文档文本内容
第1页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
2026 年上海市初中学业水平考试
数学试卷
（考试时间100 分钟，满分150 分）
（试卷共5 页，答题纸共2 页）
一、选择题（本大题共6 小题，每小题4 分，满分24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 下列选项中，是无理数的是( )
A. 5
7
B. 4
C.
2
D.
9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理
数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称．
【详解】解：选项A，5
7
是分数，属于有理数，
选项B，4 是整数，属于有理数，
选项C，2 是无限不循环小数，是无理数，
选项D，9
3
=
，3是整数，属于有理数．
2. 下列选项中，与
2
2a bc 是同类项的是（ ）
A.
2
ab c
B.
2
a bc
C. 2abc
D.
2
2ab c
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项
即可．
【详解】解：A、
2
2a bc 与
2
ab c 中字母,a b 的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
B、符合同类项的定义，故选项符合题意；
C、
2
2a bc 与2abc 中字母a 的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；
第2页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
D、
2
2a bc 与
2
2ab c 中字母,a b 的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意．
3. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A.
2
2
0
x
x
−
=
B.
2
2
0
x −
=
C.
2
2
0
x
x
+
=
D.
2
2
0
x +
=
【答案】D
【解析】
【分析】对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，当判别式
2
Δ
4
0
b
ac
=
−
时，方程没有实数根，计
算各选项的判别式即可判断．
【详解】解：对于一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
，判别式为
2
Δ
4
b
ac
=
−
．
选项A：方程为
2
2
0
x
x
−
=
，
1,
2,
0
a
b
c
−
=
=
=
，
2
Δ
( 2)
4 1 0
4
0
= −
−=
，方程有两个不相等的实数根．
选项B：方程为
2
2
0
x −
=
，
1,
0,
2
a
b
c
−
=
=
=
，
(
)
2
Δ
0
4 1
2
8
0
=
−−
=
，方程有两个不相等的实数根．
选项C：方程为
2
2
0
x
x
+
=
，
1,
2,
0
a
b
c
=
=
=
，
2
Δ
2
4 1 0
4
0
=
−
=
，方程有两个不相等的实数根．
选项D：方程为
2
2
0
x +
=
，
1,
0,
2
a
b
c
=
=
=
，
2
Δ
0
4 1 2
8
0
−
=
−
=
，方程没有实数根．
4. 已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32 分钟，为了让一周7 天内的平均活
动时间恰好达到40 分钟，该同学周六、周日应分别运动（ ）分钟．
A. 50，50
B. 45，60
C. 50，60
D. 55，60
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数的定义，先求出7 天需要的总运动时间，再减去前5 天的总运动时间，得到周六周日
的总运动时间，对比选项得到结果．
【详解】解：∵7 天平均运动时间为40 分钟，
∴7 天总运动时间为40 7
280
=
分钟，
∵周一到周五的总运动时间为34
28
40 36 32
170
+
+
+
+
=
分钟，
第3页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
∴周六和周日的总运动时间为280 170
110
−
=
分钟，
对比各选项，只有C 选项中50 60
110
+
=
，符合题意．
5. 已知
A
的半径为3，
B
的半径为7 ，且
2
AB =
，则
A
与
B
位置关系是（ ）
A. 内含
B. 相交
C. 相切
D. 相离
【答案】A
【解析】
【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半
径分别为R ，r （R
r
），圆心距为d ，当d
R
r
−
时，两圆内含．
【详解】解：设
A
的半径
3
r =
，
B
的半径
7
R =
，两圆圆心距
2
d
AB
=
=
，
7 3
4
R
r
−=
−=
，
2
4
d
R
r
=
=
−
，
A
与
B
的位置关系是内含．
6. 如图，已知边长为1的正方形ABCD，点E 是边AB 上的一点(不与点A、B 重合)，过点E 作
EM
BD
，交边AD与点M ，作点E 、M 关于BD的对称点F 、G ，联结EF 、MG 交BD于点P 、
H ，现有以下两个命题：①四边形EFGM 的周长是一个定值；②四边形EPHM 的周长是一个定值；
下列说法中，正确的是( )
A. ①、②均正确
B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确
D. ①、②均错误
【答案】B
【解析】
【分析】设AM
a
=
，则
1
MD
a
−
=
，根据题意以及正方形的性质分别求得
(
)
2 1
EF
MG
a
−
=
=
，
2
FG
EM
a
=
=
，进而求得四边形EFGM 、EPHM 的周长，即可求解．
【详解】解：依题意，
,
,
,
AM
AE MD
DG BF
BE CF
CG
=
=
=
=
，设AM
a
=
，则
1
MD
a
−
=
，
AME
是等腰直角三角形，则
2
EM
a
=
，MDG
是等腰直角三角形，
(
)
2 1
MG
a
−
=
，MHD
是
第4页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
等腰直角三角形，则
(
)
2 1
2
MH
a
−
=
同理可得
(
)
2 1
EF
MG
a
−
=
=
，
2
FG
EM
a
=
=
，
∴四边形EFGM 的周长
(
)
2
2 2
2 2
2 2
2 2
EM
EF
a
a
=
+
=
+
−
=
四边形EPHM 的周长
(
)
2
2 2
2
2
2
2
EM
MH
a
a
a
=
+
=
+
−
=
+
故①正确，②错误
二、填空题（本大题共11 小题，每小题4 分，满分44 分）
【请将结果直接填入答题纸相应的空格内】
7. 计算(
)
4
2
m
的结果为________．
【答案】
8
m
【解析】
【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：(
)
4
2
2 4
8
m
m
m
=
=
．
8. 在1，2
−，3
−，4，5 这5 个数中选一个数，选出的数是正数的概率为________．
【答案】3
5
【解析】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出选出的数为正数的结果数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，总共有5个数，所有等可能的结果总数
5
n =
，其中正数为1，4 ，5，满足条件
的结果数
3
m =
．
根据概率公式
m
P
n
=
，可得选出的数是正数的概率为
3
5
P =
．
9. 方程13
1
5
x −=
的解为________．
【答案】
2
x =
【解析】
【详解】解：13
1
5
x −=
∴13
1
25
x−=
解得：
2
x =
，经检验
2
x =
是原方程的解．
第5页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
10. 在ABC
中，
90
C
=
，
10
AB =
，
6
AC =
，则tanB 的值为________．
【答案】3
4
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出直角边BC 的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可．
【详解】解：在Rt ABC
中，
90
C
=
，
10
AB =
，
6
AC =
，
由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8
BC
AB
AC
−
=
=
−
=
，
根据正切的定义，
6
3
tan
8
4
AC
B
BC
=
=
=
．
11. 在等腰三角形ABC （
A
B
）中，
80
A
=
，则
B
的度数为________．
【答案】20或50
【解析】
【分析】本题分
A
是顶角，
A
是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件
A
B
，排除不符合条件的情况后求解．
【详解】已知等腰ABC
中，
80
A
=
，且
A
B
．
若
A
是顶角，则
B
C
=
，所以
(
)
1 180
80
50
2
B
−
=
=
，符合
A
B
；
若
A
是底角，当
B
是顶角时，
80
C
A
= =
，所以
180
80
80
20
B
−
−
=
=
，符合
A
B
；
当
C
是顶角时，
80
B
A
= =
，与
A
B
矛盾，故舍去．
综上，
B
的度数为20或50．
12. 已知点(
)
,
A m n 与点(
)
3,4
B
在同一条反比例函数
k
y
x
=
的图象上，若0
3
m
，则n 的取值范围是
________．
【答案】
4
n
【解析】
【分析】先根据点B 的坐标求出反比例函数的k 值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减
性，结合m 的取值范围，得到n 的取值范围．
【详解】解：点
(
)
3,4
B
在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
3 4
12
k
= =
，
反比例函数解析式为
12
y
x
=
，
第6页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
12
0
k =
，
反比例函数
12
y
x
=
在第一象限内，y 随x 的增大而减小，
点
(
)
,
A m n 在该反比例函数图象上，且0
3
m
，
当
3
x =
时，
4
y =
，
4
n
．
13. 如图，在正六边形ABCDEF 中，AF
a
=
，AB
b
=
，用a、b
表示AD
的结果是________．
【答案】2
2
a
b
+
【解析】
【分析】根据正六边形的性质得到
2
AD
AO
=
，再结合平行四边形法则得到AO
AB
AF
=
+
，进而求出用
a、b
表示AD
的结果．
【详解】解：如图，设正六边形的中点为O，连接FO
，BO
，
在正六边形中，AB
FO
、AF
BO
，且AB
FO
=
、AF
BO
=
，
四边形ABOF 是平行四边形，
根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：
AO
AF
AB
a
b
=
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
AD
AO
a
b
a
b
=
=
+
=
+
．
第7页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
14. 某市2024 年进出口集装箱
7
5.15 10
个，2025 年进出口集装箱
7
5.5 10
个，则2025 年较2024 年集
装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示）
【答案】
6
3.5 10
【解析】
【分析】用2025 年进出口集装箱数量减去2024 年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即
可解答．
【详解】解：根据题意列算式计算得：
(
)
7
7
7
7
6
5.5 10
5.15 10
5.5
5.15
10
0.35 10
3.5 10
−
=
−
=
=
．
15. 某区抽查300 名学生每周做家务的次数，如图所示，据此可以推测全区9000 名学生每周做家务次数大
于5 次的有________人．
【答案】3000
【解析】
【详解】解：由题意知，300 名学生每周做家务次数大于5 次的有40 30 30
100
+
+
=
（人），
在300 名学生中，每周做家务次数大于5 次的学生占比为100
1
300
3
=
，
据此可以推测全区9000 名学生每周做家务次数大于5 次的有
1
9000
3000
3
=
（人），
16. 如图，梯形ABCD中，AD
BC
，EF 是梯形的中位线，点P 是边BC 上一点，联结AP 、DP分
别交EF 于点M 、N ，若
2
BC
AD
=
，
1
PMN
S
=
，则梯形ABCD的面积为________．
第8页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】12
【解析】
【分析】设梯形的高为h ，用AD表示出MN 的长度，利用三角形面积公式求出AD 与h 的乘积，最后代
入梯形面积公式计算即可求解．
【详解】解：设梯形ABCD的高为h
EF
是梯形ABCD的中位线
EF
AD
BC
，
1 (
)
2
EF
AD
BC
=
+
，EF 与BC 之间的距离为2
h
2
BC
AD
=
1
3
(
2
)
2
2
EF
AD
AD
AD
=
+
=
在ABP
中，E 为AB 中点，EM
BP
1
2
EM
BP
=
同理可得
1
2
FN
PC
=
3
1
3
1
3
1
(
)
2
2
2
2
2
2
MN
EF
EM
FN
AD
BP
PC
AD
BC
AD
AD
AD
−
−
−
−
−
=
=
+
=
=
=
1
1
2
2
PMN
h
S
MN
=
=
1 1
1
4 2 AD h
=
8
AD h
=
梯形ABCD的面积为1
1
3
(
)
(3
)
8
12
2
2
2
AD
BC h
AD h
+
=
=
=
．
17. 如图，在等边ABC
中，点D 是边BC 的中点，连接AD，将ABC
绕点D 旋转
（0
90
），得到A B C
，边A B
交AD于点P ，当A B
AC
⊥
时，AP
PD
的值为________．
【答案】3
1
−## 1
3
−+
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得出AD
BC
⊥
，
30
DAC
=
，结合A B
AC
⊥
求出
60
B PD
=
，
利用旋转的性质得到
60
B
=
，DB
DB
=
，判定BPD
为等边三角形，从而得出PD
DB
=
，最后在
第9页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
Rt ABD
中求出AD与BD的数量关系即可求解．
【详解】解：
ABC
是等边三角形，D 是BC 的中点，
AD
BC
⊥
，
60
B
BAC
=
=
，
1
30
2
DAC
BAC
=
=
，
A B
AC
⊥
，
在Rt APE
（设A B
交AC 于点E ）中，
90
60
APE
DAC
=
−
=
由旋转的性质可知A B C
ABC
≌
，
60
B
B
= =
，DB
DB
=
，
在BPD
中，
60
B PD
=
，
60
PB D
=
，
B PD
是等边三角形，
PD
DB
=
，
PD
DB
=
，
在Rt ABD
中，
90
ADB
=
，
60
B
=
，
tan60
3
AD
BD
BD
=
=
(
)
3
3 1
AP
AD
PD
BD
BD
BD
−
−
=
=
=
−
，
(
)
3 1
3 1
BD
AP
PD
BD
−
=
=
−．
三、解答题（本大题共7 小题，满分82 分）
【请在答题纸相应位置写下相应步骤】
18. 计算：
0
1
4
3
1
48
4
3
1
−
+
−−
+
−
．
【答案】2
3
−
【解析】
【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识． 先分别化简每一项，
第10页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
再合并同类二次根式即可得到结果．
【详解】解：原式1
3 1 4 3
2 3
2
= +
−−
+
+
(
) (
)
1 1 2
3
4 3
2 3
=
−+
+
−
+
2
3
=
−
．
19. 解方程组：
2
2
7
4
y
x
x
y
−
=
−
=
．
【答案】
9
5
x
y
=
=
，
1
3
x
y
=
= −
【解析】
【分析】本题使用代入消元法求解，先将一次方程变形，用含y 的代数式表示x ，再代入二次方程得到一元
二次方程，求解后再回代求x 的值．
【详解】解：
2
2
7
4
y
x
x
y
−
=
−
=
①
②
由②得
4
x
y
=
+ ③
把③代入①得
(
)
2
2
4
7
y
y
−
+
=
整理得
2
2
15
0
y
y
−
−
=
因式分解得(
)(
)
5
3
0
y
y
−
+
=
解得
1
5
y =
，
2
3
y = −
把
5
y =
代入③得
5
4
9
x = +
=
把
3
y = −代入③得
3 4
1
x = −+
=
∴原方程组的解是
9
5
x
y
=
=
，
1
3
x
y
=
= −
．
20. 如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆AB 与建筑物的底端处在同一水平面上，规定
建筑物高度h 与栏杆到建筑物的距离d 满足
1
8
h
d
即为安全．
第11页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（1）当
100
d =
米时，h 至少需要小于多少米？
（2）若在观测场测得AB 的长是a ，BC 的长为b ，在B 处观测C 的仰角为，求h
d
．（用含a 、b 、
的代数式表示）
【答案】（1）h 至少需要小于12.5米
（2）
sin
cos
h
a
b
d
b
+
=
【解析】
【分析】（1）将
100
d =
代入
1
8
h
d
中，解得
12.5
h
，即可求解；
（2）过点B 作建筑物的垂线，垂足为点D ，则BD
d
=
，CD
h
a
−
=
，在Rt BCD
中，
sin
CD
h
a
BC
b
−
=
=
，cos
BD
d
BC
b
=
=
，得到
sin
h
a
b
=
+
，
cos
d
b
=
，即可求解．
【小问1 详解】
解：由题可知，当
100
d =
米时，
1
100
8
h
，解得
12.5
h
，
∴h 至少需要小于12.5米；
【小问2 详解】
解：如图所示，过点B 作建筑物的垂线，垂足为点D ，则BD
d
=
，CD
h
a
−
=
，
在Rt BCD
中，sin
CD
h
a
BC
b
−
=
=
，cos
BD
d
BC
b
=
=
，
∴
sin
h
a
b
=
+
，
cos
d
b
=
，
∴
sin
cos
h
a
b
d
b
+
=
．
21. 某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，8:10:00时第一位游客站上扶梯，8:10:51时第一位游客到
达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为0.8秒．
第12页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（1）设登上观景台的游客数为x ，时间为y （从8:10:00开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出y
关于x 的函数解析式；（不用写定义域）
x
1
6
y
表1
（2）①请你求出从8 10
0
8 12
0
点
分秒整到点
分秒整，一共有几位游客到达观景台；
②请你求出
8 12
0
8 14
0
从点
分秒整到点
分秒整，一共有几位游客到达观景台．
【答案】（1）表格依次填入51，55；y 关于x 的函数解析式为
0.8
50.2
y
x
=
+
（2）①87位；②150位
【解析】
【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游客
到达间隔推出表格数据，再推导得到y 关于x 的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时y 的范围，
结合x 为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解．
【小问1 详解】
解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51 秒．
所以当
1
x =
时，
51
y =
．
每位游客到达间隔为0.8秒，
当
6
x =
时，
51
0.8 (6 1)
55
y =
+
−
=
．
∵x 位游客，第一位用时51 秒，剩余(
)
1
x−
位每位间隔0.8秒，
∴
51
0.8(
1)
0.8
50.2
y
x
x
−
=
+
=
+
【小问2 详解】
解：①从8 点10 分0 秒整到8 点12 分0 秒整，总计时
120
y =
秒．
令0.8
50.2 120
x+
解得
87.25
x
x 为正整数，因此最大
87
x =
．
答：一共有87 位游客到达观景台．
第13页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
②从8 点10 分0 秒整到8 点14 分0 秒整，总计时
240
y =
秒．
令0.8
50.2
240
x+
解得
237.25
x
x 为正整数，
因此到8 点14 分0 秒整最多有237 位游客到达．
该时间段游客数为237 87
150
−
=
．
答：一共有150位游客到达观景台．
22. 如图，菱形ABCD中，E 是线段CD上的点，连接BE 交对角线AC 于点F ，且
FBC
CAB
=
．
（1）如果
2
AF
BF
=
，求证：CE
DE
=
；
（2）如果
ABE
的角平分线交AC 、AD于点G 、H ，求证：CD BG
BH BF
=
．
【答案】（1）证明：四边形ABCD为菱形，
DAC
DCA
CAB
BCA
=
=
=
，AB
DC
=
，
FBC
CAB
=
，
FBC
BCA
=
，
FB
FC
=
，
2
AF
BF
=
，
2
AF
CF
=
，
AB
DC
，
CEF
ABF
=
，
EFC
AFB
=
，
AFB
CFE
∽
，
AF
AB
CF
CE
=
，即
2
AB
CE =
，
AB
DC
=
，
2
DC
CE =
，即
2
DC
CE
=
故CE
DE
=
．
第14页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
（2）证明：据（1）可知
FBC
BCA
=
，
2
BFA
FBC
BCA
FBC
=
+
=
，
FBC
CAB
=
，
2
BFA
CAB
=
，
DAC
DCA
CAB
BCA
=
=
=
，
BAH
DAC
CAB
=
+
，
2
BAH
CAB
=
，
BFA
BAH
=
，
BH 平分
ABE
，
ABH
GBF
=
，
BFG
BAH
∽
，
BF
BG
BA
BH
=
，
BA
CD
=
，
BF
BG
CD
BH
=
，
CD BG
BH BF
=
．
【解析】
【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得FB
FC
=
，由
2
AF
BF
=
得到
2
AF
CF
=
，
再由AB
CD
证AFB
CFE
∽
，推出
2
AB
CE
=
，结合菱形边长相等证出CE
DE
=
；
（2）先通过
2
BFA
FBC
=
与
FBC
CAB
=
推导
BFA
BAH
=
，结合角平分线得
ABH
GBF
=
，证得BFG
BAH
∽
，写出相似比例式，用BA
CD
=
代换，变形得到乘积等式．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
23. 对于函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，对称轴与x 轴交于点A，将点A向右平移一个单位得到点B ，使
点C 与点B 的横坐标相等，且点C 的纵坐标为2a ，则称点C 为抛物线的“派生点”，并且将直线AC 称
为抛物线的“派生直线”．
（1）已知函数
2
2
3
y
x
=
+
，求该函数的“派生直线”解析式；
（2）已知点C 为某抛物线的“派生点”，点
(
)
1,
P
m 和
(
)
7,
Q
n 在其“派生直线”
2
6
y
x
=
−
上，且点P
第15页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
是该抛物线与其“派生直线”的交点，求PC
CQ 的值，并判断点Q 是否在抛物线上．
【答案】（1）
4
y
x
=
（2）
1
PC
CQ = ，点Q 在抛物线上
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是
否在抛物线上．
【小问1 详解】
解：已知函数
2
2
3
y
x
=
+
，可得
2
a =
，
0
b =
，二次函数对称轴为
0
2
b
x
a
= −
=
，对称轴与x 轴交点A
坐标为(
)
0,0 ，
将A向右平移1 个单位得到B ，
B 的横坐标为0 1 1
+ = ，
根据定义，C 横坐标为1，纵坐标为2
4
a =
.即
(
)
1,4
C
，
设派生直线AC 解析式为y
kx
=
，
代入
(
)
1,4
C
得
4
k =
．
因此该函数的派生直线解析式为
4
y
x
=
．
【小问2 详解】
解：由题意，A是派生直线
2
6
y
x
=
−
与x 轴的交点，A纵坐标为0 ，
将
0
y =
代入
2
6
y
x
=
−
得0
2
6
x
=
−
，
解得
3
x =
，因此
(
)
3,0
A
，
根据定义，B 横坐标为3 1
4
+ =
，因此C 横坐标为4 ，
将
4
x =
代入
2
6
y
x
=
−
得
2
y =
.
因此
(
)
4,2
C
，
第16页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
将
(
)
1,
P
m 代入
2
6
y
x
=
−
得
4
m = −，即
(
)
1, 4
P
−
，
将
(
)
7,
Q
n 代入
2
6
y
x
=
−
得
8
n =
，即
(
)
7,8
Q
，
∴
(
)
2
2
(4 1)
(2
4 )
3 5
PC =
−
+
−−
=
，
2
2
(7
4)
(8
2)
3 5
CQ =
−
+
−
=
，
3 5
1
3 5
PC
CQ
=
=
，
由定义，抛物线对称轴为
3
x =
，
C 纵坐标为2
2
a =
，得
1
a = ，
设抛物线解析式为
2
(
3)
y
x
k
=
−
+
，
∵
(
)
1, 4
P
−
在抛物线上，代入得
2
4
(1 3)
k
−=
−
+
，
解得
8
k = −，
∵抛物线解析式为
2
2
(
3)
8
6
1
y
x
x
x
=
−
−=
−
+ ，
∴将
7
x =
代入抛物线解析式得
2
7
6 7 1
8
y =
−+ =
，与Q 的纵坐标相等，
因此点Q 在抛物线上．
24. 在半圆AOQ 中，点O为圆心，线段AQ 为直径，B 、C 是半圆上两点，D 是AB 上一点，连接
AB 、CD交于点P ，且AB
CD
=
．
（1）如图1，连接OP ；
①求证：
APO
CPO
=
；
②如图2，连接OB 交弦CD于点H ，若
4
AQ =
，
1
PB = ，PO
HO
=
，求PH 的长；
（2）如图3，连接PQ 、AC 交于点E ，线段AP 上有一点F 使得
4
PF
AF
=
，若PE
QE
=
，
第17页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
PEA
PFQ
=
，求PE
EA
的值．
【答案】（1）①证明：如图，作OG
AB
⊥
于G ，OZ
CD
⊥
于Z ，连接OC ，
∴
1
2
AG
AB
=
，
1
2
CZ
CD
=
，
∵AB
CD
=
，
∴AG
CZ
=
，
∵OA
OC
=
，
90
AGO
CZO
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OAG
OCZ
≌
，
∴OG
OZ
=
，
∵
90
PGO
PZO
=
=
，OP
OP
=
，
∴
(
)
Rt OPG
Rt OPZ HL
≌
，
∴
APO
CPO
=
；
②
3
4
PH =
；
（2）
2
3
PQ
AQ =
【解析】
【分析】（1）①作OG
AB
⊥
于G ，OZ
CD
⊥
于Z ，连接OC ，利用垂径定理结合AB
CD
=
，得出
AG
CZ
=
，证明
(
)
Rt OAG
Rt OCZ HL
≌
，得出OG
OZ
=
，再证明
(
)
Rt OPG
Rt OPZ HL
≌
，即可
求证；
②先证明
APO
OHP
=
，得出
BPO
BHP
=
，可得BPH
BOP
∽
，则BP
BH
PH
OB
BP
OP
=
=
，即可
得出
1
2
BH =
，
1
2
PH
OP
=
，再求出
3
2
OH
OP
=
=
，即可求解；
（2）证明FPQ
EPA
∽
，得出PF
PQ
PE
AP
=
，设
4
4
PF
AF
m
=
=
，PE
QE
n
=
=
，可得
5
AP
m
=
，
4
2
5
m
n
n
m
=
，求出
10
n
m
=
，连接OP ，交AC 于点K ，由（1）可得AP
CP
=
，
APO
CPO
=
，得
第18页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
出OP
AC
⊥
，证明K 为APQ
的重心，得出
2
AK
EK
=
，设
2
2
AK
EK
k
=
=
，在Rt APK
和
Rt EPK
中，利用勾股定理列式求出
5
k
m
=
，可得
2
2 5
AK
EK
m
=
=
，即可求解．
【小问1 详解】
解：①略；
②∵PO
HO
=
，
∴
OPH
OHP
=
，
由（1）可知，
OPC
APO
=
，
∴
APO
OHP
=
，
∵
180
BPO
APO
−
=
，
180
BHP
OHP
−
=
，
∴
BPO
BHP
=
，
在BPH
和BOP
中，
BPO
BHP
=
，
PBH
OBP
=
，
∴BPH
BOP
∽
，
∴BP
BH
PH
OB
BP
OP
=
=
，
∵
4
AQ =
，
∴
2
OB =
，
∵
1
BP = ，
∴
1
2
1
BP
BH
PH
OB
OP
=
=
=
，
∴
1
2
BH =
，
1
2
PH
OP
=
，
∴
1
3
2
2
2
OH
OP
=
=
−
=
，
∴
3
4
PH =
；
【小问2 详解】
解：∵
PFQ
PEA
=
，
FPQ
EPA
=
，
∴FPQ
EPA
∽
，
∴PF
PQ
PE
AP
=
，
∵
4
PF
AF
=
，PE
QE
=
，
第19页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
设
4
4
PF
AF
m
=
=
，PE
QE
n
=
=
，
则
5
AP
m
=
，
∴4
2
5
m
n
n
m
=
，
∴
2
2
20
2
m
n
=
，
∴
10
n
m
=
，
连接OP ，交AC 于点K ，
由（1）①中Rt OPG
Rt OPZ
≌
可得PG
PZ
=
（图1），
又∵AG
CZ
=
（①已证），
∴AG
PG
PZ
CZ
+
=
+
，
∴AP
CP
=
，
又∵
APO
CPO
=
（①已证），
∴OP
AC
⊥
，
∴
90
AKP
CKP
=
=
，
∵O为APQ
边AQ 的中点，E 为APQ
边PQ 的中点，
∴K 为APQ
的重心，
∴
2
AK
EK
=
，
设EK
k
=
，则
2
2
AK
EK
k
=
=
，
∵在Rt APK
和Rt EPK
中，
2
2
2
2
2
PK
AP
AK
PE
EK
−
−
=
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
10
m
k
m
k
−
=
−
，
化简得
5
k
m
=
（负值舍），
∴
2
2 5
AK
EK
m
=
=
，
∴
10
2
3
3 5
PE
PE
m
EA
AK
EK
m
=
=
=
+
．
第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
