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2025 学年第一学期八年级数学学科阶段测试
一、选择题（每题2 分，共12 分）
1. 下列各数：
、
、
、
、
、
，其中无理数有（ ）
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解
有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：
，
等；开不尽方的数；以及像
0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求立方根．
【详解】解：
是无理数；
是无理数；
是分数，属于有理数；
是无理数；
是整数，属于有理数；
是小数，属于有理数；
故无理数有3 个：
、
、
，
故选：B．
2. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A.
（a、b、c 是实数）
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
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【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程叫做一元二次方程”，由此问题可求解．
【详解】解：A、当
时，则
就不是一元二次方程，故不符合题意；
B、把
化简为
，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、
含分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、
是一元二次方程，故符合题意．
故选D．
3. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、
，不符合题意；
B、
，不符合题意；
C、
，不符合题意；
D、
，符合题意，
故选：D．
4. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体
会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3 亿元，若以后每天
票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达
亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解．
【详解】解：由题意得：第二天的票房为
亿元，第三天的票房为
亿元，
∴
故选：D．
5. 已知a、b、c 是三角形三边的长，则关于x 的一元二次方程
的实数根的情况是
（ ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根；
C. 没有实数根
D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系可知
，可知一元二次方程根的情况．
【详解】解：
，
∵a、b、c 是三角形三边的长，
∴
，
∴
，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关
系是解题的关键．
6. 设x、y、z 是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则
的值是（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 条件不足，无法计算
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【答案】A
【解析】
【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z 是两两不等的实数，即可求得：x 为0，y 与z
互为相反数，据此即可求得代数式的值．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，
由
可得
，由
可得
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z 的
关系是求解本题的关键．
二、填空题（每题2 分，共24 分）
7. 16 的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方根的定义，若一个数
满足
，则
称为
的平方根，据此找出平方等于
的数即
可．
【详解】解：
，
的平方根是
．
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8. 当x________时，
在实数范围内有意义．
【答案】
且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由二次根式有意义的条件以及分式有意
义的条件得出
且
，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
在实数范围内有意义，
∴
且
，
解得：
且
，
故当
且
时，
在实数范围内有意义，
故答案为：
且
．
9. 等式
成立的条件是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，因此
需保证每个根号下的表达式均大于等于零，由此计算即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题
的关键．
【详解】解：要使
有意义，需
，即
；
要使
有意义，需
，即
，
当
且
时，
，因此等式成立，
故答案为：
．
10. 比较大小（用“
”、“
”、“
”连接）：
________
．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，通过比较两个负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小，即
可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
11. 方程
的解为________．
【答案】
，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法计算即可得解，选择合适的方法进行计算是解此题
的关键．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
或
，
解得
，
，
故答案为：
，
．
12. 化简：
________．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由于
，为确保被开方数非负，需
；然后将
分解为
，利用二次根式的性质进行化简即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
13. 在如图所示的数轴上，点B 与点C 到点A 的距离相等，A、B 两点对应的实数分别是1，
，则点
C 对应的实数是______．
【答案】
##
【解析】
【分析】设点C 所对应的实数是x，点B 与点C 到点A 的距离相等可列方程，求解即可．
【详解】解：设点C 表示实数x，
∵点B 与点C 到点A 的距离相等
由此可得
，解得
，故C 点对应的实数是
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x 的方程是解答此题的关键．
14. 不等式：
的解集为________．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，通过移项将不等式化为
，由于
，除以负数时不等号方向改变，得到
，再进行分母有理化即可求解，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∵
，除以负数，不等号方向改变，
∴
，
化简分母
，
有理化分母
，
即
，
故
的解集为
，
故答案为：
．
15. 在实数范围内因式分解：
=_________________
【答案】2（x-
）（x-
）．
【解析】
【分析】运用求根公式解得对应方程2x2-5x+1=0 的解，再分解因式．
【详解】∵
=0,a=2,b=-5,c=1,
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∴
=0 的根为
,
即x1=
，x2=
，
∴2x2-5x+1=2（x-
）（x-
）．
故答案为2（x-
）（x-
）．
【点睛】此题考查公式法分解因式．解题关键在于熟练运用求根公式解得对应方程的解．
16. 已知关于x 的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0 有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m 的值
为_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】由根与系数的关系可知x1+x2＝3，将其代入到x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6 求得x2＝﹣1，代回方
程中即可求得m 的值．
【详解】由题意知x1+x2＝3，
∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，
∴3﹣3x2＝6，
解得：x2＝﹣1，
代入到方程中，得：1+3+2m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了方程解的概念，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键.若x1，x2是一
元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
.
17. 有若干支球队参加篮球比赛，共比赛了45 场，每两队之间都比赛一场，则有________支球队．
【答案】10
【解析】
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【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有
支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为
，根据总场数45 列出方程求解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设共有
支球队，则每两队之间比赛一场，共比赛场数为
，
根据题意，有
，
方程两边同时乘以2，得
，
整理得
，
因式分解得
，
解得
或
，
由于球队数量为正整数，
故
，
故答案为：10．
18. 若a、b、c、d 为互不相等的实数，且满足
，
，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求立方根，由条件可知，
和
是关于
的二次方
程
的两个根，根据根与系数的关系，可得
，再计算立方根即可，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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【详解】解：∵a、b、c、d 为互不相等的实数，且满足
，
，
∴
和
是关于
的二次方程
的两个根，
即
和
是关于
的二次方程
的两个根，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
三、计算题（每题5 分，共30 分）
19. 计算题
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）
；
（2）
或
．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
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（）根据分母有理化，二次根式的性质，零指数幂分别运算，然后合并即可；
（
）先确定
，然后根据立方根，二次根式的性质进行化简，然后通过二次根式乘法进行求解即可．
【小问1 详解】
解：
；
【小问2 详解】
解：
．
20. 解方程
（1）
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（2）
（3）用配方法解方程
．
（4）
（m，n 为常数）；
【答案】（1）
，
（2）
，
（3）
，
（4）
或
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握算理是解决问题的关键．
（1）用直接开方法解答即可；
（2）先化为一元二次方程的一般形式，然后用因式分解法解方程即可；
（3）用配方法解方程即可；
（4）用公式法解方程即可．
【小问1 详解】
解：
，
；
【小问2 详解】
解：
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，
；
【小问3 详解】
解：
，
【小问4 详解】
解：
，
四、解答题（21-22 每题6 分，23-24 每题7 分，25 题8 分，共34 分）
21. 已知
，求
的值．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据二次根式有意义的条件求出
，从
而得出
，将所求式子进行化简，最后代入
、
的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的
关键．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
22. 已知一元二次方程
．
（1）若方程的一个根为
，求a 的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）把
代入方程求出a 即可．
（2）由题意可得
，根据不等式即可解决问题．
【小问1 详解】
解：把
代入
得：
，
解得
；
【小问2 详解】
解：∵方程有实数根，
∴
且
，即
且
，
解得：
且
，
∴满足条件的正整数a 的值为
．
23. 某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100 米），用170 米长的建筑材料围成一个
长方形仓库，
（1）如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500 平方米，求与墙垂直的边
的长；
（2）为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在
与墙平行的边
上，每个仓库预留出1 个长度为2 米的门（如图2），长方形
面积扩大到2000 平
方米，若能，求与墙垂直的边
的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）与墙垂直的边
的长为
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（2）
解：不能，理由如下：
设与墙垂直的边
的长为
，则与墙平行的边
的长为
，
由题意可得
，
整理可得：
，
∵
，
∴原方程没有实数根，
∴不能使长方形
面积扩大到2000 平方米．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的
关键．
（1）设与墙垂直的边
的长为
，则与墙平行的边
的长为
，根据“长方形仓库占地
面积为1500 平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解；
（2）设与墙垂直的边
的长为
，则与墙平行的边
的长为
，根据“长方形
面积扩大到2000 平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解．
【小问1 详解】
解：设与墙垂直的边
的长为
，则与墙平行的边
的长为
，
由题意可得：
，
解得：
，
，
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，符合题意；
∴与墙垂直的边
的长为
；
【小问2 详解】
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略
24. 已知
是一元二次方程
的两个实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若实数k 为整数，且满足
的值也为整数，求k 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式为非负数，且二次项系数不为零，据此求解即
可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得
，再根据
为整数，可得
或
或
，最后结合
即可解答．
【小问1 详解】
解：∵一元二次方程
有两个实数根，
，
∴
，
解得：
；
【小问2 详解】
解：∵
是一元二次方程
的两个实数根
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，
的值为整数，
或
或
，
，
或
或
．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式， 根与系数的关系，分式的混合运算，数的整除，
掌握相关知识是解决问题的关键．
25. 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以
的求解为例，说明用几
何法解一元二次方程的过程：
分析：由于
，因此
．如图（1）所示分别以x 和
为两边构造一个长方
形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是
的小正方形和两个面积是
的小长方
形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6 的小正方形，面积
为36．
通过以上图形变化上将一个面积为64 的长方形和一个面积为36 的小正方形切拼成了一个面积为
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，且边长是
的正方形．
显然该正方形的边长为10，故
，得
．
注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．
请根据上述材料解决以下问题：
（1）用几何方法求方程
的正数根．具体过程如下：
①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度
②根据①中所画图形求出方程
的正数根．（填空）
通过以上图形变化上将一个面积为32 的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为
________，且边长是________的正方形．
显然该正方形的边长为________，故________，得
________．
（2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程
的正数根．
类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形：
需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块；
需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块．
请直接写出方程
的一个正数根；
________．
【答案】（1）
①根据题意作图如下：
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，
②，
，
，
，
，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键．
（1）①根据题意画出图形即可；②根据所画图形并结合题意解答即可；
（2）由
可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中
的几何体
块；需要准备图（6）中的几何体
块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的
几何体块，因此
，由此求解即可．
【小问1 详解】
解：①略
②根据①中所画图形求出方程
的正数根．（填空）
通过以上图形变化上将一个面积为32 的长方形和四个面积为的小正方形切拼成了一个面积为
，且边长是
的正方形．
显然该正方形的边长为
，故
，得
；
【小问2 详解】
解：
，
故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体
块；需要准备图（6）中的几何体
块，
拼成的立体图形如图所示：
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，
故需要准备图（7）中的几何体块，
因此
，
故方程
的一个正数根为
．
