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4.1 三角函数的定义及同角三角函数
1
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2
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4
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考点一 任意角与弧度制
【例1-1】（2024 广东潮州）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．
B．第一象限的角是锐角
C．1 弧度的角比1°的角大
D．锐角是第一象限的角
【例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角
的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
上，则角
的取值集合是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 河南）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角
的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2023 春·青海）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差
D．终边相同的角的弧度都相同
3．（2024 江西·阶段练习）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
考点二 扇形的弧长与面积
【例2-1】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，
6
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体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各
项数据（图2）：
，若
，则璜身（即曲边四边形
）面
积近似为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1 的圆
与
轴相切于原点
，切点处有一个标志，该圆沿
轴向右滚动，当圆
滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为
)，标志位于点
处，圆
与
轴相切
于点
，则阴影部分的面积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【例2-3】（2023·天津河东·一模）在面积为4 的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4
B．
C．2
D．1
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等
发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派
砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．
图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环
，如图（2），砖雕厚度为6cm，
，
，
所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：
）（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
2．（2023·广西·模拟预测）如图，在扇形
中，C 是弦
的中点，D 在
上，
．其中
，
长为
．则
的长度约为（提示：
时，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段
与分别以
为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点
是线段
上的动点，点O 为线段
的中点，
点
在以
为直径的半圆弧上，且
均为直角.若
百米，则此步道的最大长度为
百米.
考点三 三角函数的定义
【例3-1】（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角
的顶点与原点重合，始边与
轴的非负半轴重
合，终边经过点
，则
（ ）
8
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A．
B．
C．－2
D．2
【例3-2】（2023·河南开封·统考三模）设α 是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且
，则
tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2024·重庆·模拟预测）已知角
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【例3-4】．（2024·云南昆明·模拟预测）已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆
相交于点
，将
的终边逆时针旋转
之后与圆
的交点为B，则点B 的横坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，且
为
终边上一点，
则
( )
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆
上一点
，现将点
绕圆心逆时针旋转
到点
，则点
的横坐标为（ ）
A．
B．
9
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C．
D．
3．（2024·全国·二模）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边点x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角
，角
的顶点均为坐标原点，始边均与
轴的非负半轴重合，终边分别过
，则
（ ）
A．
或
B．2 或
C．
D．
考点四 三角函数值正负判断
【例4-1】（2024 广东深圳）“
且
”是“
为第四象限角”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【例4-2】（2024 四川内江·期末）已知
，
，则
的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
【例4-3】（2024 湖北）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·吉林·模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2024·北京延庆·一模）“
”是“
为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024·重庆八中）（多选）已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
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，若
，则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 三角函数线的应用
【例5-1】（2024·全国·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2024 福建）已知点
在第一象限，则在
内的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 黑龙江）比较大小，正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2（2023·天津）设
，使
且
同时成立的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 云南）在平面直角坐标系中，
是圆
上的四段弧（如图），点P 在其中一
段上，角
以O𝑥为始边，OP 为终边，若
，则P 所在的圆弧是
A．
B．
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C．
D．
4．（2024 山东）函数y＝lg(2sinx－1)＋
的定义域为__________________.
考点六 同角三角函数简单运用
【例6-1】（2024 四川遂宁）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（2024 海南）已知角
为第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-3】．（2024 广西）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 河北）已知
，若
，则
的值为( ).
A．
B．
C．
D．
2．（2024 江苏）已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南常德）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七 弦的齐次
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【例7-1】（2024·河南）已知
，则
（ ）
A．
B．2
C．5
D．8
【例7-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1（2024 河南）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·宁夏）已知
，则
______．
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知
，则
．
考点八 弦的加减乘
【例8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知
则sin2
等于 （ ）
A．-
B．
C．-
D．
【例8-2】（2024·湖北荆州·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-3】（2024·辽宁沈阳·二模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南 ）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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2 ．（23-24 高三上· 安徽· 阶段练习）已知
是三角形的一个内角，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·浙江·开学考试）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 甘肃）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．3
一．单选题
1．（2024 贵州贵阳）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山东济南·三模）若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若
分别是
与
的等差中项和等比中项，
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则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 河北·统考模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6·（2024 陕西西安·模拟预测）已知角
的始边为
轴的非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
7．（2024·山西太原）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴
眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴
含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形
）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建
立如图2 的平面直角坐标系，设
.则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线
为终边的角的集合可以表示为
C．在以点
为圆心、
为半径的圆中，弦
所对的劣弧弧长为
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D．正八边形
的面积为
8．（2024 陕西西安·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024·广东佛山·一模）已知角
的终边过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·湖南·模拟预测）已知
，双曲线C：
，则（ ）
A．
可能是第一象限角
B．
可能是第四象限角
C．点
可能在C 上
D．点
可能在C 上
11．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与
轴的正半轴相交于点
，以
轴的非负半轴为始边作锐角
，
，
，它们的终边分别与单位圆相交于点
，
，
．若
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
的面积为
B．当
时，扇形
的面积为
C．当
时，四边形
的面积为
D．四边形
面积的最大值为1
三．填空题
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12．（2024·全国·模拟预测）已知角
的顶点为坐标原点，始边为
轴的非负半轴．若
是角
终边上一
点，且
，则
．
13．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点对称.
若
，则
的最大值为 ．
14．（2024·湖北鄂州·一模）曲线
所围成的封闭图形的面积为 ．
四．解答题
15．（2024 上海·专题练习）在平面直角坐标系
中，已知锐角
的终边与单位圆交点的纵坐标为
，锐角
的终边与单位圆交点的横坐标为
．
(1)求
和
的值；
(2)求
的值．
16．（2024 江苏）已知
和
是关于
方程
的两个实根．
(1)求实数
的值；
(2)若
，求
的值．
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17．（2024 辽宁大连·期中）已知函数
.
(1)若
是三角形的一个内角，
，求
的值；
(2)设函数
，若
在
时恒成立，求实数m 的取值范围.
18．（2024 北京）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除
白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分成
三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70 米，圆心角为
，动点P 在扇形的弧上，
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点Q 在OB 上，且
．
(1)求扇形空地AOB 的周长和面积；
(2)当
米时，求PQ 的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区
的面积尽可能的大．设
，求
面积
的最大值．
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系
中，利用公式
①（其中
，
，，
为常数），
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将点
变换为点
的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可
由
，
，，
组成的正方形数表
唯一确定，我们将
称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
，
，…表示．
(1)在平面直角坐标系
中，将点
绕原点
按逆时针旋转
得到点
（到原点距离不变），求点
的
坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系
中，将点
绕原点
按逆时针旋转
角得到点
（到原点距离不
变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量
（称为行向量形式），也可以写成
，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①
可以表示为：
，则称
是二阶矩阵
与向量
的乘积，设
是一个二阶矩阵，
，
是平面上的任意两个向量，求证：
．
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