１ ９０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
8.2 椭圆
学生用书P281
+ +L%' 1 ,' 2 +C. 0U]' 1 ' 2 ]U+%+DE
/ Y2 Z2
&% YDU 1(B C )
P55 B2 C2
+ /
Z2 Y2
&% ZDU 1(B C )
B2 C2
&% YD &% ZD
# Z " Z
2 2
Y ' 2
" ' 0 ' " # 0 # Y
1 1 2 2 1 ' 2
1
# 1 " 1
&% '(D,),'(D,) '(,D),'(,D)
1 2 1 2
"(B,),"(B,), "(,B),"(,B),
M% 1 2 1 2
+B # 1 (,C),# 2 (,C) # 1 (C,),# 2 (C,)
P55 JD JD3 "",]""] 2B,BJD+J
1 2 1 2
-D -D3 ##,]##] 2C,C-D+J
1 2 1 2
&C &C]''] 2D,D&C
1 2
8 ]Y]B,]Z]C ]Y]C,]Z]B
D C2
F 1( F 1),FBD1, B;FBD,
.( B B2
B
B,C,D
D2 B2C2
+2
(1)@1,",# %+ +%,"U#%%/,,31"
C2 B2
1#+(F ,L hL U&% YDU (&% ZD)
1" 1# B2 C2
(2)1 %,' +&%,]1'];B D,B D=, +%&%C.+
B D, B D
-@
2C2
(3) +EUD&% ,JD+UJ,E -+&%
B
(4 1 JD0%+%,',' +&%,4 C2etanU
1 2 1'1'2 2
'1'
1 2
(5 1 JD0%+%,',' +&%,1''+ J
1 2 1 2
2 B D
YY ZZ
-%. Y Z %UD%. ,+3/0 0
B2 C2
学生用书P282
题型 一 椭圆定义的应用
椭圆定义的应用主要有两种 一是判断点的轨迹并求解其
：
轨迹方程 二是根据定义进行计算 常结合正弦定理 余弦定理
； ， 、
解焦点三角形．
例1 已知圆Ｍ ：（ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝１６， 点Ａ是圆Ｍ内且不与圆心重 例2 已知椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ 的左 右焦点为Ｆ Ｆ Ｐ为椭圆
合的定点 点Ｐ是圆 Ｍ 上的动点 若线段 ＰＡ的中垂线与直线 ： ＋ ＝１ 、 １、 ２，
， ， ４ ３
ＰＭ交于点Ｑ 则点Ｑ的轨迹为 椭圆 ．
， Ｃ上一点 ＰＦ Ｆ π 则 ＰＦ Ｆ 的面积为 Ａ
解析 如图，连接 ＱＡ，则 ＱＡ ＱＰ ，所以 ＱＭ ＡＱ ，∠ １ ２＝ ３ ， △ １ ２ （ ）
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ｜ ｜＋｜ ｜ ＝
ＱＭ ＱＰ ＭＰ ＭＡ （提示：Ａ是圆Ｍ内且不与圆心重
｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＝４＞｜ ｜ Ａ． ３ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．２ ３
合的定点），故由椭圆的定义知点Ｑ的轨迹是以点Ａ，Ｍ为焦点 解析 由椭圆方程知ａ ，ｂ ，则ｃ ， Ｆ Ｆ ．
＝２ ＝ ３ ＝１ ｜ １ ２｜＝２
的椭圆． 设 ＰＦ ｘ，ｘ ，则 ＰＦ ｘ．（椭圆定义）
｜ １｜＝ ＞０ ｜ ２｜＝４－
专题八 平面解析几何 １ ９１
在 ＰＦ Ｆ 中， 由 余 弦 定 理 的 推 论 得 ＰＦ Ｆ
△ １ ２ ｃｏｓ∠ １ ２ ＝
｜
ＰＦ
１｜
２
＋｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
２
－｜
ＰＦ
２｜
２ ｘ２
＋４－
（
４－
ｘ）２
１ ，解得 ｘ ，即
ＰＦ · Ｆ Ｆ ＝ ｘ· ＝ ＝ ２
２｜ １｜ ｜ １ ２｜ ２ ２ ２
ＰＦ ，所以Ｓ １ ＰＦ · Ｆ Ｆ ＰＦ Ｆ １
｜ １｜＝２ △ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝ ｜ １｜ ｜ １ ２｜ｓｉｎ∠ １ ２＝ ×２×２
２ ２
过Ｍ作ＭＮ ｙ轴，垂足为Ｎ，则 ＰＮ ＮＱ ， ＭＮ ｃ，
３ ．故选 ⊥ ｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜＝
× ＝ ３ Ａ． ＰＭ，ＭＱ 均为半径， ＰＱＭ为等腰三角形， ＰＮ ＮＱ
２ ∵ ∴ △ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜
小题巧解 由椭圆方程知ａ ，ｂ ，则ｃ ．通过ａ、ｂ、ｃ之 (ｂ２ ) ２
＝２ ＝ ３ ＝１ ｃ２，
＝ ａ －
间的关系和 ＰＦ Ｆ π知Ｐ为椭圆的上（下）顶点，则Ｓ
∠ １ ２＝ ３ △ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝ ∴ ∠ ＰＭＱ为钝角（当等腰三角形为钝角三角形时，只有顶角为
钝角）， ＰＭＮ ＱＭＮ °，即 ＰＮ ＮＱ ＭＮ ｃ（大角
３ Ｆ Ｆ ２ ３ ． ∴ ∠ ＝∠ ＞４５ ｜ ｜＝｜ ｜＞｜ ｜＝
４ ｜ １ ２｜ ＝ ４ ×４＝ ３ 对大边），即 (ｂ２ ) ２ ｃ２ ｃ，亦即 ｂ４ ｃ２ ｃ２，得 （ａ２ － ｃ２）２ ｃ２，得
ａ － ＞ ａ２ － ＞ ａ２ ＞２
题型 二 椭圆的离心率或取值范围
ａ２ ｃ２ ａｃ，故有ｅ２ ｅ ，又ｅ ， ｅ ６－ ２．故选
/ /-B C E5!B D － ＞ ２ ＋ ２ －１＜０ ＞０ ∴０＜ ＜ Ｂ．
２
D
- +U5*F B,!? 创新知识交汇
- / ｘ２ ｙ２
例 （ 河南中原名校 月联考， ）已知由椭圆Ｃ
/ B C D+T 0 0 U ２０２４ ３ ８ １：ａ２ ＋ｂ２ ＝
- B D+T / 0 UE5
F+/ 0 E=!? ａ ｂ 与椭圆Ｃ ｘ２
ｙ２
的交点连线可构成矩形ＡＢＣＤ
１（ ＞ ＞１） ２： ＋ａ２ ＝１
ｙ２ ｘ２
例3 （ 广东广州一模， ）设Ｂ Ｆ 分别是椭圆Ｃ
２０２４ ５ ， ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝ 点Ａ Ｂ在ｘ轴下方 且ＢＣ ＣＤ 则ｂ２ ２ 的最小值为
（ ， ）， ＝３ ， ＋ａ２
１（
ａ
＞
ｂ
＞０）
的右顶点和上焦点
，
点Ｐ在Ｃ上
，
且Ｂ→Ｆ
２＝２
Ｆ→
２
Ｐ
，
则Ｃ
（ Ｄ ）
的离心率为 Ａ
（ ）
３ ５ １１
Ａ．２ ２ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ６５ １ ３ ２ ４ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析 如图所示，根据椭圆的对称性及 ＢＣ ＣＤ 可得直线
３ １３ ２ ２ ＝３
解析 由题意得Ｂ（ｂ， ），Ｆ（ ，ｃ）， ＡＣ的方程为ｙ ｘ，
０ ２ ０ ＝３
则Ｂ→Ｆ （ ｂ，ｃ）．设Ｐ（ｘ，ｙ），则Ｆ→Ｐ （ｘ，ｙ ｃ）． Z
２＝ － ２ ＝ －
% $
由Ｂ→Ｆ Ｆ→Ｐ得（ ｂ，ｃ） （ｘ，ｙ ｃ），
２＝２ ２ － ＝２ －
ì ｂ
ïｘ ，
{ ｂ ｘ， ï ＝－ ( ｂ ) 0 Y
则 － ＝２ 即í ２ 则Ｐ ，３ ｃ ，
ｃ ｙ ｃ， ï －
＝２ －２ ïｙ ３ ｃ， ２ ２ " #
î ＝
２
９ ｃ２
ｂ２ ì
ï
ｘ２ ｙ２
，
因为点Ｐ在Ｃ上，所以 ４ ４ ， ï ï ａ２ ＋ｂ２ ＝１
ａ２ ＋ｂ２ ＝１ 由í ｙ２ 可得 ８ ９ （把 ｙ ｘ 分别代入两个椭圆方
ïｘ２ ， ａ２ ＝ｂ２ －１ ＝３
９
ｃ２
３ ，
ｃ２
１ ，则ｅ
ｃ２
３．故选 ï ï
＋ａ２ ＝１
ａ２ ＝ ａ２ ＝ ＝ ａ２ ＝ Ａ． îｙ ｘ
４ ４ ３ ３ ＝３
ｘ２ ｙ２
例4 点Ｍ是椭圆
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（
ａ
＞
ｂ
＞０）
上的点
，
以Ｍ为圆心的圆 程，解出ｘ２，相等可得），则
ａ
２
２ ＝
９
ｂ２ －
１ ，所以ｂ２
＋ａ
２
２ ＝
ｂ２
＋
９
ｂ２ －
１
４ ４ ４ ４
与ｘ轴相切于椭圆的焦点Ｆ 圆Ｍ与ｙ轴相交于Ｐ Ｑ 若 ＰＱＭ
是钝角三角形
，
则椭圆离心率
，
的取值范围是
， ，
（
△
Ｂ
）
≥２
ｂ２·
４
９
ｂ２ －
４
１
＝
１
４
１，当且仅当 ｂ２
＝
４
９
ｂ２
，即 ｂ２
＝
２
３ 时等号成
æ ö
Ａ．（０，２－ ３） Ｂ．è
ç
０，
６－ ２
ø
÷ 立，则ｂ２
＋ａ
２
２
的最小值为１１．故选
Ｄ．
２ ４
æ ö 风向解读
ç ６－ ２ ÷
Ｃ．è
２
，１ø Ｄ．（２－ ３，１）
本题将解析几何与基本不等式结合，题目情境新颖，需要充
解析 不妨设Ｆ为右焦点，连接ＭＦ，
分挖掘几何关系并转化为直线方程才能顺利做出题目，充分
由圆Ｍ与ｘ轴相切于焦点Ｆ，得ＭＦ ｘ轴，则ｘ ｃ，则ｙ ｂ２ 体现了解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法”解决的
⊥ Ｍ＝ Ｍ＝ ａ
学科思想．与新高考倡导的“鼓励学生多角度主动思考、深入
ｂ２ ｂ２ ｂ２
或ｙ ，由对称性不妨取ｙ ，则圆的半径为 ． 探究”的思想不谋而合．
Ｍ＝－ ａ Ｍ＝ ａ ａ
１ ９２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
学生用书P114 解析 将Ａ Ｐ
(
３
)
代入椭圆方程
ｘ２ ｙ２
（１） （０，３）， ３， ａ２ ＋ｂ２ ＝１
２
１． 多想少算、回归教材 （ 新课标 ， ， 分，易）已知曲线
２０２４ Ⅱ ５ ５ ì ï９
Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１６（
ｙ
＞０），
从Ｃ上任意一点Ｐ向ｘ轴作垂线段ＰＰ′
， 得í
ïｂ２ ＝１，
解得
{ａ２
＝１２，
Ｐ′为垂足 则线段ＰＰ′的中点Ｍ的轨迹方程为 Ａ ï ｂ２
， （ ） ï９ ９ ＝９，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ îａ２ ＋ ｂ２ ＝１，
ｙ ｙ ４
Ａ． ＋ ＝１（ ＞０） Ｂ． ＋ ＝１（ ＞０）
１６ ４ １６ ８ ｂ２
所以椭圆的离心率ｅ １ ．
ｙ２ ｘ２
ｙ
ｙ２ ｘ２
ｙ
＝ １－ａ２ ＝
２
Ｃ． ＋ ＝１（ ＞０） Ｄ． ＋ ＝１（ ＞０）
１６ ４ １６ ８ 当直线ｌ的斜率不存在时 ｌ ｘ
（２） ，： ＝３，
ｘ２ ｙ２
２．（ 全国甲理， ， 分，中）设椭圆Ｃ ａ ｂ
２０２４ ２０ １２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 此时Ｓ △ ＡＢＰ＝ １ ×３×３＝ ９ ， 不符合题意．
２ ２
( )
的右焦点为Ｆ 点Ｍ ３ 在Ｃ上 且ＭＦ ｘ轴． 当直线ｌ的斜率存在时 设ｌ ｙ ｋ ｘ ３
， １， ， ⊥ ， ： ＝ （ －３）＋ ，
２ ２
求Ｃ的方程 ì
（１） ； ïｙ ｋ ｘ ３
过点Ｐ 的直线交Ｃ于Ａ Ｂ两点 Ｎ为线段ＦＰ的中 ï ＝ （ －３）＋ ，
（２） （４，０） ， ， 联立í ２
点 直线ＮＢ交直线ＭＦ于点Ｑ 证明 ＡＱ ｙ轴． ïｘ２ ｙ２
， ， ： ⊥ ï
解析 ＭＦ ｘ轴 且Ｍ在Ｃ上 î ＋ ＝１，
（１）∵ ⊥ ， ， １２ ９
ｃ
ｂ２
３ 结合ｃ２ ａ２ ｂ２ 解得ａ ｂ
消去ｙ整理得
（３＋４
ｋ２
）
ｘ２
＋（１２
ｋ
－２４
ｋ２
）
ｘ
＋３６
ｋ２
－３６
ｋ
－２７＝０，
∴ ＝１， ａ ＝ ， ＝ － ， ＝２， ＝ ３， 设Ｐ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
２ （ １， １）， （ ２， ２），
ｘ２ ｙ２ ｋ２ ｋ ｋ２ ｋ
Ｃ的方程为 ． 则ｘ ｘ ２４ －１２ ｘ ｘ ３６ －３６ －２７
∴
４
＋
３
＝１ １＋ ２＝
３＋４
ｋ２ ， １ ２＝
３＋４
ｋ２ ，
证明 当直线ＡＢ与ｘ轴重合时显然符合题意． ｋ
（２） ： ＢＰ ｋ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ｋ２ ６｜２ ＋３｜
当直线不与 ｘ 轴重合时 设直线 ＡＢ 的方程为 ｘ ｔｙ ∴ ｜ ｜＝ １＋ · （ １＋ ２） －４ １ ２ ＝ １＋ · ｋ２ ，
， ＝ ＋４， ３＋４
Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
（ １， １）， （ ２， ２）， ３ ｋ
{ｘ ｔｙ ＋３
＝ ＋４， 又点Ａ到直线ｌ的距离ｄ ２
联立 ｘ２ ｙ２ 消去ｘ得
（４＋３
ｔ２
）
ｙ２
＋２４
ｔｙ
＋３６＝０，
＝
１＋
ｋ２ ，
＋ ＝１，
４ ３ ３ ｋ
由 由根 Δ ＝ 与 （ 系 ２４ 数 ｔ ） 的 ２ － 关 ４× 系 （４ 得 ＋３ ｙ ｔ２ ） ｙ ×３６＝ －２ １ ４ ４ ｔ ４（ ｙ ｔ２ － ｙ ４）＞ ３ ０ ６ ， 得ｔ２ ＞４， ∴ Ｓ △ ＡＢＰ＝ ２ １ ｜ ＢＰ ｜· ｄ ＝ ２ １ × １＋ ｋ２ · ６ ３ ｜２ ＋ ｋ ４ ＋ ｋ ３ ２ ｜ · ２ １ ＋ ＋ ｋ ３ ２ ＝９，
１＋ ２＝ ｔ２， １ ２＝ ｔ２，
４＋３ ４＋３ 解得ｋ １ 或ｋ ３
( ) ＝ ＝ ，
Ｎ为ＦＰ的中点 Ｎ ５ ２ ２
∵ ，∴ ，０ ，
２ 直线ｌ的方程为ｙ １ ｘ或ｙ ３ ｘ ．
∴ ＝ ＝ －３
ｙ ( ) ２ ２
直线ＮＢ的方程为ｙ ２ ｘ ５
∴ ＝ － ，
ｘ ５ ２ 考点 1 椭圆的定义和标准方程 学生用书P114
２－
２
令ｘ ＝１， 解得ｙ Ｑ＝－ ( ３ ｙ ２ )， １．（ ２０２１ 新高考 Ⅰ ， ５ ， ５ 分，中）已知Ｆ １， Ｆ ２ 是椭圆Ｃ ： ｘ ９ ２ ＋ ｙ ４ ２ ＝１
ｘ ５
２ ２－
２
的两个焦点
，
点Ｍ在Ｃ上
，
则
｜
ＭＦ
１｜·｜
ＭＦ
２｜
的最大值为
ｙ ｘ ｙ ｙ ｙ ｔｙ ｙ ｙ ｙ Ｃ
ｙ ｙ ｙ ３ ２ ２ ２ １－５ １＋３ ２ ２ １ ２＋３（ １＋ ２） （ ）
∴ １－ Ｑ＝ １＋ ( ) ＝ ( ) ＝ ( ) ，
ｘ ５ ｘ ５ ｘ ５ Ａ．１３ Ｂ．１２ Ｃ．９ Ｄ．６
２ ２－ ２ ２－ ２ ２－ ｘ２
２ ２ ２ ２．（ 全国甲文， ， 分，中）设Ｆ Ｆ 为椭圆Ｃ ｙ２ 的
ｔ ２０２３ ７ ５ １， ２ ： ＋ ＝１
ｔｙ ｙ ｙ ｙ ｔ ３６ －２４ ５
∵２ １ ２＋３（ １＋ ２）＝２· ４＋３ ｔ２ ＋３· ４＋３ ｔ２ ＝０， 两个焦点 ， 点Ｐ在Ｃ上 ， 若Ｐ→Ｆ １· Ｐ→Ｆ ２＝０， 则 ｜ ＰＦ １｜·｜ ＰＦ ２｜＝
ｙ ｙ 即ＡＱ ｙ轴．
∴ １＝ Ｑ， ⊥
（
Ｂ
）
综上 ＡＱ ｙ轴．
， ⊥ ． ． ． ．
Ａ１ Ｂ２ Ｃ４ Ｄ５
( )
３．（
２０２４
新课标
Ⅰ
，
１６
，
１５
分，中）已知Ａ
（０，３）
和Ｐ
３，
３ 为椭 ３．（
２０２１
全国乙文，
１１
，
５
分，中）设Ｂ是椭圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
的上
２ ５
ｘ２ ｙ２ 顶点 点Ｐ在Ｃ上 则 ＰＢ 的最大值为 Ａ
圆Ｃ ａ ｂ 上两点． ， ， ｜ ｜ （ ）
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
５
求Ｃ的离心率 Ａ． Ｂ． ６ Ｃ． ５ Ｄ．２
（１） ； ２
若过Ｐ的直线ｌ交Ｃ于另一点Ｂ 且 ＡＢＰ的面积为 求 ｘ２ ｙ２
（２） ， △ ９， ４．（ 全国甲文， ， 分，中）已知椭圆Ｃ ａ ｂ
ｌ的方程． ２０２２ １１ ５ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
专题八 平面解析几何 １ ９３
的右焦点Ｆ与抛物线Ｃ 的焦点重合 Ｃ 的中心与Ｃ 的顶
的离心率为 １ Ａ Ａ 分别为Ｃ的左 右顶点 Ｂ为Ｃ的上顶 ０） ２ ， １ ２
， １， ２ 、 ， 点重合．过Ｆ且与ｘ轴垂直的直线交Ｃ 于Ａ Ｂ两点 交Ｃ 于
３ １ ， ， ２
点．若Ｂ→Ａ Ｂ→Ａ 则Ｃ的方程为 Ｂ
１· ２＝－１， （ ） Ｃ
，
Ｄ两点
，
且
｜
ＣＤ
｜＝
４
｜
ＡＢ
｜
．
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ３
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１ 求Ｃ 的离心率
１８ １６ ９ ８ （１） １ ；
ｘ２ ｙ２ ｘ２
ｙ２ （２）
设Ｍ是Ｃ
１
与Ｃ
２
的公共点．若
｜
ＭＦ
｜＝５，
求Ｃ
１
与Ｃ
２
的标
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１ 准方程．
３ ２ ２
５．（ 全国甲理， ， 分，中）设Ｏ为坐标原点 Ｆ Ｆ 为椭圆 解析 由已知可设 Ｃ 的方程为 ｙ２ ｃｘ 其中
２０２３ １２ ５ ， １， ２ （１） ２ ＝ ４ ，
Ｃ ：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１ 的两个焦点 ， 点Ｐ 在 Ｃ 上 ，ｃｏｓ∠ Ｆ １ ＰＦ ２＝ ３ ， 则 ｃ ＝ ａ２ － ｂ２．
９ ６ ５ ｂ２
ＯＰ Ｂ 不妨设Ａ Ｃ在第一象限 由题设得Ａ Ｂ的纵坐标分别为
｜ ｜＝ （ ） ， ， ， ａ ，
１３ ３０ １４ ３５
ｂ２
Ｃ Ｄ的纵坐标分别为 ｃ ｃ 故 ＡＢ ２
ｂ２
ＣＤ ｃ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． － ａ ； ， ２ ，－２ ， ｜ ｜＝ ａ ，｜ ｜＝４
５ ２ ５ ２
６．（ 北京， ， 分，中）已知椭圆Ｅ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的 由 ＣＤ ４ ＡＢ 得 ｃ ８ ｂ２ 即 ｃ ( ｃ ) ２ ．解得 ｃ
２０２２ １９ １５ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ｜ ｜＝ ｜ ｜ ４ ＝ ａ， ３× ａ ＝２－２ ａ ａ ＝
３ ３
一个顶点为Ａ 焦距为 ． ｃ
（０，１）， ２ ３ 舍去 或 １ ．
求椭圆Ｅ的方程 －２（ ） ａ ＝
（１） ； ２
过点Ｐ 作斜率为ｋ的直线与椭圆Ｅ交于不同的两
（２） （－２，１） 所以Ｃ 的离心率为 １ ．
点Ｂ Ｃ 直线ＡＢ ＡＣ分别与ｘ轴交于点Ｍ Ｎ．当 ＭＮ 时 １ ２
， ， ， ， ｜ ｜＝２ ，
求ｋ的值． 由 知ａ ｃ ｂ ｃ 故Ｃ ｘ２ ｙ２ ．
（２） （１） ＝２ ， ＝ ３ ， １： ｃ２ ＋ ｃ２ ＝１
解析 由题意得ｂ ｃ 则ａ ２ ２ 所 ４ ３
（１） ＝１， ＝ ３， ＝ １ ＋（ ３） ＝２， ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｘ
以椭圆Ｅ的方程为
ｘ２
ｙ２ ．
设Ｍ
（
ｘ
０，
ｙ
０），
则
ｃ
０
２ ＋ ｃ
０
２ ＝１，
ｙ２
０＝４
ｃｘ
０，
故
ｃ
０
２ ＋
４
ｃ
０
＝１
．
①
＋ ＝１ ４ ３ ４ ３
４ 由于Ｃ 的准线为ｘ ｃ 所以 ＭＦ ｘ ｃ 而 ＭＦ 故ｘ
过点 Ｐ 且斜率为 ｋ 的直线方程为 ｙ ｋ ｘ ２ ＝－ ， ｜ ｜＝ ０＋ ， ｜ ｜＝５， ０＝
（ 设 ２） Ｂ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｃ
（
ｘ
２，
ｙ
２）， {ｙ ｋ ｘ
－１ ＝ （ ＋２），
５－
ｃ
，
代入
①
得（５
４
－
ｃ
ｃ
２
） ２
＋
４（５
３
－
ｃ
ｃ ）
＝１，
即ｃ２
－２
ｃ
－３＝０，
解得ｃ
＝－１
－１＝ （ ＋２）， 舍去 或ｃ ．
联立直线和椭圆Ｅ的方程得 ｘ
４
２
＋
ｙ２
＝１，
可得 （１＋４ ｋ２ ）· （
所以Ｃ
）
１
的标
＝
准
３
方程为
ｘ２
＋
ｙ２
＝１，
Ｃ
２
的标准方程为ｙ２
＝１２
ｘ．
ｘ２ ｋ２ ｋ ｘ ｋ２ ｋ 由 Δ 可得 ｋ２ ｋ ２ ３６ ２７
＋（１６ ＋８ ） ＋１６ ＋１６ ＝０， ＞０ （１６ ＋８ ） － 考点 2 椭圆的几何性质 学生用书P116
ｋ２ ｋ２ ｋ 解得ｋ
４（１＋４ ）·（１６ ＋１６ ）＞０， ＜０，
根据根与系数的关系可得ｘ
１＋
ｘ
２＝
－１
１
６
＋
ｋ
４
２
ｋ
－
２
８
ｋ
，
ｘ
１
ｘ
２＝
１６
１
ｋ
＋
２
４
＋
ｋ
１
２
６
ｋ
． １．（
２０２３
新课标
Ⅰ
，
５
，
５
分，易）设椭圆Ｃ
１：ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ２
＝１（
ａ
＞１），
Ｃ
２：
直线ＡＢ的斜率ｋ
ＡＢ＝
ｙ
１
ｘ
－１
，
则直线ＡＢ的方程为ｙ
＝
（
ｙ
１
ｘ
－１）
ｘ
＋
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
的离心率分别为ｅ
１，
ｅ
２
．若ｅ
２＝ ３
ｅ
１，
则ａ
＝ （
Ａ
）
１ １ ４
ｘ
１， 令ｙ ＝０， 可得点Ｍ的横坐标ｘ Ｍ＝ １ ｙ ， Ａ． ２ ３ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ６
１－ １ ３
同理可得点Ｎ的横坐标ｘ Ｎ＝
ｘ
２ ｙ ， ２．（ ２０２３ 新课标 Ⅱ ， ５ ， ５ 分，中）已知椭圆Ｃ ：
ｘ２
＋ ｙ２ ＝１ 的左 、 右焦
１－ ２ ３
ｘ ｘ ｘ ｘ 点分别为Ｆ Ｆ 直线ｙ ｘ ｍ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 若 Ｆ ＡＢ
则 ｜ ＭＮ ｜＝ １－ １ ｙ １ － １－ ２ ｙ ２ ＝ － ｋ （ ｘ １ １ ＋２） － － ｋ （ ｘ ２ ２ ＋２） 面积是 △ Ｆ ２ １ Ａ ， Ｂ ２ 面 ， 积的 ２ ＝ 倍 ＋ ， 则ｍ ＝ ， ， （ △ Ｃ １ ）
æ ｘ ｘ ö ｘ ｘ ｘ ｘ
１ ç ２ １ ÷ １ ２（ １＋２）－ １（ ２＋２）
＝ ｋ èｘ －ｘ ø ＝ ｋ · ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ２ ２ ２
２＋２ １＋２ １ ２＋２（ １＋ ２）＋４ Ａ． ３ Ｂ． ３ Ｃ．－ ３ Ｄ．－ ３
＝ １ ｋ · ２ ｘ １ ｘ （ ２ ｘ ＋ １ ２ ＋ （ ｘ ｘ ２ １ ） ＋ ２ ｘ － ２ ４ ） ｘ ＋ １ ｘ ４ ２ ＝２ ． ３．（ ２０２２ 全国甲理， １０ ， ５ 分，中）椭圆Ｃ ：ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的左
æ ç－１６ ｋ２ －８ ｋö ÷ ２ １６ ｋ２ ＋１６ ｋ 顶点为Ａ ， 点Ｐ ， Ｑ均在Ｃ上 ， 且关于ｙ轴对称．若直线ＡＰ ， ＡＱ
所以 １
２ è
１＋４
ｋ２ ø －４·
１＋４
ｋ２
的斜率之积为 １ 则Ｃ的离心率为 Ａ
ｋ ·
１６
ｋ２
＋１６
ｋ
－１６
ｋ２
－８
ｋ ＝２，
４
， （ ）
ｋ２ ＋２· ｋ２ ＋４
１＋４ １＋４ ３ ２ １ １
ｋ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
化简可得 － １ 解得ｋ ２ ２ ２ ３
ｋ ＝ ， ＝－４， ｘ２ ｙ２
２ ４．（ 全国乙理， ， 分，难）设Ｂ是椭圆Ｃ ａ ｂ
故ｋ的值为 ． ２０２１ １１ ５ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞
－４
ｘ２ ｙ２ 的上顶点 若Ｃ上的任意一点Ｐ都满足 ＰＢ ｂ 则Ｃ的
７．（ 课标 理， ， 分，中）已知椭圆Ｃ ａ ｂ ０） ， ｜ ｜≤２ ，
２０２０ Ⅱ １９ １２ １：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞ 离心率的取值范围是 Ｃ
（ ）
１ ９４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
é ö [ ) ｘ２ ｙ２
êê ２ ÷ １ ７．（ 浙江， ， 分，中）已知椭圆 ａ ｂ 焦点
Ａ．ë ，１ø Ｂ． ，１ ２０２１ １６ ６ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０），
２ ２
æ ù ( ] ( ) ２
Ｃ．è ç ０， ２ ２ û úú Ｄ． ０， １ ２ Ｆ １（－ ｃ ，０）， Ｆ ２（ ｃ ，０）（ ｃ ＞０） ．若过Ｆ １ 的直线和圆 ｘ － ２ １ ｃ ＋ ｙ２ ＝
５．（ 新高考 ， ， 分，中）已知直线ｌ与椭圆 ｘ２ ｙ２ 在
ｃ２ 相切
，
与椭圆在第一象限交于点Ｐ
，
且ＰＦ
２⊥
ｘ轴
，
则该直线
２０２２ Ⅱ １６ ５ ＋ ＝１
６ ３ 的斜率是 ２ ５ 椭圆的离心率是 ５ ．
第一象限交于Ａ Ｂ两点 ｌ与ｘ轴 ｙ轴分别交于Ｍ Ｎ两点 且 ，
， ， 、 ， ， ５ ５
ＭＡ ＮＢ ＭＮ 则ｌ的方程为 ｘ ｙ ． ８．（ 新高考 ， ， 分，难）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
｜ ｜＝｜ ｜，｜ ｜＝２ ３， ＋ ２ －２ ２＝０
ｘ２
２０２２ Ⅰ １６ ５ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞
６．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，中）已知Ｆ Ｆ 为椭圆Ｃ
２０２１ １６ １５ ５ １， ２ ： １６ Ｃ的上顶点为Ａ 两个焦点为Ｆ Ｆ 离心率为 １ ．过Ｆ 且
ｙ２ ０）， ， １， ２， ２ １
＋ ４ ＝１ 的两个焦点 ， Ｐ ， Ｑ为Ｃ上关于坐标原点对称的两点 ， 垂直于ＡＦ ２ 的直线与Ｃ交于Ｄ ， Ｅ两点 ，｜ ＤＥ ｜＝６， 则 △ ＡＤＥ的
且 ＰＱ Ｆ Ｆ 则四边形ＰＦ ＱＦ 的面积为 ． 周长是 ．
｜ ｜＝｜ １ ２｜， １ ２ ８ １３
学生用书P117
１５
Ａ． １５ Ｂ．
ｘ２ ｙ２ ２
１．（ 辽宁辽阳一模， ）若 Ｐ 为椭圆 Ｃ 上一点
２０２４ １ ： ＋ ＝１ ，
１２１ ９６ Ｃ．３ ７ Ｄ．４ １５
Ｆ Ｆ 为Ｃ的两个焦点 且 ＰＦ 则 ＰＦ Ｃ ７．（多选）（ 湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师
１， ２ ， ｜ ２｜＝８， ｜ １｜＝ （ ） ２０２４
ｘ２ ｙ２
Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１４ Ｄ．１６ 大附中联考， ）设椭圆Ｃ 的左 右焦点分别为Ｆ
２．（
２０２４
湖北七市州
３
月调研，
４
）已知椭圆Ｃ
：
ｘ
ｍ
２
＋
ｙ２
＝１，
则
“
ｍ
Ｆ Ｐ是Ｃ上
９
的动点 则下
：
列
２５
结
＋ １
论
６
正
＝１
确的是
、
ＡＣ
１、
２， ， （ ）
＝２” 是 “ 椭圆Ｃ的离心率为 ２ ” 的 （ Ａ ） Ａ． 椭圆Ｃ的离心率ｅ ＝ ３
５
２
充分不必要条件 ＰＦ ＰＦ
Ａ． Ｂ．｜ １｜＋｜ ２｜＝５
必要不充分条件 ＰＦ Ｆ 面积的最大值为
Ｂ． Ｃ．△ １ ２ １２
充要条件
Ｃ． ＰＦ 的最小值为１６
既不充分也不必要条件
Ｄ．｜ １｜
５
Ｄ．
３．（ 东北三省三校一模， ）已知平面直角坐标系ｘＯｙ中 椭 ８．（多选）（ 黑龙江双鸭山二模， ）已知椭圆 Ｃ
ｘ２ ｙ２
２０２４ ４ ， ２０２４ ９ ： ＋ ＝１
ｘ２ ｙ２ ４ ３
圆Ｃ ａ ｂ 的左顶点和上顶点分别为Ａ Ｂ 过椭 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 上顶点为Ｐ 若过Ｆ 且倾斜角为
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ， 、 １， ２， ， １
°的直线ｌ交椭圆Ｃ于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢＤ
圆Ｃ左焦点Ｆ且平行于直线ＡＢ的直线交ｙ轴于点Ｄ．若Ｏ→Ｄ ３０ ， ， （ ）
＝
Ｃ的离心率为 １
Ｄ→Ｂ 则椭圆Ｃ的离心率为 Ｄ Ａ．
２ ， （ ） ２
Ａ．
１
Ｂ．
３
Ｃ．
１
Ｄ．
２ Ｂ．
Ｐ→Ｆ
１·
Ｐ→Ｆ
２＝２
２ ２ ３ ３ 点Ｆ 到直线ｌ的距离为
ｘ２ ｙ２ Ｃ． ２ ３
４．（ 广东一模， ）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 右 ＰＡＢ的周长为
２０２４ ６ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 Ｄ．△ ８
９．（多选）（ 湖南长沙联考， ）某彗星的运行轨道是以太阳
焦点分别为Ｆ Ｆ Ｐ为椭圆Ｃ上一点 且 ＰＦ ＰＦ 则 ２０２４ １０
１、 ２， ， ｜ １｜＝４｜ ２｜， 为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点 距离太阳最近的点
椭圆Ｃ的离心率的取值范围是 Ｄ （ ）
（ ） 与太阳中心的距离为ｄ 远日点 距离太阳最远的点 与太阳
[ ) [ ) [ ) [ ) １， （ ）
１ ２ ２ ３ ２ ３ 中心的距离为ｄ 并且近日点 远日点及太阳中心在同一条直
Ａ．
５
，
５
Ｂ．
５
，
５
Ｃ．
５
，１ Ｄ．
５
，１ ２， 、
线上 则 ＢＣ
５．（ 贵州六校联盟联考（三）， ）已知椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ， （ ）
２０２４ ８ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
Ａ．
轨道的焦距为ｄ
２＋
ｄ
１
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过点Ｆ 的直线ｌ与椭圆Ｃ交 ｄ ｄ
＞０） 、 １， ２， ２ 轨道的离心率为 ２－ １
于Ｐ Ｑ两点 若 Ｆ Ｑ Ｆ Ｐ Ｆ Ｑ 则该椭圆 Ｂ． ｄ ｄ
， ， ｜ ２ ｜ ∶ ｜ １ ｜ ∶ ｜ １ ｜＝１ ∶ ３ ∶ ５， ２＋ １
的离心率为 Ａ 轨道的短轴长为 ｄ ｄ
（ ） Ｃ． ２ １ ２
ｄ
２ ２ ３ ３ 当 １越大时 轨道越扁
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｄ． ｄ ，
２ ３ ２ ３ ２
６．（ 湖南长沙雅礼中学月考八， ）已知点Ｏ为坐标原点 椭 １０．（ 山东青岛一模， ）已知Ｏ为坐标原点 点Ｆ 为椭圆
２０２４ ７ ， ２０２４ １３ ，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
圆 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ在椭圆上 设线 Ｃ ａ ｂ 的右焦点 点Ａ Ｂ在Ｃ上 ＡＢ的中点
＋ ＝１ 、 １， ２， ， ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ， ，
９ ５
段ＰＦ 的中点为Ｍ 且 ＯＦ ＯＭ 则 ＰＦ Ｆ 的面积为
１ ， ｜ ２｜＝｜ ｜， △ １ ２ 为Ｆ ＯＡ ＯＢ 则Ｃ的离心率为 ５－１ ．
Ａ ， ⊥ ，
（ ） ２
专题八 平面解析几何 １ ９５
ｘ２ ｙ２ 的左 右顶点分别为Ａ Ｂ 左焦点为Ｆ Ｍ为Ｃ上异于Ａ Ｂ的
１１．（ 山东潍坊、滨州一模， ）已知椭圆Ｅ ａ ｂ １ 、 ， ， ， ，
２０２４ １６ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ 一点 过点Ｍ且垂直于ｘ轴的直线与Ｃ的另一个交点为Ｎ 交
， ，
点Ａ Ｃ分别是Ｅ的左 上顶点 ＡＣ 且Ｅ的焦距 ｘ轴于点Ｔ 则 ＢＣＤ
＞０）， ， 、 ，｜ ｜＝ ５， ， （ ）
为 ． Ａ． 存在点Ｍ ， 使 ∠ ＡＭＢ ＝１２０ °
２ ３
求Ｅ的方程和离心率 →ＴＡ →ＴＢ Ｔ→Ｍ Ｔ→Ｎ
（１） ； Ｂ． · ＝２ ·
过点 且斜率不为零的直线交椭圆于Ｒ Ｓ两点 设
（２） （１，０） ， ， Ｆ→Ｍ Ｆ→Ｎ的最小值为 ４
直线ＲＳ ＣＲ ＣＳ的斜率分别为 ｋ ｋ ｋ 若 ｋ ｋ ．求 ｋ Ｃ． · －
， ， ， １， ２， １＋ ２＝－３ ３
的值． ＦＭＮ周长的最大值为
Ｄ．△ ８
解析 因为 ＡＣ 所以ａ２ ｂ２ 分 ４．（ 山西晋城二模， ）已知椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的
（１） ｜ ｜＝ ５， ＋ ＝５， （２ ） ２０２４ １４ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
又因为焦距为 所以ａ２ ｂ２ 分
２ ３， － ＝３， （４ ） 左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 且
解得ａ２ ｂ２ ． 分 、 １， ２， ２ ， ，
＝４， ＝１ （５ ）
ｘ２ ＡＦ ＡＢ 若 ＯＡＦ 的面积为 ３ｂ２ 其中Ｏ为坐标原点
所以椭圆Ｅ的方程为 ｙ２ 离心率ｅ ３． 分 ｜ １｜＝｜ ｜， △ １ ， ，
＋ ＝１， ＝ （７ ） ６
４ ２
ＡＢ
由 知 Ｃ 设 Ｒ ｘ ｙ Ｓ ｘ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ 则 ｜ ｜ 的值为 ２ ３ ．
（２） （１） （０，１）， （ １， １）， （ ２， ２）， １≠ ２， １ ２ Ｆ Ｆ
｜ １ ２｜ ３
≠０，
ｙ ｙ ５．（ 河北唐山一模， ）已知椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
所以ｋ
１＝
１
ｘ
－１
，
ｋ
２＝
２
ｘ
－１
， （８
分
）
２０２４ １４ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
１ ２ 左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线交Ｅ于Ａ Ｂ两点 Ｃ
由题意知直线ＲＳ ： ｙ ＝ ｋ （ ｘ －１）（ ｋ ≠±１）， 、 １， ２， ２ ， ， （０，
代入
ｘ２
ｙ２ 得 ｋ２ ｘ２ ｋ２ｘ ｋ２ －１）
是线段 ＢＦ
１
的中点
，
且→ＡＢ
·
→ＡＣ
＝
→ＡＣ２
，
则 Ｅ 的方程为
＋ ＝１ （４ ＋１） －８ ＋４ －４＝０， ｘ２ ｙ２
４ ．
ｋ２ ｋ２ ＋ ＝１
则有ｘ ｘ ８ ｘ ｘ ４ －４． 分 ９ ６
１＋ ２＝ ｋ２ ， １ ２＝ ｋ２ （１０ ） ６．（ 湖南师大附中二模， ）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已
４ ＋１ ４ ＋１ ２０２４ １７ ，
因为ｋ
１＋
ｋ
２＝－３， 知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右顶点为 离心率为 ３ Ｐ
所 以 ｋ ｋ
ｙ
１－１
ｙ
２－１
ｘ
２
ｙ
１－
ｘ
２＋
ｘ
１
ｙ
２－
ｘ
１
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） （２，０），
２
，
１ ＋ ２ ＝ ｘ ＋ ｘ ＝ ｘ ｘ ＝ 是直线ｘ 上任一点 过点Ｍ 且与ＰＭ垂直的直线交
１ ２ １ ２ ＝４ ， （１，０）
ｋｘ ｘ ｋ ｘ ｘ 椭圆于Ａ Ｂ两点．
２ １ ２－（ ＋１）（ １＋ ２） ，
ｘ ｘ ＝－３， 求椭圆的方程
１ ２ （１） ；
即 （２ ｋ ＋３） ｘ １ ｘ ２－（ ｋ ＋１）（ ｘ １＋ ｘ ２）＝０， （２） 设直线ＰＡ ， ＰＭ ， ＰＢ的斜率分别为ｋ １， ｋ ２， ｋ ３， 问 ： 是否存在
ｋ２ ｋ２ 常数λ 使得ｋ ｋ λｋ 若存在 求出λ的值 若不存在 说
所以
（２
ｋ
＋３）
４
４ ｋ２
－
＋
４
１ －（
ｋ
＋１） ４ ｋ
８
２ ＋１ ＝０， 明理由
，
．
１＋ ３＝ ２？ ， ； ，
整理得ｋ２ ｋ ． 分
－２ －３＝０ （１４ ） ｃ
又ｋ 所以ｋ ． 解析 由题意知ａ ｅ ３ ｃ
≠±１， ＝３ （１） ＝２， ＝ ａ ＝ ，∴ ＝ ３，
２
故ｋ的值为 ． 分
３ （１５ ） ｂ２ ａ２ ｃ２
∴ ＝ － ＝１，
学生用书P118 ｘ２
椭圆的方程为 ｙ２ ． 分
∴ ＋ ＝１ （５ ）
１．（ 山东淄博一模， ）已知Ｆ Ｆ 是椭圆和双曲线的公共 ４
２０２４ ８ １， ２ 设存在常数λ 使得ｋ ｋ λｋ ．
焦点 ， Ｐ ， Ｑ 是它们的两个公共点 ， 且 Ｐ ， Ｑ 关于原点对称 ， （２） ， １＋ ３＝ ２
当直线ＡＢ的斜率不存在时 其方程为ｘ 分
， ＝１， （７ ）
ＰＦ Ｑ ２π 若椭圆的离心率为ｅ 双曲线的离心率为ｅ 则
∠ ２ ＝ ， １， ２， æ ö æ ö
３ 代入椭圆方程得Ａç ３÷ Ｂç ３÷ 此时Ｐ 可得ｋ
ｅ２
１ ３
ｅ２
２ 的最小值是 Ａ
è１，
２
ø， è１，－
２
ø， （４，０）， １
ｅ２
１＋１
＋ｅ２
２＋３
（ ）
＋
ｋ
３＝０＝
ｋ
２；
当直线ＡＢ的斜率存在时 设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋ ｘ ｋ
， ＝ （ －１），
２＋ ３ １＋ ３ ２ ３ ４ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
３ ３ ３ ３ ≠０， （ １， １）， （ ２， ２），
２．（多选）（ 安徽阜阳一模， ）已知Ｏ为坐标原点 椭圆Ｃ 将直线方程代入椭圆方程得 ｋ２ ｘ２ ｋ２ｘ ｋ２
２０２４ １０ ， ： （１＋４ ） －８ ＋４ －４＝０，
ｘ２ ｙ２ 分
的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ ．Ａ Ｂ两点都在Ｃ上 Ａ （９ ）
＋ ＝１ 、 １， ２ ， ， ， ｋ２ ｋ２
６ ２ ｘ ｘ ８ ｘ ｘ ４ －４． 分
Ｏ Ｂ三点共线 Ｐ 不与Ａ Ｂ重合 为上顶点 则 ＢＣＤ ∴ １＋ ２＝ ｋ２， １ ２＝ ｋ２ （１０ ）
， ， （ ， ） ， （ ） １＋４ １＋４
ＡＢ 的最小值为 Ｐ是直线ｘ 上任一点 过点Ｍ 且与ＰＭ垂直的直线
Ａ．｜ ｜ ４ ∵ ＝４ ， （１，０）
ＡＦ ＢＦ 为定值 交椭圆于Ａ Ｂ两点
Ｂ．｜ １｜＋｜ １｜ ， ，
存在点Ａ 使得ＡＦ ＡＦ ( )
Ｃ． ， １⊥ ２ 直线ＰＭ的方程为ｙ １ ｘ Ｐ ３ 分
∴ ＝－ ｋ （ －１），∴ ４，－ ｋ ， （１１ ）
ｋ ｋ １
Ｄ． ＰＡ· ＰＢ＝－
３ ｙ ３ ｙ ３ ｙ ３
３．（多选）（ 安徽合肥第一次质检， ）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ｋ １ ｋ
１＋ ｋ
ｋ
２＋ ｋ
ｋ ｋ λｋ
１＋ ｋ
２０２４ １１ ： ＋ ＝ ２＝－ ｋ ， １ ＝ ｘ ， ３ ＝ ｘ ，∵ １＋ ３ ＝ ２，∴ ｘ ＋
４ ２ １－４ ２－４ １－４
１ ９６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
消去ｙ整理得 ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｘ ｘ ｙ２
ｙ ｘ ２＋ ３ ｋ ＝ ｋ ［２ ｘ １ ｘ ２－５ ｘ （ ｘ ｘ １＋ ｘ ２） ｘ ＋８ ｘ ］＋ ３ ｋ （ ｘ １＋ ｘ ２－８） ＝ λ ( － １ ｋ ) ， 因为ｘ２ ０＋ ｙ２ ０＝４， （ 所 ０ 以 ＋２ Δ ０ ＝ ） ６４ － ｘ ８ ２ ０－ ０ ４（ ＋ ｘ １ ２ ０ ６ ＋ － ２ ８ ｙ２ ０） ０＝ （１ ０ ６ ， －８ ｙ２ ０）＝３２ ｙ４ ０＞０ ．
２－４ １ ２－４（ １＋ ２）＋１６ 因为Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
ｋ２ ｋ２ λ
（ １， １）， （ ２， ２），
将ｘ ｘ ８ ｘ ｘ ４ －４代入上式 并化简得 ２ ｘ ｘ ｙ２
１＋ ２＝ ｋ２， １ ２＝ ｋ２ ， － ｋ ＝－ ｋ ， 所以ｘ ｘ ８ ０ ８ ０ ｘ ｘ １６－８ ０
１＋４ １＋４ １＋ ２＝ｘ２ ｙ２ ＝ｙ２ ， １ ２＝ ｙ２ ，
解得λ ． ０＋２ ０ ０＋４ ０＋４
＝２
７． 综 （ 上 ， 存 安 在 徽 常 皖 数 江 λ 名 ＝ 校 ２， 联 使 盟 得 联 ｋ １ 考 ＋ ｋ ， ３＝ λ ） ｋ 已 ２ ． 知点Ｐ在椭圆 （ Ｃ １５ ｘ 分 ２ ） 所 以 ｜ ＡＢ ｜ ＝ æ è ç １＋ ４ ｘ ｙ ２ ０ ２ ０ ö ø ÷ ［（ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －４ ｘ １ ｘ ２］ ＝
２０２４ １８ ： ＋ ｙ２ ｙ４ ｙ ｙ２
４ ４＋３ ０ ３２ ０ ２｜ ０｜ ２（４＋３ ０）
ｙ２ ＝１ 的外部 ， 过点Ｐ作Ｃ的两条切线 ， 切点分别为Ａ ， Ｂ． ４ ｙ２ ０ · （ ｙ２ ０＋４） ２ ＝ ｙ２ ０＋４ ，
２ ｘ２ ｙ２ ｙ２
ｘ ｘ ｙ ｙ 又点Ｐ到直线ＡＢ的距离ｄ ｜ ０＋２ ０－４｜ ０
＝ ＝ ，
若点Ａ坐标为 ｘ ｙ 求证 直线ＰＡ的方程为 １ １ ｘ２ ｙ２ ｙ２
（１）① （ １， １）， ： ＋ ０＋４ ０ ４＋３ ０
４ ２
ｙ ３
＝１； 所以 ＰＡＢ的面积Ｓ １ ＡＢ ｄ ２｜ ０｜ ｙ
若点Ｐ的坐标为 ｘ ｙ 求证 直线ＡＢ的方程为
ｘ
０
ｘ ｙ
０
ｙ
△ ＝
２
｜ ｜ ＝ ｙ２
０＋４
（ ０≠０），
② （ ０， ０）， ： ＋ ｙ３
４ ２ 当 ｙ 时 令ｆ ｙ ２ ０
． ０＜ ０≤２ ， （ ０）＝ｙ２ ，
＝１ ０＋４
（２ 解 ） 若 析 点 Ｐ （１ 在 ） 证 圆 明 ｘ２ ： ＋ ① ｙ２ 当 ＝４ Ｐ 上 Ａ ， 的 求 { 斜 △ ｙ 率 Ｐ ｙ Ａ 存 Ｂ 在 ｋ 面 时 ｘ 积 ， ｘ 的 ｙ １ 最 ≠ 大 ０， 值 设 ． 直线ＰＡ 所以ｆ ′ （ ｙ ０）＝ ２ （ （ ｙ ｙ ２ ０ ４ ０ ＋ ＋ ４ １ ） ２ ２ ｙ２ ０） ＞０，
的方程为ｙ － ｙ １＝ ｋ （ ｘ － ｘ １）， 联立 ｘ
－
２
１
ｙ
＝
２
（ － １）， 故ｆ （ ｙ ０） 在 （０，２］ 上单调递增 ， 所以 ｆ （ ｙ ０） 的最大值为ｆ （２）
＋ ＝１， ＝ ２，
４ ２ 由对称性可知当 ｙ 时 ｆ ｙ 的最大值也为 ．
消去ｙ整理得
（１＋２
ｋ２
）
ｘ２
＋４
ｋ
（
ｙ
１－
ｋｘ
１）
ｘ
＋２（
ｙ
１－
ｋｘ
１）
２
－４＝０，
－２≤ ０＜０ ， （ ０） ２
由已知得Δ ＝１６ ｋ２ （ ｙ １－ ｋｘ １） ２ －４（１＋２ ｋ２ ）［２（ ｙ １－ ｋｘ １） ２ －４］＝０， 故 △ ＰＡＢ面积的最大值为 ２ ．
化简得
（４－
ｘ２
１）
ｋ２
＋２
ｘ
１
ｙ
１
ｋ
＋２－
ｙ２
１＝０
．
学生用书P119
因为ｘ２ ｙ２ 所以 ｙ２ｋ２ ｘ ｙ ｋ ｘ２
１＋２ １＝４， ４ １ ＋４ １ １ ＋ １＝０， １． 创新知识交汇 （ 福建泉州质量检测三， ）已知圆锥ＳＯ
ｘ ２０２４ ３
即 ｙ ｋ ｘ ２ 所以ｋ １ 的轴截面是边长为 的正三角形 过其底面圆周上一点Ａ作
（２ １ ＋ １） ＝０， ＝－ ｙ ， ２ ，
２ １ 平面α 若α截圆锥ＳＯ得到的截口曲线为椭圆 则该椭圆的
ｘ ， ，
则直线ＰＡ的方程为ｙ ｙ １ ｘ ｘ 即ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ２ ｙ２ 长轴长的最小值为 Ｃ
－ １＝－ ｙ （ － １）， １ ＋２ １ ＝ １＋２ １， （ ）
２ １
ｘ ｘ ｙ ｙ
则ｘ ｘ ｙ ｙ 故直线ＰＡ的方程为 １ １ ３
１ ＋２ １ ＝４， ４ ＋ ２ ＝１， Ａ． ２ Ｂ．１ Ｃ． ３ Ｄ．２
当ＰＡ的斜率不存在时 ｙ 直线ＰＡ的方程为ｘ 或ｘ ２． 创新考法 （ 浙江杭州二模， ）机场为旅客提供的圆
， １＝０， ＝２ ＝ ２０２４ １４
满足上式． 锥形纸杯如图所示 该纸杯母线长为 开口直径为 ．
－２， ， １２ ｃｍ， ８ ｃｍ
ｘ ｘ ｙ ｙ 旅客使用纸杯喝水时 当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过
综上 直线ＰＡ的方程为 １ １ ． ，
， ＋ ＝１
４ ２
ｘ ｘ ｙ ｙ 母线中点时 椭圆的离心率等于 ３ １７ ．
，
设Ｂ ｘ ｙ 由 知 直线ＰＢ的方程为 ２ ２ ． １７
② （ ２， ２）， ① ， ＋ ＝１
４ ２
ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ
１ ０ １ ０ ２ ０ ２ ０
＋ ＝１， ＋ ＝１，
４ ２ ４ ２ !L
ｘ ｘ ｙ ｙ
则Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 两点都在直线 ０ ０ 上
（ １， １）， （ ２， ２） ＋ ＝１ ，
４ ２
ｘ ｘ ｙ ｙ
由于两点确定一条直线 所以直线ＡＢ的方程为 ０ ０ ．
， ＋ ＝１
４ ２
ｘ ｘ ｙ ｙ
由 知直线ＡＢ的方程为 ０ ０ 由题意知ｙ
（２） （１）② ＋ ＝１， ０≠０，
４ ２
ìｘ ｘ ｙ ｙ
ï
０ ０
ï ＋ ＝１，
联立í ４ ２
ïｘ２ ｙ２
ï
î ＋ ＝１，
４ ２
