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专题05 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）
目录
一、构造
或
(
，且
)型.........................1
二、构造
或
(
，且
)型........................5
三、构造
或
型...............................................8
四、构造
或
型............................................14
五、根据不等式（求解目标）构造具体函数....................................19
一、构造
或
(
，且
)型
1．（23-24 高二下·四川广安·阶段练习）已知函数
是定义在
的奇函
数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，由题意可得
为定义域上的偶函数，且在
上单调递增，在
上单调递减；分
与
两类讨论，将
1
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不等式
等价转化为
与
，分
别解之即可．
【详解】令
，
当
时，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
又
为
的奇函数，
，即
为偶函数，
在
上单调递增；
又由不等式
得
，
当
，即
时，不等式可化为
，即
，
由
在
上单调递减得
，解得
，故
；
当
，即
时，不等式可化为
，即
，
由
在
上单调递增得
，解得
，故
；
综上所述，不等式
的解集为：
．
故选：D．
2．（23-24 高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数
为定义在
上的偶函数，当
时，
，则下列四个判断正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
结构特征可知
是函数
的导数
简单变形得到的，故构造函数并得到函数
的单调性，再结合函数奇偶性即可
判断选项中各函数值大小.
【详解】令
，则
在
恒成
2
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立，所以
在
单调递增，所以
，即
，
又因为函数
为定义在
上的偶函数，所以
，即
，
故选：D.
3．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知函数
的定义域为
，
，其导
函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
构造函数
，判定其单调性计算即可.
【详解】根据题意可令
，
所以
在
上单调递减，
则原不等式等价于
，
由
，
解之得
.
故选：B
4．（2024 高二下·全国·专题练习）已知
是定义在非零实数集上的函数，
为其导
函数，且当
时，
．记
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，得
，结合条件推出
的正负，得
到
的单调性，然后判断
、
、
大小关系，即可得出答案.
【详解】令
，得
．
3
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∵当
时，
，
∴当
时，
，故
在
上单调递减．
又
，
，
，
∴
，
∴
，故
．
故选：C．
5．（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）已知偶函数
的定义域是
，其
导函数为
，对任意
，都有
成立，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】根据不等式构造函数
，利用导数判断函数为增函数，将不等
式化为
（2），利用单调性即可求解.
【详解】当
时，由
，
得
，即
.
令
，则
在
上也为偶函数，
且当
时，
总成立，
在
上是增函数.
不等式
可化为
，
则
，又
，解得
.
故答案为：
6．（23-24 高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函
数，其导函数为
，当
时，
，且
，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数
，通过所给
的性质，计算出
的相应性质，即
可将问题转化为与
有关问题，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得.
【详解】令
，则
，
4
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由当
时，
，即
，
故当
时，
，即
在
上单调递增，
，故
为奇函数，
故
在
上也单调递增，
由
，则
，
，
不等式
可化为
，
即当
时，
，当
时，
，
即当
时，
，当
时，
，
结合
单调性，即有
或
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数
，通过所给
的性
质，计算出
的相应性质，再结合函数单调性于奇偶性计算即可得解.
7．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知
是定义域为
的偶函数，且
，当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是
.
【答案】
【分析】构造
，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断
的奇偶性，再将不等式化为
求解集.
【详解】令
且
，则
，
又当
时，
，所以当
时，
，所以
在
上递
增，
由
为偶函数，则
，故
为奇函数，
所以
在
上递增，且
，作出函数g(x)的示意图：
5
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又
等价于
，等价于
或
，等价于
或
，
所以
或
，故
.
故答案为：
.
二、构造
或
(
，且
)型
1．（23-24 高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意令
，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为
，即
，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即
可.
【详解】令
，则
，
所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，即
，
所以
，解得
，所以不等式
的解集是
.
故选：C
2．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
6
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，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依据题意，合理构造函数，利用导数解不等式即可.
【详解】令
，故
，故
在
上单调递增，
若
，则
，
故解
即可，由题意得解
即可，解得
，
故不等式
的解集是
，即A 正确.
故选：A
3．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
是定义在
上的奇函数，对任意实数
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先构造函数
， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判
断.
【详解】设
，则
，
由条件可知，
，所以
，则函数
在
上单调递增，
因为函数
是定义在
上的奇函数，则
，即
，故A 错误；
由函数的单调性可知，
，得
，故B 正确；
由
，得
，故C 错误；
由
，得
，故D 错误.
故选：B
7
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【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数
，从而可以根据函数的单调
性，判断选项.
4．（23-24 高二上·江苏扬州·期末）已知定义在
上的可导函数
，其导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数分析函数
的单调性，将所求不等式变形
为
，结合函数
的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】构造函数
，该函数的定义域为
，
则
，
所以，函数
在
上为增函数，且
，
由
可得
，即
，解得
.
所以，不等式
的解集为
.
故选：A.
5．（23-24 高二下·陕西咸阳·阶段练习）对
上可导的函数
，若满足
，且
，则
的解集是 ．
【答案】
【分析】依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可.
【详解】令
，
，而
，
易知
，故
，则
在
上单调递增，
而
，若
，则
，则
.
故答案为：
6．（23-24 高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
的解集为
【答案】
【分析】构造
，利用导数得
在
上单调递增，把
转化为
8
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，利用单调性解不等式即可.
【详解】构造
，
所以
，
所以
在
上单调递增，且
，
不等式
可化为
，即
，所以
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
三、构造
或
型
1．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，其导函
数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，判断函数
的奇偶性，再利用导数
求出函数的单调区间，进而可得出函数
的符号分布情况，即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以函数
在
上单调递减，
因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
，
则
，
9
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所以函数
为偶函数，
又
，所以
，
则当
或
时，
，
当
或
时，
，
由
，
得
或
，
解得
或
，
所以关于
的不等式
的解集为
.
故选：A.
2．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数
的定义域为
，其导函数是
.若对任意的
有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数
，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调
性求解不等式即得.
【详解】令函数
，
，求导得
，
因此函数
在
上单调递减，不等式
，
即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：B
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3．（23-24 高三上·广东·阶段练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构建
，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单
调性解不等式.
【详解】令
，则
，
因为
，则
，且
，
可知
，且仅当
时
，则
在
上单调递增，
又因为
为偶函数，
，
可得
令
，可得
，
注意到
，
不等式
，等价于
，
可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：构建函数
，利用单调性解不等式
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，利用诱导公式可得
，等价于
，即可得
结果.
4．（23-24·山东潍坊·模拟预测）设奇函数
定义在
上，其导函数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解
集为 ．
【答案】
【分析】根据题意构造函数
，求导，由
是奇函数，判断
奇偶性，
判断单调性，进而解不等式.
【详解】根据题意构造函数
，则
由
是奇函数，则
,
所以
是偶函数，
由
时，
，
所以当
，
，当
时，
，
故
在
单调递增，
在
单调递减，
又
，所以
,
所以当
时，
转化为
,所以
，
当
时，
转化为
，所以
，
故答案为：
5．（23-24 高二下·云南保山·期中）已知
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，
，且当
时，
，则不等式
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的解集为 ．
【答案】
．
【分析】
由
时，
，可构造函数
，判断
其单调性，即可求得
时，
即
的解集，再利用函数单调性
和奇偶性，结合
时，，
即
，可解得此时解集，综合可
得答案.
【详解】由题意知当
时，
，
，
故令
，则
，
即
在
上单调递增，且
，
故由
可解得
，
即当
时，
，则
即
；
此时
的解集为
；
当
时，
，则
即
，
因为
是定义在
上的奇函数，
故
为
上的偶函数，
则
在
上单调递减，且
，
故由
可解得
，
当
时，
无意义，
综合可得不等式
的解集为
，
故答案为：
【点睛】
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方法点睛：本题是关于函数的奇偶性以及单调性综合型题目，解答时要根据已知
时，
，根据其结构特征构造函数，并由此判断其单调性，再根据
函数奇偶性，结合不等式
变形，即可求解.
6．（23-24·山东·模拟预测）定义在
上的可导函数
的值域为
，满足
，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】化简条件式得
，构造函数
及
，判断其单调性即可.
【详解】∵
，∴
，则化简
得：
，
令
，则
，
即
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
则
，
故答案为：
四、构造
或
型
1．（23-24 高三上·浙江杭州·期末）已知定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，
，求导得到其单调性，从而得到
，化简后得到答案.
【详解】令
，
，
故
恒成立，
故
在
上单调递增，
故
，即
.
故选：B
2．（23-24 高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在
上的函数
，
是它的导函数，
且恒有
成立．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数
，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选
项，即得到结论．
【详解】
当
，
则不等式
等价为
，
即
，
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设
，
，
则
，
即函数
在
上单调递增，
则
，
，
，
，
即
，
，
，
，
则
，故A 正确；
，得不出
，故B 错误．
，故C 错误．
，故D 错误．
故选：A．
3．（23-24·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，不等式
恒成立（
为
的导函数），若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，分析函数
的奇偶性及其在
上的单调性，可得
出
，
，
，结合函数
在
上的单调性可得出
、
、
的大小关系.
【详解】由题意得函数
为偶函数，构造函数
，
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所以
，
易知当
时，
，所以函数
在
上单调递减．
因为
，则
，
由
，则
，
且
，
因为函数
在
上单调递减，且
，
所以
，即
，
故选：C．
4．（23-24 高二下·江苏·阶段练习）已知函数
的定义域为
，其导函数是
．有
，则关于
的不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】令
，根据题设条件，求得
，得到函数
在
内的单调递减函数，再把不等式化为
，结合单调性和定义域，即可
求解.
【详解】由题意，函数
满足
，
令
，则
函数
是定义域
内的单调递减函数，
17
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由于
，关于
的不等式
可化为
，
即
，所以
且
，解得
，
不等式
的解集为
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造法求解
与
共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数
和
满足的条件，需要根据题设条件
构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：
（1）
型；（2）
型；（3）
为常数
型.
5．（23-24 高二下·重庆·期末）偶函数
定义域为
，其导函数为
，若对
，有
成立，则关于
的不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】令
，
，依题意可得
为偶函数且在
上单
调递减，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令
，
，因为
定义域为
上的偶函数，
所以
，则
，即
为偶函数，
又
，
因为对
，有
成立，所以当
时
，
即
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
18
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又
，所以
，则不等式
等价于
，
即
，即
，所以
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数是
.有
，则关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数
，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量
的不等式，解得即可.
【详解】依题意令
，
，
则
，
因为当
时，
，
所以当
时，
，
∴
在
上单调递减，
则
等价于
，即
，
∴
，解得
，所以所求不等式的解集为
.
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故答案为：
五、根据不等式（求解目标）构造具体函数
1．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）设
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，由
的单调性可知
，所以
，再
由
可得
，所以
，即可得出答案.
【详解】构造函数
，
的定义域为
，
，令
可得：
，令
可得：
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
故
，即
，
变形可得
，即
，所以
；
又
，所以
，又因为
，
所以
，综上，
，
故选：B．
2．（23-24 高二下·广东惠州·阶段练习）已知
是自然对数的底数，设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，利用求导判断该函数的单调性，比较
的大小，再设
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，利用求导判断函数的单调性，得到
，可比较
的大小，即得.
【详解】设
，则
，当
时，
，
单调递
增；当
时，
，
单调递减.
因
，则
，即得
；
再设
，则
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
故
时，
，则
，即
，故得
.
综上，可得
.
故选：A.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，
也是
定义在
上的奇函数，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
为奇函数及
为偶函数可求
，利用导数可判断
为
上的
减函数，从而可求不等式的解.
【详解】因为
，故
，
故
，
因为
是定义在
上的奇函数，故
，
故
，故
，故
，
此时
，故
为
上的减函数，
而
等价于
，
即
即
，故
或
故选：A .
4．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在
上的可导函数
满足
，若
21
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，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数
，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形
为函数
的形式，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令
，则
，
所以函数
在
上是减函数，
由
，得
，
即
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，且有
，且对任意
都有
，则使得
成立的
的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造函数
，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【详解】由
知
是奇函数，
，
设
，则
，
在
上单调递增，由
得
，
即
，
，得
的取值范围是
.
故答案为：
22
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