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2019 年福建省龙岩市永定县金丰片区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4 分，共40 分）
1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
晴
B．
浮尘C．
大雨D．
大雪
2．2017 年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳
步提升．全市地区生产总值达到280000 亿元，将280000 用科学记数法表示为（ ）
A．280×103
B．28×104
C．2.8×105
D．0.28×106
3．下列计算正确的是（ ）
A．x2﹣3x2＝﹣2x4
B．（﹣3x2）2＝6x2
C．x2y•2x3＝2x6y
D．6x3y2÷（3x）＝2x2y2
4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1 的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
5．一次函数y＝x﹣2 的图象经过点（ ）
A．（﹣2，0）
B．（0，0）
C．（0，2）
D．（0，﹣2）
6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD 的正切值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在△ABC 中，已知∠A、∠B 都是锐角，|sinA﹣
|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C 的度数为（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
8．一个布袋内只装有1 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅
匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E、F 分别为PB、PC 的中点，△PEF、△PDC、△PAB 的
面积分别为S、S1、S2，若S＝2，则S1+S2＝（ ）
A．4
B．6
C．8
D．不能确定
10．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝
．点P 是斜边AB 上一个动点．过点P 作
PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ 的面积为y，则y 与x 之间的函数
图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（每小题4 分，共24 分）
11．3 的算术平方根是 ．
12．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
13．如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为 ．
14．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几
何？”
译文：“假设有5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两．问每头牛、每只羊各值金多
少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．
15．如图，一等腰三角形，底边长是18 厘米，底边上的高是18 厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度
均为3 厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
16．如图，已知在Rt△ABC 中，AB＝AC＝3
，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF
的中点P，连接PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点Q，在△QHI
内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014 个内接正方形的边长为 ．
三．解答题（共9 小题）
17．解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
18．先化简，再求值：（2﹣
）÷
，其中x＝2．
19．如图，在等边三角形ABC 中，点D，E 分别在BC，AB 上，且∠ADE＝60°．
求证：△ADC∽△DEB．
20．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，求此圆锥侧面展开图的圆心角．
21．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10 月份的14000 元/m2下降到12 月份的11340
元/m2．
（1）求11、12 两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2 月份该市的商品房成交均价是否会跌
破10000 元/m2？请说明理由．
22．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让
同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分
同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 人；
（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50 人食用一
餐．据此估算，该校18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
23．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M，经过B，M 两点
的⊙O 交BC 于点G，交AB 于点F，FB 为⊙O 的直径．
（1）求证：AM 是⊙O 的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝
时，求⊙O 的半径．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m 与抛物线交于点A，B，若△AMB 为等腰
直角三角形，我们把抛物线上A，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准
蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB 中点N，连结MN，MN 与AB 的关系是 ．
（2）抛物线y＝
对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ ，对应的碟宽AB 是 ．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣
（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB 为锐角，若有，请求出yp的取值
范围．若没有，请说明理由．
25．已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长度为m，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点．
（1）如图①，若m＝5，则∠C 的度数为 °；
（2）如图②，若m＝6．
①求∠C 的正切值；
②若△ABC 为等腰三角形，求△ABC 面积．
2019 年福建省龙岩市永定县金丰片区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共40 分）
1．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
晴
B．
浮尘C．
大雨
D．
大雪
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．
2．2017 年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳
步提升．全市地区生产总值达到280000 亿元，将280000 用科学记数法表示为（ ）
A．280×103
B．28×104
C．2.8×105
D．0.28×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把
原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，
n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将280000 用科学记数法表示为2.8×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．x2﹣3x2＝﹣2x4
B．（﹣3x2）2＝6x2
C．x2y•2x3＝2x6y
D．6x3y2÷（3x）＝2x2y2
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法逐一计算可得．
【解答】解：A、x2﹣3x2＝﹣2x2，此选项错误；
B、（﹣3x2）2＝9x4，此选项错误；
C、x2y•2x3＝2x5y，此选项错误；
D、6x3y2÷（3x）＝2x2y2，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单
项式的乘除法法则．
4．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1 的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．
【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
5．一次函数y＝x﹣2 的图象经过点（ ）
A．（﹣2，0）
B．（0，0）
C．（0，2）
D．（0，﹣2）
【分析】分别把x＝0，y＝0 代入解析式y＝x﹣2 即可求得对应的y，x 的值．
【解答】解：当x＝0 时，y＝﹣2；
当y＝0 时，x＝2，
因此一次函数y＝x﹣2 的图象经过点（0，﹣2）、（2，0）．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的
解析式．
6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD 的正切值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可
得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A 的正切值，即为tan∠ACD 的值．
【解答】解：∵CD 是AB 边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A＝
，
∴tan∠ACD 的值
．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边
对等角的性质，求出∠A＝∠ACD 是解本题的关键．
7．在△ABC 中，已知∠A、∠B 都是锐角，|sinA﹣
|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C 的度数为（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA＝
，tanB＝1，进而得出∠A＝30°，∠B
＝45°，即可得出答案．
【解答】解：∵|sinA﹣
|+（1﹣tanB）2＝0，
∴|sinA﹣
|＝0，（1﹣tanB）2＝0，
∴sinA＝
，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C 的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方的性质，正确得出sinA＝
，tanB＝1 是解
题关键．
8．一个布袋内只装有1 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅
匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：列表得：
黑
白
白
黑
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
∵共9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1 种，
∴两次摸出的球都是黑球的概率为
，
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等
于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．
9．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E、F 分别为PB、PC 的中点，△PEF、△PDC、△PAB 的
面积分别为S、S1、S2，若S＝2，则S1+S2＝（ ）
A．4
B．6
C．8
D．不能确定
【分析】过P 作PQ 平行于DC，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB，可得出四边形PQCD 与
ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由
EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC，得出△PEF 与
△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积＝△CPQ 面积
+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
【解答】解：过P 作PQ∥DC 交BC 于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，
∵EF 为△PCB 的中位线，
∴EF∥BC，EF＝
BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝2，
∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝8．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与
性质是解本题的关键．
10．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝
．点P 是斜边AB 上一个动点．过点P 作
PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ 的面积为y，则y 与x 之间的函数
图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分点Q 在AC 上和BC 上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q 在AC 上时，
∵tanA＝
，AP＝x，
∴PQ＝
x，
∴y＝
×AP×PQ＝
×x×
x＝
x2；
当点Q 在BC 上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝10，tanA＝
，
∴BP＝10﹣x，PQ＝2BP＝20﹣2x，
∴y＝
•AP•PQ＝
×x×（20﹣2x）＝﹣x2+10x，
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当Q 点在C 时，x
＝8，y＝16．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q 在BC 上这种情况．
二．填空题（每小题4 分，共24 分）
11．3 的算术平方根是
．
【分析】根据开平方的意义，可得算术平方根．
【解答】解：3 的算术平方根是
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．
12．分解因式：x3﹣2x2+x＝
x （
x ﹣
1 ）
2
．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
13．如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为 （
1 ，
） ．
【分析】过B 作BD⊥OA 于D，则∠BDO＝90°，根据等边三角形性质求出OD，根据勾股定理求出
BD，即可得出答案．
【解答】解：
过B 作BD⊥OA 于D，则∠BDO＝90°，
∵△OAB 是等边三角形，
∴OD＝AD＝
OA＝
＝1，
在Rt△BDO 中，由勾股定理得：BD＝
＝
，
∴点B 的坐标为（1，
），
故答案为：（1，
）．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形性质和勾股定理等知识点，能正确作出辅助线
是解此题的关键．
14．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几
何？”
译文：“假设有5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两．问每头牛、每只羊各值金多
少两？”
设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为
．
【分析】根据“假设有5 头牛、2 只羊，值金10 两；2 头牛、5 只羊，值金8 两”，得到等量关系，即可
列出方程组．
【解答】解：根据题意得：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等
量关系．
15．如图，一等腰三角形，底边长是18 厘米，底边上的高是18 厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度
均为3 厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第
5
个．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则
，解得x＝3，
所以另一段长为18﹣3＝15，
因为15÷3＝5，所以是第5 张．
故答案为：5
【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的
性质的综合运用解答．
16．如图，已知在Rt△ABC 中，AB＝AC＝3
，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF
的中点P，连接PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点Q，在△QHI
内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014 个内接正方形的边长为
．
【分析】首先根据勾股定理得出BC 的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE 的长，再利用锐
角三角函数的关系得出
，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，AB＝AC＝
，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝
，
∵在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG；
∴EF＝EC＝DG＝BD，
∴DE＝
BC
∴DE＝2，
∵取GF 的中点P，连接PD、PE，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点Q，
在△QHI 内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴
，
∴EI＝
KI＝
HI，
∵DH＝EI，
∴HI＝
DE＝
，
则第n 个内接正方形的边长为：2×
，
∴则第2014 个内接正方形的边长为2×
＝2×
＝
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形
边长的变化规律是解题关键．
三．解答题（共9 小题）
17．解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x﹣2）≥x﹣4，得：x≥1，
解不等式
＞x﹣1，得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
18．先化简，再求值：（2﹣
）÷
，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答
本题．
【解答】解：（2﹣
）÷
＝
＝
＝
＝
，
当x＝2 时，原式＝
．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
19．如图，在等边三角形ABC 中，点D，E 分别在BC，AB 上，且∠ADE＝60°．
求证：△ADC∽△DEB．
【分析】依据△ABC 是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据∠CAD＝∠BDE，即可判定
△ADC∽△DEB．
【解答】证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠BDE+60°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识．解题时注意：有两组角
对应相等的两个三角形相似．
20．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，求此圆锥侧面展开图的圆心角．
【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图
的角度，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
＝6π，
解得n＝180，
答：此圆锥侧面展开图的圆心角是180°．
【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
21．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10 月份的14000 元/m2下降到12 月份的11340
元/m2．
（1）求11、12 两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2 月份该市的商品房成交均价是否会跌
破10000 元/m2？请说明理由．
【分析】（1）设11、12 两月平均每月降价的百分率是x，那么4 月份的房价为14000（1﹣x），12 月份
的房价为14000（1﹣x）2，然后根据12 月份的11340 元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年2 月份商品房成交均价，然后和10000 元/m2进行比较即可作
出判断．
【解答】解：（1）设11、12 两月平均每月降价的百分率是x，
则11 月份的成交价是：14000（1﹣x），
12 月份的成交价是：14000（1﹣x）2
∴14000（1﹣x）2＝11340，
∴（1﹣x）2＝0.81，
∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：11、12 两月平均每月降价的百分率是10%；
（2）会跌破10000 元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2 月份该市的商品房成交均价为：
11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9185.4＜10000．
由此可知今年2 月份该市的商品房成交均价会跌破10000 元/m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的
数量关系，然后列出方程是解题的关键．
22．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让
同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分
同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有
1000
人；
（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50 人食用一
餐．据此估算，该校18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．
【分析】（1）用不剩的人数除以其所占的百分比即可；
（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50 人用一餐，再根据全校的总人数是
18000 人，列式计算即可．
【解答】解：（1）这次被调查的学生共有600÷60%＝1000 人，
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数为1000﹣（600+150+50）＝200 人，
补全条形图如下：
（3）
，
答：估计该校18000 名学生一餐浪费的食物可供900 人食用一餐．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反
映部分占总体的百分比大小．
23．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M，经过B，M 两点
的⊙O 交BC 于点G，交AB 于点F，FB 为⊙O 的直径．
（1）求证：AM 是⊙O 的切线；
（2）当BE＝3，cosC＝
时，求⊙O 的半径．
【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE 是BC 边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM 是
⊙O 的切线．
（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝
＝
，可知：AC＝
EC＝
，易证
△AOM∽△ABE，所以
，再证明cos∠AOM＝cosC＝
，所以AO＝
，从而可求出OM
＝
【解答】解：（1）连结OM．
∵BM 平分∠ABC
∴∠1＝∠2 又OM＝OB
∴∠2＝∠3
∴OM∥BC
∵AE 是BC 边上的高线
∴AE⊥BC，
∴AM⊥OM
∴AM 是⊙O 的切线
（2）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，
∴E 是BC 中点
∴EC＝BE＝3
∵cosC＝
＝
∴AC＝
EC＝
∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE
∴△AOM∽△ABE
∴
又∵∠ABC＝∠C
∴∠AOM＝∠C
在Rt△AOM 中
cos∠AOM＝cosC＝
，
∴
∴AO＝
AB＝
+OB＝
而AB＝AC＝
∴
＝
∴OM＝
∴⊙O 的半径是
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性
质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m 与抛物线交于点A，B，若△AMB 为等腰
直角三角形，我们把抛物线上A，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准
蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．
（1）由定义知，取AB 中点N，连结MN，MN 与AB 的关系是
MN
⊥
AB
，
MN
＝
AB
．
（2）抛物线y＝
对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝
2
，对应的碟宽AB 是
4
．
（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣
（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB 为锐角，若有，请求出yp的取值
范围．若没有，请说明理由．
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m 的值，即可得出AB 的值；
（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；
②根据y＝
x2﹣3 的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．
【解答】解：（1）MN 与AB 的关系是：MN⊥AB，MN＝
AB，
如图1，∵△AMB 是等腰直角三角形，且N 为AB 的中点，
∴MN⊥AB，MN＝
AB，
故答案为：MN⊥AB，MN＝
AB；
（2）∵抛物线y＝
对应的准蝶形必经过B（m，m），
∴m＝
m2，
解得：m＝2 或m＝0（不合题意舍去），
当m＝2 则，2＝
x2，
解得：x＝±2，
则AB＝2+2＝4；
故答案为：2，4；
（3）①由已知，抛物线对称轴为：y 轴，
∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣
（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．
∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣
（a＞0），
得，9a﹣4a﹣
＝0，
解得：a＝
，
∴抛物线的解析式是：y＝
x2﹣3；
②由①知，如图2，y＝
x2﹣3 的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3 或yp＞3．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性
质是解题关键．
25．已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长度为m，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点．
（1）如图①，若m＝5，则∠C 的度数为
30
°；
（2）如图②，若m＝6．
①求∠C 的正切值；
②若△ABC 为等腰三角形，求△ABC 面积．
【分析】（1）连接OA，OB，判断出△AOB 是等边三角形，即可得出结论；
（2）①先求出AD＝10，再用勾股定理求出BD＝8，进而求出tan∠ADB，即可得出结论；
②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【解答】解（1）如图1，连接OB，OA，
∴OB＝OC＝5，
∵AB＝m＝5，
∴OB＝OC＝AB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝
∠AOB＝30°，
故答案为30；
（2）①如图2，连接AO 并延长交⊙O 于D，连接BD，
∵AD 为⊙O 的直径，
∴AD＝10，∠ABD＝90°，
在Rt△ABD 中，AB＝m＝6，根据勾股定理得，BD＝8，
∴tan∠ADB＝
＝
，
∵∠C＝∠ADB，
∴∠C 的正切值为
；
②Ⅰ、当AC＝BC 时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E，
∵AC＝BC，AO＝BO，
∴CE 为AB 的垂直平分线，
∴AE＝BE＝3，
在Rt△AEO 中，OA＝5，根据勾股定理得，OE＝4，
∴CE＝OE+OC＝9，
∴S△ABC＝
AB×CE＝
×6×9＝27；
Ⅱ、当AC＝AB＝6 时，如图4，
连接OA 交BC 于F，
∵AC＝AB，OC＝OB，
∴AO 是BC 的垂直平分线，
过点O 作OG⊥AB 于G，
∴∠AOG＝
∠AOB，AG＝
AB＝3，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACF＝∠AOG，
在Rt△AOG 中，sin∠AOG＝
＝
，
∴sin∠ACF＝
，
在Rt△ACF 中，sin∠ACF＝
，
∴AF＝
AC＝
，
∴CF＝
，
∴S△ABC＝
AF×BC＝
×
×
＝
；
Ⅲ、当BA＝BC＝6 时，如图5，由对称性知，S△ABC＝
．
【点评】此题是圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的
面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
