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第22 章 二次函数章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．（3 分）（2022 秋•长汀县校级月考）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法
中错误的是（ ）
A．y 的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2 时，y 的值随x 值的增大而增大
D．当x≥2 时，y 的值随x 值的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2 时，y 有最小值1，当x≥2
时，y 的值随x 值的增大而增大，当x＜2 时，y 的值随x 值的增大而减小；
故选项A、B、D 的说法正确，C 的说法错误；
故选：C．
2．（3 分）（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4）
B．（﹣2，﹣4）
C．（﹣4，2）
D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y 轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y 轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
3．（3 分）（2022•浦东新区二模）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果
x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x＝
﹣1，则在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1 时，y1＜y2＜0．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴a＝﹣1＜0，有最大值为0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
而x1＜x2＜﹣1，
∴y1＜y2＜0．
故选：A．
4．（3 分）（2022 秋•环翠区期中）已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax 与y＝﹣ax2的图象
有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可．
【解答】解：A、根据正比例函数图象y 随x 的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＞
0，则a＜0，故选项错误；
B、根据正比例函数图象y 随x 的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误；
C、根据正比例函数图象y 随x 的增大而减小，则a＜0，二次函数图象开口向下，则﹣a＜0，则a＞0，
故选项错误；
D、根据正比例函数图象y 随x 的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＜0，则a＞0，
故选项正确．
故选：D．
5．（3 分）（2022•铜仁市）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k 与x 轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（ ）
A．5
B．﹣1
C．5 或1
D．﹣5 或﹣1
【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A 点或B 点向右平移得到点（4，0）
得到m 的值．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k 的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k 的对称轴为
直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m 的值为5 或1．
故选：C．
6．（3 分）（2022•黄石）以x 为自变量的二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，则
实数b 的取值范围是（ ）
A．b≥5
4
B．b≥1 或b≤﹣1
C．b≥2
D．1≤b≤2
【分析】由于二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，所以抛物线的顶点在x 轴上
或上方或在x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定
抛物线与x 轴有无交点，抛物线与y 轴的交点的位置，由此即可得出关于b 的不等式组，解不等式组即
可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1 的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a＝1，
∴抛物线开口方向向上，
当抛物线的顶点在x 轴上或上方时，
则b2﹣1≥0，△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，
解得b≥5
4 ；
当抛物线的顶点在x 轴的下方时，
设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2（b﹣2）＞0，b2﹣1＞0，
∴△＝[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，②
b2﹣1≥0，③
由①得b＜5
4 ，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b≥5
4 ，
故选：A．
7．（3 分）（2022•北京一模）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近
似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y 与t 的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断
出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）
A．2.25s
B．1.25s
C．0.75s
D．0.25s
【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．
【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：
{
6= 1
4 a+ 1
2 b
9=a+b
，
解得：{
a=−6
b=15 ，
故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，
当t=−b
2a =−15
−12 = 5
4 =1.25（秒），此时y 取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25 秒．
故选：B．
8．（3 分）（2022 秋•南召县期中）根据下面表格中的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24 时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25 时，ax2+bx+c＝0.03，则x 取2.24 到
2.25 之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x 的
范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24 时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25 时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x 的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
9．（3 分）（2022•洪山区校级自主招生）已知函数y＝x2+x﹣1 在m≤x≤1 上的最大值是1，最小值是−5
4
，
则m 的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2
B．0≤m≤1
2
C．﹣2≤m≤−1
2
D．m≤−1
2
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−5
4
，得出
m≤−1
2
；再求得当x＝1 时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得
m 的下限．
【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1 的对称轴为直线x=−1
2
，
∴当x=−1
2
时，y 有最小值，此时y= 1
4 −1
2 −1=−5
4
，
∵函数y＝x2+x﹣1 在m≤x≤1 上的最小值是−5
4
，
∴m≤−1
2
；
∵当x＝1 时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x=−1
2
，
∴当x=−1
2 −[1﹣（−1
2
）]＝﹣2 时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1 在m≤x≤1 上的最大值是1，且m≤−1
2
；
∴﹣2≤m≤−1
2
．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+ 1
2
）2−5
4
，
∴当x＝1 时，y＝1；
当x=−1
2
，y=−5
4
，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1 在m≤x≤1 上的最大值是1，最小值是−5
4
，
∴﹣2≤m≤−1
2
．
故选：C．
10．（3 分）（2022 秋•江阴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（
−1
2
，0）且平行于y 轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a+b＝0
C．2b+c＞0
D．4a+c＜2b
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
故abc＜0，故选项A 错误；
∵对称轴为直线x=−1
2
，
∴−b
2a =−1
2
，得a＝b，a﹣b＝0，故选项B 错误；
∵当x＝1 时，y＝a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，故选项C 错误；
∵对称轴为直线x=−1
2
，当x＝1 时，y＜0，
∴x＝﹣2 时的函数值与x＝1 时的函数值相等，
∴x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，
故选项D 正确；
故选：D．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．（3 分）（2022•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2﹣6x+m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是
m ＜﹣
9
．
【分析】根据抛物线y＝﹣x2﹣6x+m 与x 轴没有交点，可知当y＝0 时，0＝﹣x2﹣6x+m，Δ＜0，从而可
以求得m 的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+m 与x 轴没有交点，
∴当y＝0 时，0＝﹣x2﹣6x+m，
∴△＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×m＜0，
解得，m＜﹣9
故答案为：m＜﹣9．
12．（3 分）（2022•牡丹江）抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c
＝
0
．
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴的另一交点为（1，0），由此求出
a+b+c 的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c 与x 轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
13．（3 分）（2022 秋•汉阳区校级月考）如图，函数y＝ax2+c 与y＝mx+n 的图象交于A（﹣1，p），B
（3，q）两点，则关于x 的不等式ax2﹣mx+c＞n 的解集是
x ＜﹣
1 或
x ＞
3
．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1 或x＞3 时，直线y＝mx+n 在抛物线y＝ax2+c 的下方，
∴关于x 的不等式ax2﹣mx+c＞n 的解集是x＜﹣1 或x＞3．
故答案为：x＜﹣1 或x＞3．
14．（3 分）（2022•大连）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴相交于点A、B（m+2，0）与y 轴相交于点
C，点D 在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A 的坐标是 （﹣
2 ，
0 ）
．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据A、B 关于对称轴对称，可得A 点坐
标．
【解答】解：令x＝0，得到x＝c，
∴C（0，c），
∵D（m，c），得函数图象的对称轴是直线x= m
2 ，
设A 点坐标为（x，0），由A、B 关于对称轴x= m
2 ，得
x +m+2
2
= m
2 ，
解得x＝﹣2，
即A 点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
15．（3 分）（2022•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点
分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞
0．其中正确的有 ③④ ．
【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y 轴交点可得c＜0，再根据二次函数
的对称轴x=−b
2a，结合图象与x 轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对称轴公式可判断出①的正误；
根据对称轴公式结合a 的取值可判定出b＜0，根据a、b、c 的正负即可判断出②的正误；利用a﹣b+c
＝0，求出a﹣2b+4c＜0，即可判断出③的正误；利用当x＝4 时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b＝
﹣2a，得出8a+c＞0，即可判断出④的正误．
【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y 交与负半轴，则c＜0，
对称轴：x=−b
2a ＞0，
①∵它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x＝1，
∴−b
2a =1，
∴b+2a＝0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a，
∴a﹣2b+4c＝a﹣2b+4（b﹣a）＝2b﹣3a，
又由①得b＝﹣2a，
∴a﹣2b+4c＝﹣7a＜0，
故③正确；
④根据图示知，当x＝4 时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b＝﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
综上所述，正确的结论是：③④，
故答案为：③④
16．（3 分）（2022 秋•任城区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣2x 的顶点为点A，抛物线与x 轴的两个交点
中右侧交点为点B，若点M 为坐标轴上一点，且MA＝MB，则点M 的坐标是 （
1 ，
0 ）或（
0 ，
1 ）
．
【分析】先将抛物线顶点A 的坐标求出来，作AC⊥x 轴于点C，取AB 中点E，作直线EC 交y 轴于点
C，直线与CE 与坐标轴交点坐标即为所求．
【解答】解：把x＝0 代入y＝x2﹣2x 得x2﹣2x＝0，
解得x＝0 或x＝2，
∴点B 坐标为（2，0），
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴点A 坐标为（1，﹣1），
连接AB，作AC⊥x 轴于点C，取AB 中点E，作直线EC 交y 轴于点C，
则点C 坐标为（1，0），点E 坐标为（1+2
2
，−1+0
2
）即（3
2，−1
2），
∴AC＝BC＝1，点C 满足题意，
直线CE 为线段AB 的垂直平分线，
设直线CE 解析式为y＝kx+b，把（1，0），（3
2，−1
2）代入解析式得：
{
0=k +b
−1
2 = 3
2 k +b，
解得{
k =−1
b=1 ，
∴y＝﹣x+1，
∴点D 坐标为（0，1），
∴点M 的坐标为（1，0）或（0，1），
故答案为：（1，0）或（0，1）．
三．解答题（共7 小题，满分52 分）
17．（6 分）（2022 秋•翔安区校级月考）抛物线y＝a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）
（1）确定a 的值；
（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2可求出a＝﹣
1；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征，分别计算出自变量为0 时的函数值和函数值为0 时对应的自变量的
值，即可得到该抛物线与坐标轴的交点坐标．
【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y＝a（x﹣2）2得a•（1﹣2）2＝﹣1
解得a＝﹣1
（2）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2，
当y＝0 时，﹣（x﹣2）2＝0，解得x＝2，
所以抛物线与x 轴交点坐标为（2，0）；
当x＝0 时，y＝﹣（x﹣2）2＝﹣4，
所以抛物线与y 轴交点坐标为（0，﹣4）．
18．（6 分）（2022•包河区校级模拟）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，
其中A 点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB 的面积S△MCB．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M 和B 的坐标，由于三角形MCB 的面积无法直接求出，可将其化
为其他图形面积的和差来解．过M 作ME⊥y 轴，三角形MCB 的面积可通过梯形MEOB 的面积减去三
角形MCE 的面积减去三角形OBC 的面积求得．
【解答】解：
（1）依题意：{
a−b+c =0
a+b+c =8
c =5
，
解得{
a=−1
b= 4
c =5
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5
（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0）．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）
作ME⊥y 轴于点E，
可得S△MCB＝S 梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC= 1
2（2+5）×9−1
2 ×4×2−1
2 ×5×5＝15．
19．（8 分）（2022•牧野区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2 个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4 时，均有y1≤y2，求n 的取
值范围．
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；
（2）①利用抛物线解析式求得点A、B 的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m 的值即可；
②根据抛物线的对称性质知：当x＝4 和x＝﹣2 时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2 且n+1≤4．解
该不等式组得到：﹣2≤n≤3．
【解答】解：（1）∵顶点为（3，2），
∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．
又∵抛物线过点（0，11），
∴a（0﹣3）2+2＝11，
∴a＝1．
∴y＝（x﹣3）2+2；
（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，
①分情况讨论：
若点A，B 均在x 轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），
由对称性可知：1
2（x+3x）＝1，解得x= 1
2，
故点A 的坐标为（1
2，0），
将点A 的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m 得：0= 1
4 −1+3﹣m，
解得m= 9
4
若点A 在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），
由对称性可知：1
2（x﹣3x）＝1，
解得x＝﹣1，
故点A 的坐标为（﹣1，0），
同理可得m＝6，
综上：m= 9
4 或m＝6；
②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝4 和x＝﹣2 时，函数值相等．
又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4 时，均有y1≤y2，
∴结合图象，得{
n≥−2
n+1≤4，
∴﹣2≤n≤3．
20．（8 分）（2022•舟山一模）路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，
可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．已知每千克白虾的养殖成本为8 元，在某
上市周期的70 天里，销售单价p （元/ 千克）与时间第t （天）之间的函数关系如下：p
={
1
4 t +20，(1≤t ≤40，t 为整数)
−1
2 t +50，(40＜t ≤70，t 为整数)
，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图
所示．
（1）求日销售量y 与时间t 的函数关系式；
（2）求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在实际销售的前40 天中，该养殖户决定每销售1 千克白虾，就捐赠m（m＜8）元给公益事业．在
这前40 天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w 元，分1≤t≤40 和41≤t≤80 两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售量”
列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40 且销售利润随时间t 的增大而
增大，结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设所求解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，198）、（70，60）代入，得：
{
k +b=198
70k +b=60，
解得：{
k =−2
b=200，
∴y＝﹣2t+200（1≤t≤70，t 为整数），
∴日销售量y 与时间t 的函数关系式y＝﹣2t+200；
（2）设日销售利润为w 元，则w＝（p﹣8）y，
①在1≤t≤40 时，
w＝（1
4 t+20﹣8）（﹣2t+200）
=−1
2（t﹣26）2+2738，
∵−1
2 ＜0，
∴当t＝26 时，wmax＝2738；
②当40＜t≤70 时，
w＝（−1
2t+50﹣8）（﹣2t+200）
＝（t﹣92）2﹣64，
∵1＞0，
∴当t＜92 时，w 随t 的增大而减小，
∴当t＝41 时，w 最大，最大值＝（41﹣92）2﹣64＝2537，
∵2738＞2537，
∴第26 天利润最大，最大利润为2738 元；
（3）设日销售利润为w 元，根据题意，得：
w＝（1
4 t+20﹣8﹣m）（﹣2t+200）
=−1
2t2+（26+2m）t+2400﹣200m，
∴函数图象对称轴为直线t＝2m+26，
∵−1
2 ＜0，w 随t 的增大而增大，且1≤t≤40，t 为整数，
∴2m+26＞39.5，
解得：m＞6.75，
又∵m＜8，
∴7≤m＜8．
21．（8 分）（2022•兰州）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12
米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面OM 上，则
这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【分析】（1）根据所建坐标系易求M、P 的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O 点（或M 点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A 点坐标为（m，0），用含m 的式子表示三段的长，
再求其和的表达式，运用函数性质求解．
【解答】解：（1）M（12，0），P（6，6）．
（2）设抛物线解析式为：
y＝a（x﹣6）2+6 （3 分）
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6 经过点（0，0）
∴0＝a（0﹣6）2+6，即a=−1
6 （4 分）
∴抛物线解析式为：y=−1
6（x﹣6）2+6，即y=−1
6x2+2x．
（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，−1
6m2+2m）
D（m，−1
6m2+2m）．
∴“支撑架”总长AD+DC+CB＝（−1
6m2+2m）+（12﹣2m）+（−1
6m2+2m）
=−1
3m2+2m+12
=−1
3（m﹣3）2+15．
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m＝3 米时，AD+DC+CB 有最大值为15 米．
22．（8 分）（2022•顺义区期末）某班数学兴趣小组对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过
程如下，请完成下面各小题．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：
x
…
﹣3
−5
2
﹣2
﹣1
0
1
2
5
2
3
…
y
…
3
5
4
m
﹣1
0
﹣1
0
5
4
3
…
其中，m＝
0
；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函
数图象的另一部分；
（3）利用表格与图象指出，当x 取何值时，函数值y 随x 的增大而增大；
（4）进一步探究函数图象．
①求方程x2﹣2|x|＝2 的实数根的个数；
②关于x 的方程x2﹣2|x|＝a 有4 个实数根时，求a 的取值范围．
【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解；
（2）描点即可画出函数图象；
（3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1 时，y 随x 的增大而增大，答案不唯
一；
（4）①设y＝x2﹣2|x|，从图象看y＝2 与y＝x2﹣2|x|有两个交点，即可求解；
②当y＝a 与y＝x2﹣2|x|有4 个交点时，a 在x 轴的下方，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的对称性，m＝0，
故答案为：0；
（2）描点画出如下函数图象：
（3）函数的最小值为﹣1；
x＞1 时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①设y＝x2﹣2|x|，从图象看y＝2 与y＝x2﹣2|x|有2 个交点；
②y＝a 与y＝x2﹣2|x|有4 个交点时，a 在x 轴的下方，
故﹣1＜a＜0．
23．（8 分）（2022•南岗区校级开学）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=−3
16ax2+ 5
8
ax+3a（a≠0）与x 轴交于A 和点B（A 在左，B 在右），与y 轴的正半轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D 为OB 中点，E 为CO 中点，动点F 在y 轴的负半轴上，G 在线段FD 的延长线上，连接GE、
ED，若D 恰为FG 中点，且S△GDE= 27
2 ，求点F 的坐标；
（3）在（2）的条件下，动点P 在线段OB 上，动点Q 在OC 的延长线上，且BP＝CQ．连接PQ 与BC
交于点M，连接GM 并延长，GM 的延长线交抛物线于点N，连接QN、GP 和GB，若角满足∠QPG﹣
∠NQP＝∠NQO﹣∠PGB 时，求NP 的长．
【分析】（1）令y＝0 可求得点A、B 的坐标，将x＝0 代入抛物线的解析式得求得点C（0，3a），然
后根据OB＝0C 可求得a 的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接GB．首先依据SAS 证明△ODF≌△GDB，从而得到BG＝OF，接下来依据S△GED= 27
2 ，可求
得EF 的长，从而得到BG 的长，故此可得到点G 的坐标；
（3）过点P 作PT∥y 轴，交BC 与点T，过点N 作NR⊥y 轴，垂足为R．先证明TP＝PB＝CQ，然后依
据ASA 证明△PTM≌△QCM，于是可得到PM＝QM，然后再证明△NMQ≌△GMP，于是得到NQ＝
GP，然后再△QNR≌△GPB，从而可求得NR＝OR，设N（t，−3
8t2+ 5
4 t+6），由NR＝OR 列出关于t 的
方程，从而可求得NR 的值，最后在Rt△NHP 中，依据勾股定理可求得PN 的值．
【解答】解：（1）将y＝0 代入得：y=−3
16 ax2+ 5
8ax+3a，
∵a≠0，
∴−3
16x2+ 5
8x+3＝0．
解得：x1=−8
3 ，x2＝6．
∴A（−8
3，0）、B（6，0）．
∴OB＝6．
∵将x＝0 代入抛物线的解析式得：y＝3a，
∴C（0，3a）．
∴OC＝3a．
∵OB＝0C，
∴3a＝6．
解得：a＝2，
∴抛物线的解析式为y=−3
8x2+ 5
4 x+6；
（2）如图1 所示：连接GB．
∵E、D 分别是OC、0B 的中点，
∴OE＝3，OD＝BD．
在△ODF 和△GDB 中，
{
OD = BD
∠ODF =∠BDG
DF = DG
，
∴△ODF≌△GDB，
∴BG＝OF，∠GBD＝∠FOD＝90°，
∵S△EDG＝S△EFG﹣S△EFD，
∴1
2EF•OB−1
2EF•OD= 27
2 ，即3EF−3
2EF= 27
2 ，解得：EF＝9；
∴OF＝EF﹣OE＝9﹣3＝6，
∴F（0，﹣6）；
（3）如图2 所示：过点P 作PT∥y 轴，交BC 与点T，过点N 作NR⊥y 轴，垂足为R，NH⊥x 轴于H，
∵TP∥OQ，
∴∠MPT＝∠MQC，∠PTM＝∠QCM，
∵OB＝0C＝6，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠PBT＝∠PTB＝45°，
∴PT＝PB＝CQ，
在△PTM 和△QCM 中，
{
∠MPT =∠MQC
PT =CQ
∠PTM =∠QCM
，
∴△PTM≌△QCM，
∴PM＝QM，
∵GB⊥x 轴，
∴BG∥y 轴∥PT，
∴∠BGP＝∠TPG．
∵∠QPG﹣∠NQO＝∠NQP﹣∠PGB，
∴∠QPT+∠TPG﹣∠NQO＝∠NQO+∠OQP﹣∠PCB，
∵∠QPT＝∠OQP，∠TPG＝∠PGB，
∴2∠TPG＝2∠NQO，
∴∠TPG＝∠NQO，
∴∠NQP＝∠GPQ，
在△NMQ 和△GMP 中，{
∠NQP =∠GPQ
∠NMQ =∠GMP
MQ = MP
，
∴△NMQ≌△GMP，
∴NQ＝GP，
在Rt△QNR 和Rt△GPB 中，{
∠BGP =∠NQO
∠QRN =∠GBP =90°
NQ =GP
，
∴△QNR≌△GPB，
∴QM＝BG＝6，NR＝PB＝CQ．
设N（t，−3
8t2+ 5
4 t+6）．
∵QO＝QC+CO＝QR+RO，
∴QC＝RO，
∴NR＝RO，
∴﹣t=−3
8t2+ 5
4 t+6，解得：t1＝﹣2，t2＝8（舍去）．
∴N（﹣2，2），
∴NH＝2，OH＝NR＝2．
∴PH＝OB＝6，
∴PN=√N H
2+ P H
2=2√10，
∴线段NP 的长为2√10．
