文档文本内容
第二十二章 二次函数 （能力提升）
考试时间：120 分钟
一、选择题（每小题3 分，共36 分）
1. 2019 年5 月19 日—26 日在广西南宁举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛，决赛时，中国队以
3 比0 战胜日本队第11 次获得苏迪曼杯冠军，在比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线
的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m，球落地点A 到O
点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A。
【分析】由已知知，点A 和B 的坐标分别为（4，0），（0，1）。
根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线
可求出b＝3
4 ，c＝1。因此这条抛物线的解析式是
，故选A。
【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。
2.在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2 个单位，那么
在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A. y＝4（x﹣2）
2+2
B. y＝4（x+2）
2﹣2
C. y＝4（x﹣2）
2﹣2
D. y＝4（x+2）
2+2
【答案】B
【分析】将x 轴向上平移2 个单位就相当于将抛物线向下平移2 个单位，将y 轴向右平移就相当于
将抛物线向左平移2 个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
【解析】将x 轴向上平移2 个单位就相当于将抛物线向下平移2 个单位，
将y 轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2 个单位，根据平移法则：左加右减，上加下减，
∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）
2﹣2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3、在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx 与一次函数y＝bx﹣a 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】由方程组
得ax2＝﹣a，
∵a≠0 ∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y 轴右侧，则b＜0；但是一次函数b 为一次项系数，
图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A 错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y 轴右侧，则b＜0；b 为一次函数的一次项系数，图
象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C 正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．故选：C．
【考点】二次函数与一次函数的图形问题．
4、如果函数
的图象经过平面直
角坐标系的四个象限，那么
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】函数图象经过四个象限，需满足3 个条件：（Ⅰ）函数是二次函数．因此
，即
①
（Ⅱ）二次函数与x 轴有两个交点．因此△=
，解得
②
（Ⅲ）两个交点必须要在y 轴的两侧．因此
，解得
③
综合①②③式，可得：
．故答案为：D.
5、已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，
且当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a＞﹣1
C．﹣1＜a≤2
D．﹣1≤a＜2
【答案】D．
【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x 轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小，∴a≥﹣1，
∴实数a 的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．
【考点】二次函数对称轴综合问题．
6．如图，将函数
＝
的图像沿轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A（1，
）、B（4，
）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），
则新图像的函数表达式是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【答案】D，
【解析】连接AB、A′B′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′．由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，
所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A、B′B 交轴于点M、N．
B
A
A
B
O
y
x
因为A（1，
）、B（4，），所以MN＝4－1＝3．
因为
＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，
即沿轴向上平移了3 个单位，所以新图像的函数表达式＝
．故答案选D
【考点】二次函数与几何综合问题．
7．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数
2
y
x
位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函
数
2
y
x
位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011 在y 轴的正半轴上，若四边形
1
1
1
OAC B 、
1
2
2
2
C A C B ，…，
2010
2011
2011
2011
C
A
C
B
都是正方形，则正方形
2010
2011
2011
2011
C
A
C
B
的边长为（ ）
A. 2010
B. 2011 C. 2010
2
D. 2011
2
【答案】D.
【解析】∵OA1C1B1是正方形，∴OB1与y 轴的夹角为45°，∴OB1的解析式为y=x
联立
，解得
或
，∴点B1（1，1），OB1=
，
∵OA1C1B1 是正方形，∴OC1=
OB1=
×
=2，∵C1A2C2B2 是正方形，∴C1B2 的解析式为
y=x+2 ，联立
，解得
或
，∴点B2 （2 ，4 ），C1B2=
B
A
A
B
O
y
x
N
M
，
∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=
C1B2=
×2
=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立
，解得，
或
，∴点B3（3，9），C2B3=
，
…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=
．故选D.
【考点】二次函数综合题．
8．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x 轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条
当成y 轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1 的图形．关于他选择x、y
轴的叙述，下列何者正确？（
）
A．L1为x 轴，L3为y 轴
B．L1为x 轴，L4为y 轴
C．L2为x 轴，L3为y 轴
D．L2为x 轴，L4为y 轴
【答案】D
【分析】根据二次函数的解析式y=ax2+2ax+1，得到与y 轴交点坐标为（0，1），确定L2为x 轴；
根据抛物线的对称轴为直线x=
1
﹣，确定L4为y 轴．
【解答】解：∵y=ax2+2ax+1，∴x=0 时，y=1，
∴抛物线与y 轴交点坐标为（0，1），即抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴L2为x 轴；
∵对称轴为直线x=﹣
=
1
﹣，即对称轴在y 轴的左侧，∴L4为y 轴．故选D
【考点】二次函数的性质．
【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．根据二次函数的解析式求出与y 轴交点坐标及对
称轴是解题的关键．
9．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h 为常数），当自变量x 的值满足2≤x≤5 时，与其对应的函数值y
的最大值为﹣1，则h 的值为（ ）
A． 3 或6 B． 1 或6 C． 1 或3 D． 4 或6
【答案】B
【分析】分h＜2、2≤h≤5 和h＞5 三种情况考虑：当h＜2 时，根据二次函数的性质可得出关于h 的
一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5 时，由此时函数的最大值为0 与题意不符，可得出该
情况不存在；当h＞5 时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．
综上即可得出结论．
【解析】如图，当h＜2 时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5 时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5 时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6，
综上所述：h 的值为1 或6，故选B．
【考点】二次函数的最值问题．
10.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x 轴且过点（0，m），将该函数在直线l
上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的
函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）
A．m≥1
B．m≤0
C．0≤m≤1
D．m≥1 或m≤0
【答案】C
【解析】如图1 所示，当t 等于0 时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0 时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4 时，y＝5，∴C（4，5），
∴当m＝0 时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2 所示，当m＝1 时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
【考点】二次函数的综合问题．
11.如图，
中，
，且
，设直线
截此三角形所得阴影部分的
面积为S，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】Rt
AOB
△
中，AB OB
⊥
，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB= A=45°
∠
；再由平行线的性
质得出∠OCD= A
∠，即∠AOD= OCD=45°
∠
，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解
答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【解析】∵Rt
AOB
△
中，AB OB
⊥
，且AB=OB=3，∴∠AOB= A=45°
∠
，
CD OB
⊥
∵
，∴CD AB
∥
，∴∠OCD= A
∠，∴∠AOD= OCD=45°
∠
，∴OD=CD=t，
S
∴
OCD
△
=
×OD×CD=
t2（0≤t≤3），即S=
t2（0≤t≤3）．
故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据
三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
12.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数），a＞0，顶点坐标为（
，m），给出下列结论：①若
点（n，y1）与（
﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜
时，则y1＜y2；②关于x 的一元二次方程
ax2﹣bx+c﹣m+1＝0 无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】①∵顶点坐标为（
，m），n＜
，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝
的对称点为（1﹣n，y1），
∴点（1﹣n，y1）与（
﹣2n，y2）在该抛物线上，
∵（1﹣n）﹣（
﹣2n）＝n﹣
＜0，∴1﹣n＜
﹣2n，
∵a＞0，∴当x＞
时，y 随x 的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（
，m）代入y＝ax2+bx+c 中，得m＝
a+
b+c，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0 中，
△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（
a+
b+c）﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0 无实数解，故此小题正确；故选：A．
【考点】二次函数的综合问题．
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
13.如图，抛物线
与x 轴一个交点为
，对称轴为直线
，则
时x 的范围是
【答案】
【解析】因为抛物线与x 轴的一个交点为（−2，0），对称轴为直线x=1，
所以抛物线另一个与x 轴的交点为（4，0），∴y＜0 时，−2＜x＜4.故选B．
【考点】二次函数的性质．
14．把二次函数y=x2﹣2x+3 的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数解析式为
．
【答案】y=﹣x2
2
﹣x
3
﹣．
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物
线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2
2
﹣x+3=（x
1
﹣）
2+2 的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）
2
2
﹣，即y=﹣x2
2
﹣x
3
﹣．
故答案为y=﹣x2
2
﹣x
3
﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
15．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
的一部分，如图所示，若球命中
篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 m．
【答案】4．
【解析】如图，把C 点纵坐标y=3.05 代入
中得: x=±1.5 (舍去负值),
即0B=1.5，所以l=AB=2.5+1. 5=4.
令把y=3.05 代入
中得:x1=1.5,x2=-1. 5(舍去)，
L=2.5+1.5=4 米.故答案为: 4.
【考点】二次函数的应用．
16.如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E、F、G、H 分别从点A、B、C、D 同时出发，均
以1cm/s 的速度向点B、C、D、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过
程中，当运动时间为______s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是________cm2．
【答案】 (1). 3 (2). 18
【解析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6
t
﹣，
根据题意得：S 四边形EFGH=S 正方形ABCD
4S
﹣
AEH
△
=6×6
4×
﹣
t（6
t
﹣）=2t2
12t+36=2
﹣
（t
3
﹣）
2+18，
∴当t=3 时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18．
【考点】二次函数的最值；正方形的性质．
17．已知关于x 的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0 有两个实数根x1，x2，且满足0＜x1＜1，1
＜x2＜2，则k 的取值范围是 ．
【答案】
＜k＜2
【分析】把已知条件转化为抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0 与x 轴的两交点的横坐标为x1，x2，
如图，利用函数图象得到当x＝0 时，y＞0，即﹣k+2＞0；当x＝1 时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜
0；当x＝2 时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0；然后分别解不等式，最后确定它们的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0 有两个实数根x1，x2，
∴抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0 与x 轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，
当x＝0 时，y＞0，即﹣k+2＞0，解得k＜2；
当x＝1 时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0，解得k＞
；
当x＝2 时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0，解得k＜
；
∴k 的范围为
＜k＜2．故答案为
＜k＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与
x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18、如图，抛物线
与
交于点A（1，3），过点A 作x 轴的平行线，
分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x 取何值，y2的值总是正数；②
；③当
x=0 时，y2-y1=6；④AB+AC=10；⑤
，其中正确结论的序号是：_____．
【答案】①②④⑤．
【解析】∵
，∴
，∴无论x 取何值，
的值总是正数，①正
确；
∵抛物线
与
交于点A（1，3），∴
，∴
，②
正确；
当x=0 时，
，
，当x=0 时，
，③错误；
当y=3 时，
，解得x=﹣5 或1，
，解得x=1 或5，即
AB+AC=10，④正确；
最小值为﹣3，
最小值为1，
，⑤正确，
综上正确的有①②④⑤，故答案为①②④⑤．
【考点】二次函数的性质．
三、解答题（共46 分）
19.（6 分）某商店经销《超级飞侠》 “乐迪”玩具，“乐迪”玩具每个进价60 元，每个玩具不得
低于80 元出售．销售“乐迪”玩具的单价
(元/个)与销售数量 (个)之间的函数关系如图所示．
（1）试解释线段AB 所表示的实际优惠销售政策；
（2）写出该店当一次销售 ( ＞10)个时，所获利润
（元）与 （个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：卖25 个赚的钱反而比卖30 个赚的钱多，你能用数学知识解
释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80 元至少
提高到多少元？
【分析】（1）利用待定系数法求线段AB 的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B
（30，80）代入上式得到关于k、b 的方程组，解方程组求出解析式；然后根据解析式解释线段AB
所表示的实际优惠销售政策即可。
（2）分类讨论：当10<n<30 时；当n≥30 时，根据题意分别写出w 与n 的函数关系式即可。
（3）先将W=-n2+50n 化成顶点式，根据二次函数的性质讨论增减性，可得出答案。
【解析】（1）解：(1)设m=kx+b，
把A(10,100)和B(30,80)代入上式，得
解之：
∴线段AB 的函数的解析式为m=−n+110(10≤n≤30)；
由解析式可知线段AB 所表示的实际优惠销售政策：一次性销售10 到30 个时，每多销售1 个，玩
具的单价下降1 元.
（2）解：(2)当10<n<30 时,W=(m−60)n=(−n+110−60)n=−n2+50n，
当n≤30 时,W=(80−60)n=20n.
（3）解：(3)W=−n2+50n=−(n−25)2+625，
①当10<n≤25 时，W 随n 的增大而增大，即卖的越多，利润越大；
②当25<n≤30 时，W 随n 的增大而减小，即卖的越多，利润越小；
∴卖25 个赚的钱反而比卖30 个赚的钱多。∴当n=25 时，m=−n+110=85，
∴当每个玩具不得低于85 元时，n 的位置范围为10<n≤25，函数图象都在最对称轴左侧，W 随n
的增大而增大，即卖的越多，利润越大，所以为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店
长应把最低价每个80 元至少提高到85 元。
20、（8 分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每
次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平
距离为
（米），与桌面的高度为
（米），运行时间为
（秒），经多次测试后，得到如下部分
数据：
（秒）
0[来源:学#科#网]
0．16
0．2
0．4
0．6
0．64
0
．
8
…
（米）
0
0．4
0．5
1
1．5
1．6
2
…
0
．
25
0．378
0．4
0
．
45
0．4
0．378
0
．
25
…
（米）
（1）当
为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，
与
满足
①用含
的代数式表示
；②球网高度为0．14 米，球桌长（1．4×2）米，若球弹起后，恰好有
唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求
的值．
【答案】（1）t 为0．4 秒；（2）
米；（3）
，
．
【解析】以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球水平运动方向为正方形，建立直角坐标系。
（1）由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
答:当t 为0.4 秒时，乒乓球达到最大高度.
（2）由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，可设y=a（x-1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=-
，则y=-
（x-1）2+0.45，
当y=0 时，0=-
（x-1）2+0.45，解得：x1=
，x2=-
（舍去），
即乒乓球与端点A 的水平距离是
m；
（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（
，0），
代入y=a（x-3）2+k，得（
-3）2a+k=0，化简得：k=-
a；
②∵球网高度为0.14 米，球桌长（1.4×2）米，
∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，
由题意可得，扣杀路线在直线y=
x 上，由①得，y=a（x-3）2-
a，
令a（x-3）2-
a=
x，整理得：20ax2-（120a+2）x+175a=0，
当△=（120a+2）2-4×20a×175a=0 时符合题意，解方程得：
，
，
当
时，求得
，不符合题意，舍去．
当
时，求得
，符合题意．
答：当
时，能恰好将球扣杀到点A．
【考点】平面直角坐标系、二次函数的实际应用．
【点评】 此题主要考查了二次函数对应用以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用图
表中数据得出函数解析式是解题关键．
21、（8 分）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售
、
两种型号的“手写板”，获利颇
丰．已知
型，
型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
型
型
根据市场行情，该销售商对
型手写板降价销售，同时对
型手写板提高售价，此时发现
型手
写板每降低
元就可多卖个，
型手写板每提高
元就少卖个，要保持每天销售总量不变，设其
中
型手写板每天多销售
个，每天总获利的利润为
元
（1）求
与
之间的函数关系式并写出
的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于
元，直接写出
的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个
型手写板，就捐
元给
因“新冠疫情”影响的困难
家庭，当
时，每天的最大利润为
元，求
的值．
【答案】（1）
（
），且x 为整数；（2）
，且
x 为整数；（3）
【分析】（1）设
型手写板每天多销售
个，则B 型手写板每天少销售
个，根据总获利的利润
等于销售A 型手写板所获利润加上销售B 型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每日的销量
都为非负数且
为非负整数求出x 的取值范围；
（2）结合（1）将总利润函数进行配方，求出当
时的x 值，结合图象得到每天的利润
不低于
元时的x 的取值范围，进而求解；
（3）设捐款后每天的利润为
元，则
，然后利用二次函数的性质进行求解．
【解析】（1）
，
化简得，
，由题意知，
，解得，
，
故
的取值范围为
且
为整数；
（2）
的取值范围为
，
理由如下：
，
当
时，
，
∴
，
，∴
或
，
要使
，由图象知，
；
，
，且
为整数；
（3）设捐款后每天的利润为
元，
则
，
对称轴为
，
，
，
抛物线开口向下，当
时，
随
的增大而增大，
当
时，
最大，
，
解得，
．
【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第
（2）（3）题可结合二次函数的图象进行求解．
22、（8 分）如图，抛物线顶点
，与
轴交于点
，与
轴交于点
，
.（1）求抛
物线的解析式.（2）
是物线上除点
外一点，
与
的面积相等，求点
的坐标.
（3）若
，
为抛物线上两个动点，分别过点
，
作直线
的垂线段，垂足分别为
，
.是否存在点
，
使四边形
为正方形？如果存在，求正方形
的边长；如果不
存在，请说明理由.
解：（1）设抛物线解析式为：
.
∵过
，∴
，∴
.∴
.
（2）
，
.直线
为
.∵
，∴
.
①过
作
交抛物线于
，又∵
，∴直线
为
.
.解得
；
.∴
.
②设抛物线的对称轴交
于点
，交
轴于点
.
，∴
.
过点
作
交抛物线于
，
.直线
为
.∴
.
解得
；
.∴
，
.
满足条件的点为
，
，
.
（3）存在满足条件的点
，
.如图，过
作
轴，过
作
轴交
于
，过
作
轴交
于
.则
与
都是等腰直角三角形.
设
，
，直线
为
.∵
，∴
.
∴
.
等腰
，∴
.
又∵
，∴
.如果四边形
为正方形，
∴
，∴
.∴
，∴
，
.
正方形边长为
，∴
或
.
23．（8 分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于
点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积
的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M，N，当△BMN 是等腰三角形时，直接写
出m 的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP 最大=
；（3）当△BMN 是等腰三角
形时，m 的值为
，﹣
，1，2．
【分析】：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，根据面
积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，解得
，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0 时，y=3，即点C（0，3），
设BC 的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得
，直线BC 的解析是为y=-x+3，
过点P 作PE∥y 轴
，
交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE= （-t2+3t）×3=- （t- ）2+
，∵- ＜0，∴当t= 时，S△BCP 最大=
.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3） MN=m2-3m，BM=
|m-3|，
当MN=BM 时，①m2-3m=
（m-3），解得m=
，
②m2-3m=-
（m-3），解得m=-
当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1 或m=3（舍）
当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2 或m=3（舍），
当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为
，-
，1，2．
【考点】二次函数综合题．
24.（8 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x 轴相交于A（﹣1，
0），B（3，0）两点，点C 为抛物线的顶点．点M（0，m）为y 轴上的动点，将抛物线绕点M 旋
转180°，得到新的抛物线，其中B、C 旋转后的对应点分别记为B'、C′．
（1）若原抛物线经过点（﹣2，5），求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C′的面积为40 时，求m 的值；
（3）探究a 满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形？请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）m＝4 或m＝﹣16；（3）a≥
时，存在点M，使得四边形
BCB'C′为菱形．
【分析】（1）根据原抛物线经过点（﹣2，5），A（﹣1，0），B（3，0），即可求出原抛物线的
函数表达式；（2）在（1）条件下，连接CC′、BB′，延长BC，与y 轴交于点E，证明四边形
BCB'C′是平行四边形，面积为40，即可求m 的值；（3）过点C 作CD⊥y 轴于点D，当平行四边形
BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M 在O、D 之间，当MB⊥MC 时，△MOB∽△CDM，得
MO•MD＝BO•CD．由二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，
0），可得CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，进而列出一元二次方程，根据判别式即可求
出a 满足的条件．
【解析】（1）由题意得：
，解得
，
∴原抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CC′、BB′，延长BC，与y 轴交于点E，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3 的顶点为（1，﹣4），∴C（1，﹣4），
∵B（3，0），∴直线BC 的解析式为：y＝2x﹣6．∴E（0，﹣6），
∵抛物线绕点M 旋转180°，∴MB＝MB′，MC＝MC′，
∴四边形BCB′C′是平行四边形，∴S△BCM＝
×40＝10，
∵S△BCM＝S△MBE﹣S△MCE＝
×（3﹣1）×ME＝ME，∴ME＝10，∴m＝4 或m＝﹣16；
（3）如图，过点C 作CD⊥y 轴于点D，
当平行四边形BCB'C′为菱形时，应有MB⊥MC，故点M 在O、D 之间，
当MB⊥MC 时，△MOB∽△CDM，∴
＝
，即MO•MD＝BO•CD．
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的顶点为（1，﹣4a），M（0，m），B（3，0），
∴CD＝1，MO＝﹣m，MD＝m+4a，OB＝3，∴﹣m（m+4a）＝3，∴m2+4am+3＝0，
∵△＝16a2﹣12≥0，a＞0，∴a≥
．
所以a≥
时，存在点M，使得四边形BCB'C′为菱形．
【点睛】本题考查二次函数综合题，中心对称变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似
三角形的判定和性质，一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题．
