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专题 02 不等式的综合应用与求值技巧
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热点聚焦 方法精讲 能力突破
热点聚焦·析考情
锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
题型引领·讲方法
系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
能力突破·限时练
实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年：1、不等式是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为
稳定，重点是基本不等式，及不等式与指数对数相结合．
2、基本不等式作为求最值的工具，经常结合其他知识点运用，比如圆锥曲线的解答题，立体几何中的最
值问题．
预测2026年：不等式内容可能与指数、对数不等式的形式考查，同时还需重点关注基本不等式的基本运
用．
热点题型：
题型01 利用不等式的性质求最值 题型02 基本不等式及其应用
题型03 指数对数与不等式综合运用 题型04 与三角行三边相关的不等式问题
题型05 利用不等式性质解决
max{a,b,c}最值问题
题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值
题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题
题型01 利用不等式的性质求最值
解｜题｜策｜略
常见不等式①
||a|−|b||≤|a±b|≤|a+b|
②a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d③a≥b>0,c≥d>0⇒ac≥bd
【精选例题】
【例1】已知 ， ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．【例2】设定义在 上的函数 ，满足 ，且对任意 ，满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【例3】（多选题）已知实数 ， 满足 ， ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的取值范围是 D． ， ，使得
【例4】（多选题）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．已知 ， ，则
D．已知 ，若 ， ，则
【例5】（多选题）在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：
，其中 为非零常数， 为幂常数， 为主观感觉强度， 为物理刺激强度， .现有如下RPE
（主观感觉强度）表：
强度
自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20
已知在临床条件下 ，在RPE强度为 时得到的实际物理刺激强度为 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【例6】已知实数 ， 满足 且 ，则 的最大值为 .
【例7】设 为互不相等的三个实数，且 ，则有
A． B．C． D．
【例8】（多选题）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【例9】当 时，不等式 恒成立，则 的最大值是 ．
【变式训练】
1．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知 ，且 ．则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则
3．（多选题）若 ， ，则（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
4．已知正数a，b，c满足 ，则 的取值范围是 ．
5．设 ，若 ，则 的取值范围为 .
6．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 .
7.若 是定义在 上的函数，且对任意 都有 ， ，且 ，
则
题型02 基本不等式及其应用解｜题｜策｜略
①常见不等式： x+y≥2√xy(x>0,y>0)，(x+y) 2 ≥4xy(x,y∈R)，x2 +y2 ≥±2xy
{ ax=√dcosθ
②三角换元：遇到 ，配凑成 ，可设
Ax2 +By2 +Cxy=D (ax) 2 +(bx−cy) 2 =d bx−cy=√dsinθ
Ax2 +By2
③遇到 结构，可同除
Cx2 +Dxy+Fy2 y2
④学会运用消元法，齐次化，分解因式法及万能K法
【精选例题】
【例1】设 ，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最小值为1 B． 的最小值为4 C． 的最小值为9 D． 的最大值为
【例2】已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知 ，且 ，则 的最小值与最大值之和为（ ）
A． B． C． D．
【例4】（多选题）已知正实数 满足 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【例5】（多选题）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 的最小值为
B．已知 ， ， ，则 的最小值是
C．若 ，则 的最小值为4
D．若 ， ， ，则 的最小值为
【例6】（多选题）下列命题正确的有（ ）A．已知 ， ，且 ，则 的最小值为9
B．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
C．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
D．已知 ， ，且 ，则 的最小值为
【例7】（多选题）已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为4 B．当 时， 的最小值为2
C． 的最小值为6 D． 的最小值为
【例8】（多选题）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【例9】（多选题）已知 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 最大值为8 D． 的最大值为6
【例10】（多选题）下列是真命题的是（ ）．
A．已知 ，且 ，则 的最大值为5
B．已知 ， 则 的取值范围为
C．已知 且 恒成立，实数 的最大值是
D．若 则 的最大值是6．
【变式训练】
1.（多选题）若 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．2．（多选题）已知 ， 为正实数，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为4
C． 的最小值为 D． 的最小值为
3．（多选题）已知 ， ， ，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最大值为4
C． 的最小值为 D． 的最小值为11
4．（多选题）已知 均为正实数，且 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为5
C． 的最小值为 D．若 ，则 的最小值为
5．（多选题）已知 ，且 ，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）已知正实数 满足 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
7．（多选题）已知 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．当 ， 时， 的最小值为4 D．当 ， 时， 的最小值为2
8．（多选题）已知关于 的不等式 的解集为
，则下列结论正确的是（ ）A． B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为
9．（多选题）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 的最小值为8 C． 的最小值是 D． 的最小值为2
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若 ,则 的最小值为
B．已知 ,且 ,则 的最小值为
C．已知 ,且 ,则 的最小值为
D．若 ,则 的最小值为
11．已知函数 ，且 ，则 的最小值是 .
题型03 指数对数与不等式综合运用
解｜题｜策｜略
1
①指对数转换 ax =b⇔x=log b ，②换底公式
log
a
b=
log a
a b
1
③常见不等式放缩 ，1− ≤lnx≤x−1，
x
【精选例题】
【例1】已知 ，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知 ， ，则下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知 是函数 图象上两个不同的点，则下列4个式子
； ； ； ，
① ② ③ ④其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例4】已知正实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】若 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【例6】若实数 满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【例7】已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【例9】（多选题）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 的最小值为
C． D． 的最大值为
【例10】（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例11】（多选题）已知不等式 在 上恒成立（当且仅当 时等号成立），下列不等
式正确的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
1.若 ，x， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
2．若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数 满足 ，则（ ）
A． B． C．2 D．2
5．若 ， ， 均为正数，且 ，记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知实数 ， 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）已知正数 、 、 满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）若 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．C．
D．
9．（多选题）已知函数 ，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 最小值为14
10．（多选题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型04 与三角行三边相关的不等式问题
解｜题｜策｜略
利用三角形两边之和大于第三边，即a+b>c
【精选例题】
【例1】设 ,若对任意的正实数 ,都存在以 为三边长的三角形,则
实数 的取值范围是 ．
【例2】设 ，若三个数 能组成一个三角形的三条边长，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1． 的边分别为a，b，c，且满足 ，则 的取值范围为 .
2.已知函数 ，对任意实数 ，使得以 ， ， 数值为边长
可构成三角形，则实数 的取值范围为 .
3.已知 ， ， ， ， .若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值
范围是 .题型05 利用不等式性质解决max{a,b,c}最值问题
解｜题｜策｜略
{
M≥a
求类似 的最小值一类题目，我们一般设 ，则 M≥b ，再通过三个式子相
max{a,b,c} M=max{a,b,c} M≥c
加或者相乘，然后用基本不等式构造一个不等式，求出最值即可
【精选例题】
【例1】已知 表示 中的最大者，若 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】设 ，已知 或 ，则 的最小值为（以 表示数
集 中最大的数）（ ）
A． B． C． D．
【例3】记 表示数集 中最大的数，设 为正数， ， ，则
的最小值为 .
【例4】定义 表示实数 ， 中的较大者，若 ， ， 是正实数，则
的最小值是 ．
【例5】设 ， ， 是非负实数，满足 ， ，设 ，则 的最大
值为 ．
【变式训练】
1． 表示 ， 中的最大者，若 ，则 的最小值为 .
2．定义 ，设 ，已知 或 ，则 的最小值为 .
3．记 表示 三个数中的最大数．若函数 的值域为 ，
则 的最小值为 ．
4．设 表示 ， ， ， 中最大的数，已知 ， 均为正数，则 的最小值
为 .
5．定义 为数集M中最大的数，已知 ，若 或 ，则
的最小值为 .
题型06 基本不等式中的局部放缩再求最值
解｜题｜策｜略
遇到多变量问题求最值，有时候我们可以对局部进行放缩，然后再求最值
【精选例题】
【例1】已知正实数a，b，c， ，则 的最小值为______
【例2】对任意的正实数 ，且满足 ，则 的最小值为 .
(a2 +1 ) 2
【例3】已知 且 ，求 −2√2 c+ 的最小值为 .
a>0,b>0,c>1 a+b=1 ab c−1
【变式训练】
1．已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为 .
2．已知正数 满足 ， ，则 的最小值为 .题型07 基本不等式中三角函数进行三角换元求最值问题
解｜题｜策｜略
{mx=rcosθ
①遇到形如 ，可以利用三角换元设
(mx) 2 +(ny) 2 =r2 ny=rsinθ
{ r
mx=
②遇到形如 ，可以利用三角换元设 cosθ
(mx) 2 −(ny) 2 =r2 ny=rtanθ
【精选例题】
【例1】（多选题）若x，y满足 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【例2】函数 的最大值为（ ）
A． B．4 C．3 D．5
【例3】已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
2.已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
（建议用时：60分钟）
一、单选题1．若 ，则 的最小值为（ ）（参考： ， .）
A． B． C． D．
2．已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 的最小值为4 D．
3．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每
次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（ ）
A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定
4．函数 ，若存在正实数 ， ，…， ，其中 且 ，使得
，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知正实数 ， ，满足 ，则 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若对于任意实数 与 至少有一个为正数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．9．已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．5 C． D．7
10．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知二次函数 对任意 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．生活经验告诉我们： 克糖水中有 克糖（ ， ，且 ），若再添加 克糖（ ）后，
糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”： .根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确
的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， 且 ，则
C．若 ， ， 为 三条边长，则
D．若 ， ， 为 三条边长，则
13．已知实数m，n满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
14．已知曲线C： ，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C构成的封闭图形面积小于 的面积C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2
D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
15．已知正数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．已知曲线C： ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．直线 与曲线C有公共点
C．曲线C上任一点的横坐标的取值范围是
D．曲线C上任一点与原点距离的取值范围是
17．已知正实数 满足 ，则（ ）
A． 的取值范围是
B． 的取值范围是
C． 的最小值为6
D． 的最小值为
18．已知 均为正实数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
19．已知 ，则 的最大值为 ．20．已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ..
21．若 ， ，都有 ，则实数 的取值范围为 .
22．若实数 、 、 满足 ， ，则实数 的最小值是 .
23．已知集合 ， ，若 ，则 的取值
范围为 .
24．已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为 ； 的最小值为
25．已知函数 ，且 ，则 的最小值是 .
