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专题05 九种函数与抽象函数模型归类
目录
题型一：三大补充函数：对勾函数.....................................................................................................................................1
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数.....................................................................................................4
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）.............................................................................................................6
题型四：一元三次函数.........................................................................................................................................................9
题型五：高斯取整函数.......................................................................................................................................................12
题型六：绝对值函数...........................................................................................................................................................15
题型七：对数绝对值型.......................................................................................................................................................19
题型八：对数无理型...........................................................................................................................................................22
题型九：对数反比例型.......................................................................................................................................................24
题型十：指数反比例型.......................................................................................................................................................26
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型.......................................................................................................................28
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型...................................................................................................................30
题型十三：抽象函数模型：正切型...................................................................................................................................33
题型十四：抽象函数模型：一元二次型...........................................................................................................................35
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型...................................................................................................................37
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型.......................................................................................................39
题型一：三大补充函数：对勾函数
1.（2022 秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的
，不等式
恒成立，
则
的最大值是 .
【答案】
【分析】令
，讨论
的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
1
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值与最小值，使
且
恒成立，进而确定
的取值范围以及
的取值范围，即求.
【详解】令
I.当
时，函数
显然单调递增，
所以
，
，
由题意可得
，
这与
矛盾，故舍去；
II，当
时，
在
单调递减，
单调递增，
①.当
时，即
，所以
，
由题意可得
，
这与
矛盾（舍去）.
②．当
时，即
，
所以
，
，由题意得
，a.当
时，此时
，
所以
，故
，
而
，故
，b.当
时，此时
，所以
，
故
，而
，故
.
③．当
时，即
，所以
，
，
由题意可得
，这与
矛盾，
综上所述：
.故答案为：
2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数
，关于x 的不等式
只有一
个整数解，则正数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得
的值域，进而结合不等式可知
2
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；因为不等式
只有一个解，因而计算
后与
比较即可
确定这个解为
；进而由不等式成立条件可得正数a 的取值范围.
【详解】函数
，结合打勾函数性质可知，
，
关于x 的不等式
，因为求正数a 的取值范围，因而
，化简不等式可得
，
所以
，即
则
，
因为关于x 的不等式
只有一个整数解，
所以由以上数据可知整数解为
，所以
，
解得
，所以
故答案为：
.
3.．（2023·高三单元测试）已知函数
，若存在
，使得
，则正整数
的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到
，要使正整数
尽可能大，则可以是
，得到答案.
【详解】当
时，
，
单调递减，故
，
要使正整数
尽可能大，则可以是
，故
的最大值为4.
故答案为：4.
4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数
，若对任意的
，长为
的三条线段均可以构成三角形，则正实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出
的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2 倍大于最大值，解不等
式即可得到所求
的范围．
【详解】函数
的导数为
，
当
时，
，
递增；当
时，
，
递减．
当
即
时，
，
为减区间，即有
的最大值为
；
最小值为
．
由题意可得只要满足
，解得
；
当
且
即
时，
，
为减区间，
，
为增区间，
即有
的最大值为
；最小值为
．
由题意可得只要满足
，解得
，所以
；
当
且
（1）即
时，
，
为减区间，
，
为增区间，
3
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即有
的最大值为
；最小值为
．
由题意可得只要满足
，解得
，所以
；
当
，即
时，
，
为增区间，即有
的最小值为
；
最大值为
．
由题意可得只要满足
，解得
．
综上可得，
的取值范围是
．
故答案为：
．
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数
为奇函数，
与
的图
像有8 个交点，分别为
，则
.
【答案】16
【分析】由
为奇函数可得函数
关于点
对称，分离常数
可知函数
关于点
对称，继而可得
与
图像的8 个交
点关于点
对称，则
，
可求，结果可得.
【详解】
为奇函数
函数
关于点
对称
函数
关于点
对称
与
图像的8 个交点关于点
对称
,
,
,
可得
同理可知
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用
穿线法求解
形如：
。对称中为P
，其中
①
；
②
③一、三或者二、四象限，通过
计算判断
4
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故答案为：
2.（2023·全国·高三对口高考）函数
的值域是
或
，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为
,(其中
或
),求出
的值域即得
的定义域.
【详解】
，其中
或
，
当
时,
是减函数,此时
，
当
时,
是减函数,此时
，
∴函数
的定义域为
.
故答案为：
.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，其中
且
，函数
，且
对任意
，都有
，则的值是 ．
【答案】
或3.
【分析】先判断区间
与
的关系可得
，再分析
时定义域与值域的关系，根据函数的
单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当
时，
，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间
与
的关系，因为
，故
或
.因为当
，即
时，由题
意，当
时，
，故不成立；故
.
再分析区间
与
的关系，因为
，故
或
.
①当
，即
时，因为
在区间
上为减函数，故当
，
，因为
，而
，故此时
，即
，因为
，故
即
，故
，解得
，因为
，故
5
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.此时区间
在
左侧，
在
右侧.故当
时，
，
因为
，故
，所以
，此时
，故
，解得
，因为
，故
；
②当
时，
在区间
上单调递减，易得
，故此时
且
，即
且
，所以
，故
，故
，即
，
，因为
，故
；
综上所述，
或3。故答案为：
或3.
4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数
，若函数
在
的最大值为2，
则实数的值为 .
【答案】
或2
【解析】由题意可得三个非负端点值
，分别令它们为最大值2 求，再验证是否符合题设
即可求的值.
【详解】
，由题意知：
，
∴
时，
；
时，
；
时，
；
若
时，
或
，而
有
，
有
，故与题设矛盾；
若
时，
或
，而
有
，所以只有
时成立；
若
时，
或
，而
有
，所以只有
时成立；
综上有：
或
，
故答案为：
或2
6
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题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）
1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数
，则关于x 的不等式
的解集是
.
【答案】
【分析】求出
是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形
再利用单调
性解不等式可得解.
【详解】
，
是奇函数，又
是
上的减函数，
是
上的增函数，
由函数单调性质得
是
上的减函数.
,则
，由奇函数得
且
是
上的减函数.
，
，又
不等式
的解集是
故答案为：
2.（2023 春·湖北·高二统考期末）已知奇函数
，有三个零点，则t 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由
为奇函数求出
的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由
有三个零点，求t
的取值范围.
【详解】若
，
，函数没有三个零点，所以
，
为奇函数，则
，即
，
得
，
双刀函数
（两支各自增），或者
（两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.“零点”：解方程
（即方程等0 处）
7
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设
，函数定义域为R，
，
为偶函数，
，
是R 上的增函数，且
，
则
，解得
；
，解得
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
，由
，则有
，
所以
，
，
由
，当且仅当
时等号成立，则
，
若
，则
，
单调递减，没有三个零点；
若
，令
，则方程
，即
，
判别式
，方程有两个不相等实数根，设两根为
且
，则有
，
，所以
，
令
，
，由
，则
且
，
，即
，即
，解得
，得
；
，即
，即
，解得
或
，得
或
，
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增，由
，则有
，
，
由函数
的单调性和递增速度可知，
时，存在
，
的图像如图所示，
此时奇函数
有三个零点.综上可知，t 的取值范围为
.故答案为：
3.（2023 春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数
若
，则
．
【答案】3
【分析】利用
，求得
的值.
【详解】根据题意，函数
，则
，则
，
故有
，又由
，则
，故答案为：3.
4...2023 春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】令
，分析函数
的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变
8
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形为
，结合函数
的单调性可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】设
，则函数
是定义域为
，
因为
，故函数
为奇函数，
因为函数
、
、
、
均为
上的增函数，
故函数
为
上的增函数，
因为
，
由
可得
，
可得
，
所以，
，即
，解得
.
因此，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
题型四：一元三次函数
1.．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有
实数解
，则称
为函数
的“拐点”．经研究发现所有的三次函
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心．若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用题中给出的定义，得到
的拐点为
，从而得到
的对称中心为
，即
，由此分析计算即可．
【详解】解：因为函数
，则
，
，
令
，解得
，且
，由题意可知，
的拐点为
，故
的对称中心为
，
所以
，
所以
．故选：A．
一元三次函数：
所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心，
设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
9
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2.已知函数 f (x)=a x
3+3 x
2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (−m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
则过坐标原点作曲线 y = f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条
B. 2 条
C. 1 条
D. 0 条
【答案】B
【解析】至少存在两个实数 m，使得 f (−m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
可得 f (−m)+ f (2+m)=2f (1)=2(a+ 4)，即有 f (x) 的图象关于点 (1,a+ 4) 对称， f (x) 的导数为
fʹ (x)=3a x
2+6 x，
fʺ (x)=6ax +6，由 fʺ (x)=0，可得 x =−1
a，由 f(−1
a + x)+ f(−1
a −x) 为常数，可得 −1
a =1，解
得 a=−1．
即有 f (x)=−x
3+3 x
2+1，fʹ (x)=−3 x
2+6 x，设切点为 (t ,−t
3+3t
2+1)，可得切线的斜率为
−3t
2+6t = −t
3+3t
2+1
t
，化为 2t
3−3t
2+1=0，设 g(t )=2t
3−3t
2+1，gʹ (t )=6t
2−6t，
当 0<t <1 时，gʹ (t )<0，g(t ) 递减；当 t >1 或 t <0 时，gʹ (t )>0，g(t ) 递增．
可得 g(t ) 在 t =0 处取得极大值，且为 1>0；在 t =1 处取得极小值，且为 0．
可知 2t
3−3t
2+1=0 有两解，即过坐标原点作曲线 y = f (x) 的切线可以作 2 条．
3.（多选）（全国名校大联考2022-2023 学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是函数
的导数，
若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的极大值点为
B．
有且仅有3 个零点
C．点
是
的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出
，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判
断A 项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B 项；根据
的解的情况，
可判断C 项；由对称中心可推得
，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D 项.
【详解】由题意知
.
令
，解得
或
，所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
令
，解得
，所以在
上单调递减.
又
，
.
所以，
在
处有极大值
，在
处有极小值
.
所以
的极大值点为-2，A 项错误；
又极大值
，极小值
，作出
的图象，
10
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有图象可知，
有且仅有3 个零点，故B 正确；
，令
，解得
，
又
，由题意可知，点
是
的对称中心，故C 正确；
因为点
是
的对称中心，所以有
，即
.
令
，
又
，
所以
，，所以
.故D 正确.
故选：BCD.
4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023 学年高三上学期12 月抽测二数学试题）对于三次函数
,给出定义:设
是函数
的导数,
是
的导数,若方程
有实数解
,则称点
为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,
任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数
,则以下说法正确
的是（ ）
A．
B．当
时,
有三个零点
C．
D．当
有两个极值点
时,过
的直线必过点
【答案】AB
【分析】根据题意令
二次导数为零即可求出拐点,即对称中心,即可得选项A 的正误,先讨论
时是
否为零点,然后进行全分离,设新函数求导求单调性,求特殊值,画函数图象即可判断选项B 的正误,根据选项
A,将
代入再相加即可得选项C 的正误,两点在一条直线上,则中点也在直线上,根据
为
极值点,令
导函数为0,用韦达定理即可得
,根据选项A,可得
,即可求出
中点坐标,即可判断选项D 的正误.
11
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【详解】解:由题知
,
关于选项A:
,令
可得
,
的拐点为
,
,
对称中心为
,即
成立,-故选项A 正确;
关于选项B:
当
时,
,
不是
的零点,令
,即
有三个根,
令
,
,
时,
单调递增,
时,
单调递减,
时,
单调递减,
,
,
,
,
画
图象如下:
由图可知:
时,
与
有三个交点,
即
有三个零点,故选项B 正确;
关于选项C:
由选项A 可知:
,
,
两式相加可得
,故选项C 错误;
关于选项D:
由于
有两个极值点
有两根
,
,
由于直线过
,则直线一定过
中点,
12
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由选项A 知
,且有
,
中点坐标为
,则直线一定过
,故选项D 错误.
故选:AB
题型五：高斯取整函数
1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023 学年高三月考数学试题）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，
，定义函数
则下列说法正确的个数是（ ）
①函数
的定义域为R
②函数
的值域为
③函数
是增函数
④函数
是奇函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】
根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】
①：函数
的定义域为全体实数，故本说法正确；
②：因为
表示不超过
的最大整数，所以
，因此本说法不正确；
③：因为
，显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确；
④：因为
，
，
所以
，因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确，
故选：A
2.（广东省广州市第四中学2021-2022 学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学
家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的
取整函数
表示不超过
的最大整数，又叫做“高斯函数”，
13
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数学成就很多，其中：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
，已知函数
，
，设函数
的值域为集合
，则
中所有负整数元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可.
【详解】
函数
图象的对称轴为
，当
时，易知
，
，所以
的值域
，故其值域中所有负整数元素为
，
，
，个数为3.
故选：B.
3.（百师联盟2020-2021 学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯
是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重
要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设
用
表示不超过
的
最大整数，则
称为高斯函数，例如：
已知函数
.设函
数
的值域为集合
，则
中所有正整数元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求解出二次函数
的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合
，从而
中
所有正整数元素个数可知.
【详解】
函数
图象的对称轴为
，
当
时，
，
，
所以
，
所以
的值域
，
故其值域中所有正整数元素为
个数为，
故选：
.
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设
，用
表示不超过
的最大整数，
也被称为“高斯函数”，例如：
，
.已知函数
，
下列说法中正确的是（ ）
A．
是周期函数
B．
的值域是
C．
在
上是减函数
D．
，
【答案】AC
【分析】
根据
定义将函数
写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
【详解】
14
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由题意可知
，
，
可画出函数图像，如图：
可得到函数
是周期为1 的函数，且值域为
，在
上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于
D，取
，则
，故D 错误.
故选：AC．
题型六：绝对值函数
1.（2023 春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义
为与
距离最近的整数，令函数
绝对值函数：
15
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，如：
.
【答案】19
【分析】令
，则
，即
，所以
，满足此不等式的正整数
的个数有
，即
共有
个数，由此求解即可得出答案.
【详解】令
，则
，即
，即
，
所以
，满足此不等式的正整数
的个数有
，
即
共有
个数；
时则有2 个，即
；
时则有4 个，即
；
时则有6 个，即
；
时则有18 个，即
，（其中
）；
又
，所以
，
其中
共有10 个数；
所以
.
故答案为：19.
2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数
，若关于
的方程
恰有三个不相等
的实数解，则实数
的取值集合为 .
【答案】
【分析】分类讨论
的不同取值，并作出
的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数
图象的交点的个数即可求解.
【详解】
，当
时，
，此时
无解，不满足题
意；
当
时，设
，则
与
的图象大致如下，
16
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则
对应的2 个根为
，此时方程
均无解，即方程
无解，不
满足题意；
当
时，设
，则
与
的图象大致如下，
则则
对应的2 个根为
，若方程
恰有三个不相等的实数解，
则
与函数
的图象共有3 个不同的交点，
①当
时，
与函数
的图象共有2 个交点，如图所示，
所以
与函数
的图象只有1 个交点，
则
，所以
，解得
；②当
时，
与函数
的图象共有2 个交点，
所以
与函数
的图象只有1 个交点，则
，与
矛盾，不合题意；
③当
时，
与函数
的图象共有2 个交点，如图所示，
所以
与函数
的图象只有1 个交点，则
，所以
，解得
；
综上，
的取值集合为
，故答案为:
.
17
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3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数
，有下列结论：
①
，等式
恒成立；
②
，方程
有两个不等实根；
③
，若
，则一定有
；
④存在无数多个实数k，使得方程
在
上有三个不同的实数根．
则其中正确结论序号为 ．
【答案】①③④
【分析】①根据函数表达式计算判断；②举反例判断；③根据函数单调性判断；④用数形结合法判断.
【详解】已知函数
，有下列结论：
对于①，因为
，
，所以①对；
对于②，因为当
时，方程
，只有一个实根
，所以②错；
对于③，因为当
时，
，单调递增，
当
时，
单调递增，
所以
在
上单调递增，
所以
，若
，则一定有
，所以③对；
对于④，方程
在
上有三个不同的实数根，
即方程
在
上有三个不同的实数根，
因为
必为一根，只要方程
有两个不同的实数根，即只要
有两个不同的实数根，
由函数图像知
，即
，所以④对．
故答案为：①③④·
4.（2023 春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知
若存在
，使得
成立的最大正整数
为6，则
的取值范围为
.
【答案】
【分析】由题意得
，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
18
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【详解】原问题等价于
，当
时，函数图象如图
此时
，则
，解得：
；
当
时，函数图象如图
此时
，
则
，解得：
；
当
时，函数图象如图
此时
，
则
，解得：
；
当
时，函数图象如图
此时
，
则
，解得：
；综上，满足条件
的取值范围为
.
故答案为：
题型七：对数绝对值型
19
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1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数
，若方程
有4 个不同
的根
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出函数
与
的图像，得到
关于
对称，
化简条件，利用对勾函数的
性质可求解.
【详解】作函数
与
的图像如下：
方程
有4 个不同的根
，
，
，
，且
，
可知
关于
对称，即
，且
，
则
，即
，则
即
，则
；
当
得
或
，则
；
；
故
，
；
则函数
，在
上为减函数，在
上为增函数；
故
取得最小值为
，而当
时，函数值最大值为
.
对数绝对值型函数
对于
，
若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
20
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即函数取值范围是
.故选：D.
2.（2023 春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数
，若关于x 的方
程
有四个实根
（
），则
的最小值为（ ）
A．
B．16
C．
D．17
【答案】B
【分析】作出函数
的大致图象，可知
，由
与
的图象有四个交点可得
，计算
求得
的值即可得
的范围，根据
可
得
与
的关系，再根据基本不等式计算
的最小值即可求解.
【详解】作出函数
的大致图象，如图所示：
当
时，
对称轴为
，所以
，
若关于
的方程
有四个实根
，
，
，
，则
，
由
，得
或
，则
，
又
，所以
，
所以
，所以
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
.故选：B.
3.（2020 秋·陕西延安·高三校考模拟）已知
，则函数
的零点个数是
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】首先由函数的零点转化为方程
和
的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个
数.
21
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【详解】函数
的零点，
即方程
和
的根，
函数
的图象如下图所示：
由图可得方程
和
共有5 个根，
即函数
有5 个零点，
故选：A
4.（2023 春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数
，若
（其中
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
的性质并作出图象，将问题转化为直线
与函数
的图象的四个交点问题，
结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答.
【详解】当
时，函数
在
上递减，函数值集合为
，在
上递增，函数值集合
为
，
当
时，函数
在
上递减，函数值集合为
，在
上递增，函数值集合为
，
作出函数
的图象，如图，设
，
当
时，直线
与函数
的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为
，且
，
当
时，由
，解得
或
，于是
，
由
，得
，则
，即
，而
，
22
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因此
，
令
，显然函数
在
上递减，且
，于是
，
所以
的取值范围是
．故选：D
题型八：对数无理型
1.（2023 春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数
，若任意的正数
，
均满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先判断出
的单调性和奇偶性，再由
得出
与
满足的等式，再由基本不
等式“1”的妙用求解即可.
【详解】∵
恒成立，∴函数
的定义域为
．
，有
成立，
，
，
∴
，∴
为定义在
上的奇函数．
由复合函数的单调性易知，当
时，
与
均单调递减，
∴
在区间
上单调递减，
又∵
为定义在
上的奇函数，∴
在
上单调递减.
∴由
得
，∴正数
，
满足
，即
，
∴由基本不等式，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，∴
的最小值为
．故答案为：
．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，则
的取值
范围是 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，
解得即可.
【详解】因为函数
，定义域为
，且
，
对数与无理式复合是奇函数：
，如
23
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则
，
即
，即
为奇函数，
当
时
，
，
均单调递增，所以
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，
所以
是奇函数且在
上单调递增，
由
，可得
，则
，解得
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
3.（2023 秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
【答案】
【分析】设
，判断
是奇函数，故
，从而可求解.
【详解】设
，则
的定义域为
，
则
，
∴
，
是奇函数，因此
.
又
，
，
∴
，
．
故答案为:
.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若正实数
满足
，
则
的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据题意设
，利用函数奇偶性可以得到设
，再利用基本不等式即
可求出结果.
【详解】由函数
，设
，则
的定义域为
，
，则
，所以
是奇函数，
则
，又因为正实数
满足
，所以
，
，当且仅当
时取到等号.
故答案为：16.
题型九：对数反比例型
24
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1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数
，若函数
的图象关于点
对称，
则
（ ）
A．-3
B．-2
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由题意，推出
是奇函数，根据定义域的对称性依次求得
的值，即可求得
；方法二：直接利用
，将其化成
，再由等式恒
成立得到
，继而求得
.
【详解】方法一：依题意将函数
的图象向左移1 个单位长度关于原点对称，即
是奇函数，
因奇函数的定义域关于原点对称，而
时函数
无意义，故
时
也无意义，
即
，解得
此时
为奇函数，则
解得
故
.
故选：C．
方法二：依题意
恒成立，代入得
化简得，
,
整理得：
，
即
(*)，
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使
，则得
，
回代(*)可得，
，即
，故
.
故选：C.
25
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2.（21-22 高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间
上的函数
是奇函数，且
.若
表示不超过
的最大整数，
是函数
的零点，则
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【详解】由奇函数的定义可得
，即
，也即
；当
时，
，则
，与题设不符，所以
，由
，所以
．由于
，所以若
时，
，则函数
的零点
；则由题设中的新定义的概念可得
．
若
时，
，则函数
无零点
，则由题设中的新定义的
概念可得
，应选答案C．
3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数
是定义在区间
上的奇函数，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是奇函数求出
的值，再求出
的定义域即可求出
的取值范围.
【详解】
，
，即
，即
，
，
，
是定义在区间
上的奇函数，
，即
，
，解得
（舍）或
，
的定义域为
，
.
故选：D.
4.（23-24 高三上·浙江宁波·模拟）已知
是奇函数，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到
,即可求出
的值,求出函数的定义域，再由奇
函数的性质
,求出
的值,即可得到结果。
26
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【详解】因为
是奇函数，可知
定义域关于原点对称，
由
，可得
，显然
，则
且
，可得
，解得
，
所以函数的定义域为
，则
，解得
,
此时
,且
，即
，
符合题意，
所以
.故选：D.
题型十：指数反比例型
1.（23-24 高三上·河南·模拟）已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意
，不等式
恒成立，则实数
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最小值
D．最大值
【答案】D
【分析】先由奇函数确定
的值，然后对
变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为
对任意
恒成立，故只需求出函数
的最小值即可，由复合函数单调性，
即可得出其单调性，进而得到其最小值.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，得
，
，
变化
27
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从而由复合函数单调性可知
在
上单调递增，且注意到
是定义在
上的奇函数，
所以不等式
等价于
，
即等价于
，亦即
，
该不等式对任意
恒成立，则
不大于
的最小值．
因为由复合函数单调性可知
在区间
上单调递增，
所以当
时，
的最小值为
所以
，等号成立当且仅当
．故选：D.
2.（23-24 高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数
，若实数
满足
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出
，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有
，
另一方面若有
成立，结合以上两方面有
，
且注意到
，所以由复合函数单调性可得
在
上严
格单调递增，
若
，则只能
，因此
当且仅当
；
又已知
，所以
，即
，
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最大值为
.故选：C.
3.（21-22 高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数
的图像与过点
的直线有3 个不同的交点
，
，
，则
（ ）
A．8
B．10
C．13
D．18
【答案】D
【分析】分析函数
的对称性，再借助对称性的性质计算作答.
28
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【详解】函数
定义域为R，且
，即点
在函数图象上，
，
，因此，函数
的图象关于点
对
称，
依题意，不妨令
，则点
与
关于点
对称，即
且
，
所以
.
故选：D
4.（2024·河北衡水·模拟预测）设
，若函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.
【详解】
的定义域为
，关于原点对称，
故
所以
，
故
或
（舍去），故选：D
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型
1.（23-24 高三上·山东泰安·模拟）已知函数
对于任意的
，都有
成立，
则（ 多选 ）
--过原点直线型f（x）=kx
29
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A．
B．
是
上的偶函数
C．若
，则
D．当
时，
，则
在
上单调递增
【答案】AC
【分析】A 选项，令
，得到A 正确；B 选项，令
，得到
，但f(x)不一定恒
为0 可判断B；C 选项，令
即可；D 选项，令
，得到
，得到
在
上单调递减.
【详解】A 选项，当
时，
，解得
，A 正确；
B 选项，令
得
，即
，故
是
上的奇函数，
但不一定是偶函数,因为
不一定恒为0，B 错误；
C 选项，令
，则
，因为
，则
，C 正确；
D 选项，令
，则
，
则
，故
在
上单调递减，D 错误.
故选：AC
2.（23-24 高三上·江苏·阶段练习）已知函数
，
，对于任意
，
，
，
且当
时，均有
，则（ 多选 ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法可判断A，根据性质可判断B，由赋值法及性质可判断C，根据
抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D.
【详解】令
，则
，解得
，故A 错；
因为
，故B 正确；
因为
，所以
，故C 正确；
设任意的
，且
，则
，所以
，
即
，所以函数
为
上的增函数，因为
，
所以
，解得
，故D 正确.
故选：BCD
3.（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
满足（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
在
上有最小值
D．
的解集为
【答案】C
【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法可判断选项A；利用赋值法和函数奇偶性的定义可判断选项
30
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B；根据函数单调性的定义可判断选项C；根据函数的奇偶性和单调性可判断选项D .
【详解】令
，
，由
可得：
，解得
，故选项A
错误；
令
，由
可得：
，即
，
则
是奇函数，故选项B 错误；
任取
，且
，
则
，
所以
，即
所以函数
在
上单调递减.
因为
是奇函数，
所以函数
为
上的减函数.
所以
在
上有最小值
，故选项C 正确；
因为
是为
上的奇函数，且为
上的减函数，
所以当
时有
，解得
，故选项D 错误.
故选：C
4.（2023·广西玉林·三模）函数
对任意x，
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是R 上的减函数
C．
在
上的最小值为
D．若
，则实数x 的取值范围为
【答案】C
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为
，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取
，
，则
，解得
，
，
则
．即
，函数
是奇函数，所以选项A 错误；
令
，
，且
，则
，因为当
时，
，所以
．
则
．即
，
函数
是R 上的增函数，所以选项B 错误；
因为函数
是R 上的增函数，所以函数
在
上的最小值为
，
，
，
．
故
，
在
的最小值为-2，所以选项C 正确；
，即
，
因为函数
是R 上的增函数，所以
，所以
，
所以实数x 的取值范围为
，所以选项D 不正确．
故选：C．
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型
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1. （多选）（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）设函数
满足：对任意实数
、
都有,
且当
时，
.设
.则下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数
有对称中心
C．函数
为奇函数
D．函数
为减函数
【答案】ABC
【分析】令
，可得
，再令
，判断选项A；令
，即可判断选项
B；由
，判断选项C；令
,利用函数的单调性定义进行判断选项D.
【详解】由对于任意实数
，
，
令
，则
，即
,
再令
,则
，
即
，故A 正确;
令
，则
，即
，故B 正确；
由
，则
，即
是奇函数，故C 正确；
对于任意
,则
，当
时，
，则
，所以
单
调递增，即
单调递增，故D 错误.
故选：ABC
2. （多选）（23-24 高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R 上的函数
满足
，且
当
时，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
上是减函数
D．若
，则不等式
的解集为
【答案】AB
【分析】令
，得
，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的
定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D.
【详解】对A，令
，得
，A 正确；
对B，
，所以函数
为奇函数，B 正确；
对C，在R 上任取
，则
，所以
,
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又
，
所以函数
在R 上是增函数，C 错误；
由
，
得
．
由
得
．
因为函数
在R 上是增函数，所以
，解得
或
．
故原不等式的解集为
或
，D 错误．
故选:AB．
3.（23-24 高三上·湖南株洲·模拟）已知函数
对
，都有
，若
在
上存在最大值M 和最小值m，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．0
【答案】B
【分析】根据赋值法可得
，进而根据奇函数的性质得
为奇函数，即可根据
奇函数的性质求解.
【详解】令
，则
，得
；
令
，则
，
所以
；令
，
则
，
所以
为奇函数，故
，即
，
所以
．
故选：B．
4.（23-24 高三下·河南周口·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，若函数
的最大值和最小值分别为
，则
．
【答案】4048
【分析】利用赋值法可得
为奇函数，则
，令
，根据定义法证得
为奇函数，则
，结合
，即可求解.
【详解】令
，得
，令
，则
，
所以
，令
，
所以
，
为奇函数，
．
令
，
则
，
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即
为奇函数，所以
．
而
，
所以
．
故答案为：4048
题型十三：抽象函数模型：正切型
1.（20-21 高三上·浙江宁波·模拟）已知函数
的图象是连续不断的，其定义域为
，满足：当
时，
；任意的x，
，均有
.若
，
则x 的取值范围是（ ）（e 是自然对数的底数）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，解得
，再令
，得到
，从而
是奇函数，用
替
代
，结合
是奇函数，得到
，再由
时，
，利用
单调性定义得到
在
上递增，则
在
上递增，将
转化为
求解.
【详解】解：令
，即
，
则
，令
，即
，则
，
因为
定义域为
，所以
是奇函数，由
，用
替代
，
得
，因为
是奇函数，所以
，
，且
，则
，因为当
时，
，
所以
，
，即
，
所以
在
上递增，又
是定义域为
的奇函数，所以
在
上递增，
则
等价于
，解得
，故选：D
2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：
，
，
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．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答
【详解】对于A，因
，则
满足
，A 不是；
对于C，因
，则
满足
，C 不是；
对于D，因
，则
满足
，D 不是；
对于B，显然
不能变形，
，因此
不满足三个等式中任一
个，B 是.
故选：B
3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，则（ 多选 ）
A．
B．
为偶函数
C．
为周期函数，且4 为
的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令
中
，即可得出答案；
对于选项B：令
中
，得出
，根据已知得出其定义域关于
轴
对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令
中
，得出
，即可根据周期定义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A 选项：令
，得
，故A 正确.
B 选项：令
，则
，因此
，
又
的定义域为
，关于
轴对称，所以
为奇函数，故B 错误.
C 选项：令
，则
，
所以
，因此
，
所以
为周期函数，且周期为4，故C 正确.
D 选项：
，故D 正确.
故选：ACD.
4.（20-21 高三上·浙江宁波·模拟）已知函数
的图象是连续不断的，其定义域为
，满足：当
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时，
；任意的x，
，均有
.若
，
则x 的取值范围是（ ）（e 是自然对数的底数）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，解得
，再令
，得到
，从而
是奇函数，用
替
代
，结合
是奇函数，得到
，再由
时，
，利用
单调性定义得到
在
上递增，则
在
上递增，将
转化为
求解.
【详解】解：令
，即
，
则
，令
，即
，则
，
因为
定义域为
，所以
是奇函数，由
，用
替代
，
得
，因为
是奇函数，所以
，
，且
，则
，因为当
时，
，
所以
，
，即
，
所以
在
上递增，又
是定义域为
的奇函数，所以
在
上递增，
则
等价于
，解得
，故选：D
题型十四：抽象函数模型：一元二次型
1.（23-24 高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数
、
、
，
，有
成立，且
，则
【答案】
【分析】通过对
、
不断赋值，求得
，可得出
，利用累加法求
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出
的表达式，即可得出
的表达式.
【详解】在等式
中，
令
，可得
，解得
，
令
，可得
，可得
，
令
，
，则
，可得
，
令
，
，其中
，则
，
则当
且
时，
，
故当
且
时，
，
当
时，
也满足
，
故对任意的
，
，所以，
.
故答案为：
.
2.（23-24 高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
的定义域为R，
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】D
【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可.
【详解】令
，可得
，故A 正确；
令
，可得
，令
，
，可得
，
则
，故B 正确；
由
，可得
，令
，
则
，令
，可得
，令
，
则
，所以
是奇函数，即
是奇函数，
故C 正确；
因为
，所以
不是偶函数，故D 不正确.
故选：D
3.（23-24 高三上·吉林长春·模拟）函数
满足：任意
，
.且
.则
的最小值是（ ）
A．1775
B．1850
C．1925
D．2000
【答案】C
【分析】由
可得
，设
，可得
，从而可得结论.
【详解】因为
，所以有
，
设
，那么
，
因此
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，
因此
，
取
，得到
.所以
.
设
，等号成立！故选：C.
4.（23-24 高三上·河北保定·模拟）已知函数
满足：
，
，
成立，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，求出
，令
，求出
，令
，求出
，再令
，可求出
的关系，再利用累加法结合等差数列前
项和公式即可得解.
【详解】令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以
，
则当
时，
，
则
，
当
时，上式也成立，
所以
，
所以
.
故选：C.
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型
1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在
上的函数
满足：
，
则（ ）
A．
是奇函数
B．若
，则
C．若
，则
为增函数
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D．若
，则
为增函数
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项
进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：
定义域为
，关于原点对称；
对原式，令
，可得
，解得
；
对原式，令
，可得
，即
，
故
是奇函数，A 正确；
对B：对原式，令
，可得
，
又
，则
；
由A 可知，
为奇函数，故
，故B 正确；
对C：由A 知，
，又
，对
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
时，不是单调增函数，故C 错误；
对D： 在
上任取
，令
，
则
，
由题可知
，又
，故
，
即
，
，故
在
上单调递增，
也即
在
上单调递增，故D 正确；
故选：ABD.
2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为
的函数
满足
为
的导函数，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．设
，则
【答案】ABD
【详解】对于A：令
可得；对于B：令
可得；对于C ：先确定
的奇偶性，然后令
后对
两边同时求导，再代入
即可；对于D：利用累加法求通项公
式.
【点睛】对于A：令
得
，所以
，A 正确；
对于B：令
得
，所以
，B 正确；
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对于C：因为
，所以
，即
，
所以
为偶函数，由
可得
，
令
得
，
则
，令
，得
，
所以
，C 错误；
对于D：因为
，
，
所以
，且
所以
，相加可得
，
所以
，则
，D 正确.
故选：ABD.
3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数
是定义域为R 的可导函数，若
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是减函数
C．
D．
是
的极小值点
【答案】ACD
【分析】令
求出
，令
可确定奇偶性，将
当作常数，
作为变量，对原式求导，然后
可通过赋值，解不等式求单调性及极值.
【详解】令
，得
，令
，得
，所以
是奇函数，A 正确；
。令
，
又
，
，
令
，
，
，
或
在
和
上为增函数，
在
上为减函数，
是
的极小值，故CD 正确，B 错误.
故选：ACD.
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型
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1.（多选）（23-24 高三上·浙江湖州·模拟）已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据
，利用赋值法逐项判断.
【详解】因为
，
令
，得
，因为
，所以
，故B 错误；
令
，则
，即
，所以
，故A 正确；
令
，则
，所以
，
令
，则
，所以
，则
，
所以函数周期为
，则
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
2. （多选）（23-24 高三上·河南许昌·模拟）已知函数
满足
，
且
，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为周期函数
D．
，使得
成立
【答案】BC
【分析】先令
，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令
，求出
，进而可判断AD；
（2）模型二：双曲余弦函数
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再令
，判断出函数的奇偶性，进而可判断B.
【详解】由
，
令
，则
，
则
，即
，
所以
，
所以函数
为周期函数，故C 正确；
令
，则
，解得
或
，
当
时，令
，则
，
所以
，故AD 错误；
所以
，其图象关于原点对称，是奇函数；
当
时，令
，则
，
所以
，所以函数
是偶函数，
所以
，
又因为
，所以
，
则
，所以函数
为奇函数，
综上所述，
为奇函数，故B 正确.
故选：BC.
3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在
上的函数
，满足
，
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．2 是函数
的一个周期
【答案】ABD
【分析】对A：借助赋值法，令
，计算即可得；对B：借助赋值法，令
，结合偶函数定义
即可得；对C：计算出
，其与
不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令
，结合
的值与周期函数的定义计算即可得.
【详解】对A：令
，则有
，又
，
故有
，故
，故A 正确；
对B：令
，则有
，又
，
故有
，即
，又其定义域为
，
故
为偶函数，故B 正确；
对C：令
，
，则有
，
故
，又
，不符合，故C 错误；
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对D：令
，则有
，
由
，故
，则
，故
，
两式作差并整理得
，故2 是函数
的一个周期，故D 正确.
故选：ABD.
4. （多选）（23-24 高三下·重庆·阶段练习）函数
的定义域为R，且满足
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的图象关于
对称
【答案】BC
【分析】
利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】
由题可知
令
，
，则
，
即
，可得
，故A 错；
令
，则
，即
，
又因为
，
，可得
，故B 正确；
令
，可得
，故C 正确；
若
的图象关于
对称，则函数
满足
，
而
，
，显然
，故D 错，
令
，可得
，
的图象关于
对称.
故选：BC.
43
