文档文本内容
2.5 二次函数与一元二次方程
一、 选择题
1. 二次函数y＝ax 2 ＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b
的值为（ ）
A．－3
B．－1
C．2
D．5
2. 发射一枚炮弹，经过x 秒后炮弹的高度为y 米，x，y 满足y=ax 2 +bx，其中
a，b 是常数，且a≠0．若此炮弹在第6 秒与第14 秒时的高度相等，则炮弹达
到最大高度的时刻是（ ）
A．第8 秒
B．第10 秒
C．第12 秒
D．第15 秒
3. 已知二次函数y＝kx 2 －7x－7 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范
围为（ ）
A．k>－
B．k<－
且k≠0
C．k≥－
D．k>－
且k≠0
4. 函数
的图像如图所示，那么关于x 的方程
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
5. 如果抛物线 y ＝－ x 2 +2( m －1) x + m +1 与 x 轴交于 A 、 B 两点
且 A 点在 x 轴正半轴上， B 点在 x 轴的负半轴上，则 m 的取值范围应是
（ ）
A． m ＞1 B． m ＞－1 C． m ＜－1 D． m ＜1
6. 根据下列表格中的对应值，判断 y ＝ ax 2 + bx + c ( a ≠0， a 、 b 、
c 为常数)与 x 轴的交点的横坐标的取值范围是（ ）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y ＝ ax 2 + bx +
c
－0.69
－0.02
0.03
0.36
A．0＜ x ＜3.23 B．3.23＜ x ＜3.24
C．3.24＜ x ＜3.25 D．3.25＜ x ＜3.26
7. 若二次函数y=Ax 2 +C，当x 取x 1 ，x 2 （x 1 ≠x 2 ）时函数值相等，则当x
取x 1 +x 2 时，函数值为（ ）
A．A+C
B．A-C
C．-C
D．C
8. 已知二次函数
的图象与x 轴的一个交点为（1，
0）则关于x 的一元二次方程
的两实数根是（ ）
A．
B．
C．
D．
9. 若关于x 的二次函数
与 x 轴只有一个交点，则实数k 的
值为（ ）
A．－1
B．－2
C．1
D．2
10. 已知抛物线 y ＝ x 2 －2 bx +4 的顶点在 x 轴上，则 b 的值一定是（
）
A．1 B．2 C．－2 D．2 或－2
11. 二次函数 y ＝ x 2 －3 x +
的图象与 x 轴交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
二、填空题
12. 已知抛物线
与x 轴有两个交点，那么一元二次方程
的根的情况是 .
13. 已知二次函数
，若当x 取
，
（
≠
）时，函数值
相等，则当x 取
+
时，函数值为
.
14. 已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x 轴的一个交点为
则它
与x 轴的另一个交点
为_______________．
15. 二次函数y=x 2 +2x+k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x
2 +2x+k=0 的一个解x 1 =3，另一个解x 2 =
16. 在二次函数y=x 2 +bx+c 中，若系数b 和c 可在1，2，3，4，5，6 中取值，则
其中与x 轴有交点的抛物线的个数是_________________.
17. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用时间x(分)之
间满足关系y=-0.1x 2 +2.6x+43(0≤x≤30),y 值越大，表示接受能力越强，
在第______________分钟时，学生接受能力最强.
三、解答题
18. 利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根.
(1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0;
(3)2x2-6x+3=0; (3)x2-x-1=0.
19. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°， BC∥x 轴，抛物线y=ax 2 －2ax＋3 经过
△ABC 的三个顶点，并且与x 轴交于点D、E，点A 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使△PCD 为直角三角形，若
存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
20. 已知关于x 一元二次方程
有两个不相等
的实数根
（1）求k 取值范围；
（2）当k 最小的整数时，求抛物线
的顶点坐标
以及它与x 轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的
其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线
有三个不同公共点时m 值．
21. 已知过原点O 的两直线与圆心为M（0，4），半径为2 的圆相切，切点分别
为P、Q，PQ 交y 轴于点K，抛物线经过P、Q 两点，顶点为N（0，6），且与x 轴交
于A、B 两点．
（1）求点P 的坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在直线y=nx+m 中，当n=0，m≠0 时，y=m 是平行于x 轴的直线，设直线y=m
与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M 相切时，求点A、B、C、D 围成的多边形
的面积（结果保留根号）．
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
答案
一、选择题
1、 B. 2、 B 3、 D 4、 C． 5、B 6、C 7、 D 8、 B. 9、 A．
10、D 11、C
二、填空题
12、 有两个不相等的实数根
13、 -3
14、 （5.5，0）
15、 -1
16、19
17、13
三、解答题
18、(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;
(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0.6
19、（1）∵y=ax 2 －2ax＋3
∴它的对称轴为直线x=
令x=0，则y=3,
∴B（0，3）
根据抛物线的对称性知：C（2，3），A（1，4）
把A（1，4）代入y=ax 2 －2ax＋3，得：a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3；
（2）存在.分两种情况：
（1）当CD 为直角边时，设P（1，a）：
i)当点P 在x 轴上方时，DP=
，CP=
，
，
∵CD 2 +CA 2 =AD 2
∴18+2=4+a 2
即：a 2 =16
解得a=±4（负舍去）
∴a=4
ii)当点P 在x 轴下方时，CD 2 +DP 2 =CP 2
∴
www.youyi100.com
第 5 页 共 9 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
解得：a=-2
(2)当CD 为斜边时，同理可以得出：a=
综上所述，点P 的坐标分别为：P 1 (1，4) P 2 (1，-2)
20、（1）由题意，得
，
∴k＞-1，
∴k 的取值范围为k＞-1.
（2）∵k＞-1，且k 取最小的整数，∴k=0．
∴
.
则抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
∵
的图象与x 轴相交，
∴
，∴解得：x=-1 或3.
∴抛物线与x 轴相交于A（-1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y=x+m 知：直线位于l1 和l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l 1 时，此时l 1 过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．
②当直线位于l 2 时，此时l 2 与函数
的图象有一个公共点，
∴方程x+m=-x 2 +2x+3，即x 2 -x-3+m=0 有两个相等实根.
∴△=1-4（m-3）=0，即m=
．
当m=
时，x 1 =x 2 =
满足-1≤x≤3，
www.youyi100.com
第 6 页 共 9 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
由①②知m=1 或m=
．
考点：1.抛物线与x 轴的交点；2.二次函数图象与几何变换；3.一元二次方程根
的判别式；4.分类思想的应用．
21、（1）如图1，
∵⊙M 与OP 相切于点P，
∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．
∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，
∴OP=2
．
∵⊙M 与OP 相切于点P，⊙M 与OQ 相切于点Q，
∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．
∴OK⊥PQ，QK=PK．
∴PK=
．
∴OK=
=3．
∴点P 的坐标为（
，3）．
（2）如图2，
www.youyi100.com
第 7 页 共 9 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax 2 +6，
∵点P（
，3）在抛物线y=ax 2 +6 上，
∴3a+6=3．
解得：a=1．
则该抛物线的解析式为y=x 2 +6．
（3）当直线y=m 与⊙M 相切时，
则有
=2．
解得；m 1 =2，m 2 =6．
①m=2 时，如图3，
则有OH=2．
当y=2 时，解方程x 2 +6=2 得：x=±2，
则点C（2，2），D（2，2），CD=4．
同理可得：AB=2
．
则S 梯形ABCD =
（DC+AB）OH=
×（4+2
）×2=4+2
．
www.youyi100.com
第 8 页 共 9 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
②m=6 时，如图4，
此时点C、点D 与点N 重合．
S △ABC =
ABOC=
×2
×6=6
．
综上所述：点A、B、C、D 围成的多边形的面积为4+2
或6
．
www.youyi100.com
第 9 页 共 9 页
