据函数的单调
性，判断选项.
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R 上的连续可导函数
及其导函数
满足
恒成立，且
时
，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】D
【分析】构造函数
，利用
的单调性可得结果.
【详解】设
，因为
，
又
，所以
，即
在R 上为增函数，
选项A：因为
，即
，化简得
，故A 成立；
选项B：因为
，即
，化简得
，故B 成立；
选项C：因为
，即
，化简得
，故C 成立；
选项D：因为
，即
，化简得
，而
故D 不一定成立；
故选：D.
【点睛】本题关键是构造函数
，利用函数的单调性判断结果.
3．（2020·广东梅州·模拟预测）设
是
的导函数，定义在
上的函数
满足（1）
；（2）
，则
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，求导得到单调性，根据
得到
，构造
，求导得到单调性，根据
得到
，得到答案.
【详解】设
，则
，
在
上单调递增，
则
，即
，
；
7
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设
，则
，
在
上单调递减，
则
，即
，
；
综上所述：
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定单调性，再根据单调性确定不等关系，意在
考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造
和
，求导确定单调区间是解题的关键，构造法是常考的数学方法，需要熟练掌握.
4．（多选）（23-24 高二上·安徽滁州·期末）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且对任意的
，都有
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】令
，可得
在
上单调递增，取自变量的值可得结果.
【详解】令
，所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，故A 错误，B 正确；
又
，所以
，
即
，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数
．
(3)利用导数研究
的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的连续可导函数
，
，
的
导函数为
，若
，
是指数函数，
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
8
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C．
，
D．
【答案】AC
【分析】由
及
可得函数
的解析式，结合导数即可判断B；由
是指数函数及
可得
的解析式，可判断A；由解析式计算可判断C；D 选项
代入后为比较
与
的大小关系，可转化为比较
与
的大小关系，构造函数
，结合导数研究即可得.
【详解】由
，即
，
即有
，可得
（为常数），
又
，故
，所以
，
对于选项A，
（
且
），由
，得
，
故
，故A 正确；
对于选项B，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，故B 错误；
对于选项C，
，而
，
故
，故
，故C 正确；
对于选项D，
，
，
设
，则
，
令
，则
；令
，则
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
故
，故D 错误，
故选：AC．
9
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题型三：构造
或
型
1．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，其导函
数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数
，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可
判断
的正负情况，结合
，即可求得答案.
【详解】令
，则
，
由于当
时，
，故此时
，
则
在
上单调递减，
由于函数
是定义在
上的奇函数，
则
，即
为
上的偶函数，
则
在
上单调递增，
而
，故
，
故当
或
时，
，当
或
时，
，
由
可得
或
，解得
或
，
故不等式
的解集为
，
故选：B
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【点睛】关键点点睛：关键是构造函数
，并得出其单调性、奇偶性，由此即
可顺利得解.
2．（23-24 高二下·重庆）设
是函数
的导函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数公式化简已知，再构造函数
，利用函数单调性依次判断选
项.
【详解】
，
设
在
单调递增，
，所以A 错误；
，
所以
，所以B 正确；
，所以C 错误；
，
，所以D 错误.
故选：B
3．（23-24 高二下·江苏·阶段练习）函数
的定义域是
，其导函数是
，若
，则关于
的不等式
的解集为 ．
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【答案】
【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)＝f(x)sinx，
，根据已知条
件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式.
【详解】
变形为
，
变形为
，
故可令g(x)＝f(x)sinx，
，
则
，
∴g(x)在
单调递减，
不等式
即为g(x)＜g(
)，
则
，
故答案为：
.
题型四：构造
或
型
1．（23-24 高二上·宁夏石嘴山·）定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒
有
成立．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数
，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选
项，即得到结论．
【详解】
当
，
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则不等式
等价为
，
即
，
设
，
，
则
，
即函数
在
上单调递增，
则
，
，
，
，
即
，
，
，
，
则
，故A 正确；
，得不出
，故B 错误．
，故C 错误．
，故D 错误．
故选：A．
2．（多选）（23-24 高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在
上的函数
，已知
是它的导函数，且恒有
成立，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】构造函数
，结合题目所给性质可得
在
上单调递减，结合函
数单调性计算即可得.
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【详解】令
，则
，
由已知可得
，即
在
上单调递减，
所以
，
故
，即C､D 选项正确.
故选：CD.
3．（23-24 高二下·江苏苏州·期中）已知函数
，
，
是其导函数，
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由题设得
，构造
并应用导数研究单调性，
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，
构造函数
，
，则
，
所以
在
上为增函数，
因为
，所以
，即
，即
，故A 正
确；
因为
，所以
，即
，故
，故B
错误；
因为
，所以
，即
，故
，故C 错误；
14
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因为
，所以
，即
，故
，故D 正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为
，进而构造
研究单调性为关键.
三、专项训练
1．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）已知
为函数
的导函数，当
时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，求导确定其单调性，根据单调性确定建立
的不等关系，以及
的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令
，则
，
因为当
时，有
恒成立，
所以当
时，
，
即
在
上单调递减，
所以
，即
，即
，A 错误，B 正确，
，即
，即
，CD 错误.
故选：B.
15
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2．（23-24 高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意令
，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为
，即
，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即
可.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，即
，
所以
，解得
，所以不等式
的解集是
.
故选：C
3．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）已知函数
是定义在R 上的可导函数，其导函
数为
．若
，且
，则使不等式
成立的x 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数
，要求解的不等式可化为
，
判断
单调性即可求解．
【详解】设
，则
，
∵
，∴
，
∴
，即
在定义域R 上单调递减．
∵
，∴
，
∴不等式
等价于
，即
，解得
，
故选：D．
16
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4．（21-22 高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察
，可考虑构造函数
，求得
的奇偶性，再
由
时，
的单调性确定整个
增减性，由
与
的正负反推
正负即可
求解.
【详解】设
，则
，∵当
时，
，
∴当
时，
，即
在
上单调递减.
由于
是奇函数，所以
，
是偶函数，
所以
在
上单调递增.
又
，
当
或
时，
；
当
或
时，
，
所以当
或
时，
.
即不等式
的解集为
.
故选：B.
5．（23-24 高三上·陕西·阶段练习）已知函数
的定义域是
，其导函数为
，
且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即
可求出不等式的解集.
【详解】由题意，
在函数
中，
，导函数为
，
，
17
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设
，则
.
∵
，
∴
，则
是
上的增函数.
不等式
等价于
，
即
，
则
解得：
，
故选：D.
6．（22-23 高二下·四川绵阳·期中）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，求出函数的导数，问题转化为
，利用单
调性解出即可．
【详解】令
，则
，
∵
，∴
在
上递减，
∵
，∴
，
∵不等式
，∴
，
∴
，解得
，
故不等式
的解集是
．
故选：B．
7．（22-23 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
18
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【分析】令
，求导分析，可得
在
上单调递减，不等式
可等价转化为
，根据单调性可得答案．
【详解】令
，
，
，
在
上单调递减，
又
，
，
不等式
可化为
，
，
故选：B.
8．（22-23 高二下·江西吉安·期末）若定义在
上的可导函数
满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据不等式
构造函数
，利用导数
判断其单调性，利用单调性比较大小可得答案.
【详解】因为
，所以构造函数
，
所以
，则
在
上单调递减，
又
，
所以
，即
，故A 错误；
，即
，故B 正确；
，即
，故C 错误；
，即
，故D 错误.
故选：
.
19
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【点睛】关键点点睛：根据不等式
构造函数
，利用函数的单调性比较大小是解题关键.
二、多选题
9．（2024·浙江温州·一模）定义在
上的函数
的导函数为
，对于任意实数
，
都有
，且满足
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．不等式
的解集为
C．若方程
有两个根
，
，则
D．
在
处的切线方程为
【答案】AC
【分析】
根据奇函数的定义即可判定A ，根据导数的运算可得
进而可求解
，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.
【详解】
对
于
A
，
，
由
可
得
，所以
，且定义域为
，故
为奇函
数，A 正确，
由
于
，
所
以
为常数，则
又在
中，令
，则
，故
，故
，
所以
，
对于B,
可得
，又
，故
，则
，
故B 错误，
对于C，
为单调递增函数，而
为开口向上，且对称轴为
的二次函数，
且
是
的两个交点，
的两个
20
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交点设为
，则
，且
，又
为单调递增函数，所
以
，所以
， C 正确，
由
得
，所以
在
处的切线方程为
，D 错误，
故选：AC
10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上是减函数
D．
在
上是增函数
【答案】ABD
【分析】令
，可得
，得出函数
的单调性及
，进
而判定A、B 正确；由
，得到
，设
，利用导数求得函数
为单调递增函数，且
，可判定D 正确.
【详解】令
，可得
，
因为
，所以
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
又因为
，可得
，
由
，即
，可得
，所以A 正确；
又由
，即
，可得
，所以B 正确；
因为
，可得
，可得
，
设
，可得
，
所以函数
为单调递增函数，又因为
，
所以
，所以
在
上是增函数，所以D 正确.
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故选：ABD.
【点睛】知识方法：构造法求解
与
共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数
和
满足的条件，需要根据题设条件
构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
常见类型：（1）
型；（2）
型；（3）
为常数型.
三、填空题
11．（23-24 高二下·上海·期中）设
是定义在
上的偶函数，
为其导函数，
，当
时，有
恒成立，则不等式
的解集为
.
【答案】
【分析】设
，求导得
，根据题意得
在
上
单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集.
【详解】设
,则
当
时,有
恒成立,
当
时,
在
上单调递增,
是定义在
上的偶函数,
，
即
是定义在
上的奇函数,
在
上也单调递增.
又
.
不等式
的解可等价于即
的解,
或
,
不等式的解集为
.
故答案为：
.
12．（23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）定义在
上的函数
的导函数为
，
且
，则不等式
的解集为 ．
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【答案】
【分析】由条件结合导数的性质判断函数
的单调性，利用单调性解不等式
可得结论.
【详解】因为
，故构造函数
，
，
则当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，
又不等式
，可化为
，
即
，
所以
，
解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
13．（22-23 高二下·吉林长春·期中）已知函数
的导数为
，若
，
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】先将不等式
变形为
，再构造函数
，讨论出函数
的单调性，即可求解．
【详解】不等式
变形为
，
设函数
，
则
，
因为
，所以
在
上恒成立，
则
在
上单调递增，又
，则
，
所以不等式
即为
，
由
在
上单调递增，可得
，
即不等式
的解集为
．
故答案为：
．
【点睛】方法点睛：利用导数解不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
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(2)构造新的函数
；
(3)利用导数研究
的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
14．（22-23 高三上·山东·阶段练习）已知
为定义域
上函数
的导函数，且
，
，
且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据导数的对称性求得原函数的对称性，构造函数，通过不等式可得新函数导数
与零的大小，可得其单调性，解得答案.
【详解】由
，整理可得
，则函数
关于成中心对
称，
所以
关于直线
成轴对称，
当
时，
，由
，则
，
由函数
的导数为
，
则函数
在
上单调递增，易知在
上单调递减，
当
时，
；当
时，
，
所以不等式
的解集为
，
故答案为：
.
【点睛】本题的接解题关键在于根据已知等式得到函数的对称性，利用构造函数的思想解
题.
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