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专题突破练(分值:73 分)
学生用书
P137
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.函数f(x)=log2x+x2+m 在区间(2,4)内存在零点,则实数m 的取值范围是( )
A.(-∞,-18)
B.(5,+∞)
C.(5,18)
D.(-18,-5)
答案D
解析函数f(x)在区间(2,4)内的图象是连续不断的,且为增函数,则根据零点存在定理可知,只需满足
f(2)·f(4)<0,
即(m+5)(m+18)<0,解得-18<m<-5,
所以实数m 的取值范围是(-18,-5).故选D.
2.当a>1 时,在同一直角坐标系中,函数y=a-x与y=logax 的图象是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析依题意可将指数函数y=a-x化为y=(
1
a)
x
,由a>1 可知0<1
a
<1,由指数函数性质可得y=(
1
a)
x
为减
函数,且过定点(0,1),即可排除B,D,由对数函数性质可得y=logax 为增函数,且过定点(1,0),排除C.故选
A.
3.(2024·北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是( )
A.log2 y1+ y2
2
> x1+ x2
2
B.log2 y1+ y2
2
< x1+ x2
2
C.log2 y1+ y2
2
>x1+x2 D.log2 y1+ y2
2
<x1+x2
答案A
解析(方法一)∵y1=2
x1,y2=2
x2,∴y1+y2=2
x1+2
x2>2√2
x1·2
x2=2·
2
x1+ x2
2 ,
∴log2 y1+ y2
2
>log22
x1+ x2
2 = x1+ x2
2
.故选A.
(方法二 特值法)令x1=1,则y1=2,令x2=3,则y2=8.
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log2 y1+ y2
2
=log22+8
2
=log25>log24=2= x1+ x2
2
.故选A.
4.2024 年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务,其中,中国空间
站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成
正比,当空间站运行周期增加1 倍时,其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据:ln
2≈0.693,e0.462≈1.587)( )
A.1.587
B.1.442
C.0.587
D.0.442
答案C
解析由空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比,可设T2=kR3(k≠0),当空间站运行周期增
加1 倍时,设此时半径为R1,则(2T)2=kR1
3,两式相比得4=(
R1
R )
3
,
即ln 4=ln(
R1
R )
3
,lnR1
R = 2ln 2
3
≈0.462,
故R1
R
≈e0.462≈1.587,故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587.
故选C.
5.设正实数a,b,c 分别满足a·ea=b·ln b=c·lg c=1,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
答案C
解析由a·ea=b·ln b=c·lg c=1,
得1
a
=ea,1
b
=ln b,1
c
=lg c,
分别作函数y=ex,y=ln x,y=lg x 的图象如图所示,
它们与函数y=1
x
的图象交点的横坐标分别为a,b,c,由图象可得a<b<c.故选C.
6.(2024·广东湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则( )
A.当g(x)有2 个零点时,f(x)只有1 个零点
B.当g(x)有3 个零点时,f(x)有2 个零点
C.当f(x)有2 个零点时,g(x)有2 个零点
D.当f(x)有2 个零点时,g(x)有4 个零点
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答案D
解析作出y=m(x)=|2x-1|,y=n(x)=x2-4|x|+2 的大致图象如图所示.
两个函数的零点个数转化为y=m(x),y=n(x)的图象与y=a 的图象的交点个数,
由图可知,当g(x)有2 个零点时,f(x)无零点或只有1 个零点;
当g(x)有3 个零点时,f(x)只有1 个零点;
当f(x)有2 个零点时,g(x)有4 个零点.
故选D.
7.(2024·湖南长沙一模)函数f(x)=ax3-ax2+bx(a,b∈R)有3 个零点的充分不必要条件是( )
A.a≠0,且a>4b
B.a>0,且a>4b
C.a<0,且a>4b,b≠0
D.a<0,且a<4b,b≠0
答案D
解析f(x)=ax3-ax2+bx=x(ax2-ax+b),有f(0)=0,若f(x)有三个零点,则有a2-4ab>0 且a≠0,b≠0,故函数
f(x)=ax3-ax2+bx(a,b∈R)有3 个零点的充要条件为a2-4ab>0 且a≠0,b≠0,对于A,a≠0,且a>4b,则当a<0
时,有a2<4ab,不符,故A 错误;对于B,可能b=0,不符,故B 错误;对于C,a<0 且a>4b,b≠0,则a2<4ab,不符,
故C 错误;对于D,a<0,且a<4b,b≠0,则a2>4ab,即由a<0,且a<4b,b≠0 能得到a2-4ab>0 且a≠0,b≠0,但
a2-4ab>0 且a≠0,b≠0 并不意味着a<0,且a<4b,b≠0,故a<0,且a<4b,b≠0 是a2-4ab>0 且a≠0,b≠0 的充分
不必要条件.故选D.
8.(2024·陕西榆林二模)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(
4
x
3-m-1)恰有3 个零点,则整数m 的取值个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案B
解析令f(x)=(x2-4x+m)(
4
x
3-m-1)=0,得m=-x2+4x 或m=
4
x
3-1.作出g(x)=-x2+4x,h(x)=
4
x
3-1 的大致图象,如
图所示,
这两个函数的图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,
所以由图可知m 的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1 或2,个数为2.故选B.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
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9.(2024·辽宁二模)半导体的摩尔定律认为,集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年,用f(t)表示
从t=0 开始,晶体管数量随时间t 变化的函数,若f(0)=1 000,则下面选项中,符合摩尔定律公式的是(
)
A.若t 是以月为单位,则f(t)=1 000+1 000
24
t
B.若t 是以年为单位,则f(t)=1 000×(√2)t
C.若t 是以月为单位,则lg f(t)=3+lg2
24
t
D.若t 是以年为单位,则lg f(t)=3+lg(
3
2 t +1)
2
答案BC
解析选项A,f(24)=2 000=2f(0),f(48)=3 000≠2f(24),A 不符合;选项B,f(2)=2 000=2f(0),f(4)=4
000=2f(2),f(2n)=1 000×2n,n∈N*,符合;选项C,lg f(t)=3+lg2
24
t,则f(t)=10
3+ lg2
24 t=1 000×2
t
24,f(24)=2×1
000,f(48)=4 000=2f(24),f(24n)=1 000×2n,n∈N*,符合;选项D,lg f(t)=3+lg(
3
2 t +1)
2
,f(t)=1 000×
(
3
2 t +1)
1
2,f(2)=2×1 000=2f(0),f(4)=1 000×7
1
2≠2f(2),不符合.故选BC.
10.已知log2(x+1)=log2(x-1)+log5x,log5(y+1)=log5(y-1)+log2y,则( )
A.x+y>7
B.x+y<7
C.2x<5y
D.2x>5y
答案BC
解析由已知,得x>1,y>1.令m=log5x,则x=5m,所以log2(5m+1)=log2(5m-1)+m,
所以log2(5m+1)=log2(5m-1)+log22m=log2[(5m-1)2m],
所以5m+1=10m-2m.
等式两边同时除以10m,得2-m+10-m=1-5-m,
即2-m+5-m+10-m-1=0.
同理,令n=log2y,有2-n+5-n+10-n-1=0.
所以m,n 是方程2-x+5-x+10-x-1=0 的两个实根.
设f(x)=2-x+5-x+10-x-1,则易知f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,所以m=n.
又因为f(0)=2>0,f(1)=-0.2<0,
所以m,n∈(0,1).故log5x=log2y,且1<x<5,1<y<2,
所以x+y<7.
又2 x
5 y = 2×5
m
5×2
n = 5
m-1
2
n-1 =(
5
2)
m-1
<1,
所以2x<5y.故选BC.
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11.(2024·江西宜春模拟预测)已知函数f(x)={
2-|lo g1
2
x|,0< x ≤2,
- x
2+8 x -11, x>2,
g(x)=f(x)-a,则
( )
A.若g(x)有2 个不同的零点,则2<a<5
B.当a=2 时,g(f(x))有5 个不同的零点
C.若g(x)有4 个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则x1x2x3x4的取值范围是(12,13)
D.若g(x)有4 个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则ax1x2+ x3+ x4
a
的取值范围是(6,9)
答案BCD
解析由函数f(x)={
2-|lo g2 x|,0< x ≤2,
- x
2+8 x -11, x>2,
可得f(x)={
2+lo g2 x,0< x ≤1,
2-lo g2 x,1< x ≤2,
- x
2+8 x -11, x>2,
作出f(x)的图象,如图所
示.
对于A,由g(x)=f(x)-a=0,可得f(x)=a,若g(x)有2 个不同的零点,
结合图象知a<1 或2<a<5,故A 错误;
对于B,当a=2 时,由g(f(x))=0,可得f(f(x))=2,
令t=f(x),则有f(t)=2,可得t1=1,t2=4-√3,t3=4+√3,
结合图象知,t1=f(x)有3 个不相等的实数根,t2=f(x)有2 个不相等的实数根,t3=f(x)没有实数根,
所以g(f(x))有5 个不同的零点,故B 正确;
对于C,若g(x)有4 个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),
则1<a<2,且2+log2x1=2-log2x2,则x1x2=1,
由二次函数图象的对称性得x3+x4=8,则x1x2x3x4=x3x4=x3(8-x3),
结合B 知x3∈(2,4-√3),所以x3(8-x3)∈(12,13),所以x1x2x3x4的取值范围为(12,13),所以C 正确;
对于D,由ax1x2+ x3+ x4
a
=a+8
a
,其中1<a<2,
由对勾函数的性质,可得h(a)=a+8
a
在(1,2)上单调递减,可得a+8
a
∈(6,9),所以ax1x2+ x3+ x4
a
的取值范
围为(6,9),所以D 正确.故选BCD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
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12.(2024·云南曲靖一模)如图,在第一象限内,矩形ABCD 的三个顶点A,B,C 分别在函数y=log√3
3
x,y=
x
1
3
,y=(
√3
3 )
x
的图象上,且矩形的边分别与两坐标轴平行,若点A 的纵坐标是2,则点D 的坐标是
.
答案(
1
3 , 1
81)
解析由题意,A,B 纵坐标都为2,则点B 的横坐标为8,即点C 的横坐标为8,点A 的横坐标为(
√3
3 )
2
= 1
3
,
点C 的纵坐标为(
√3
3 )
8
= 1
81
,由ABCD 为矩形及题图知点D 的坐标是(
1
3 , 1
81).
13.(2024·河南二模)已知函数f(x)是偶函数,对任意x∈R,均有f(x)=f(x+2),当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则函
数g(x)=f(x)-log5(x+1)的零点有 个.
答案4
解析函数f(x)是偶函数,说明函数f(x)的图象关于y 轴对称,f(x)=f(x+2)说明f(x)的周期是2,在同一平面
直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=log5(x+1)的图象,如图所示,共有4 个不同的交点,即
g(x)=f(x)-log5(x+1)有4 个零点.
14.(2024·陕西西安一模)f(x)={
e
x+1, x ≤0,
1
x , x>0,
若y=f(f(x)+1)-k 有两个零点,则实数k 的取值范围是
.
答案[
1
3 , 1
2)
解析易知函数y=ex在R 上单调递增,函数y=1
x
在(0,+∞)上单调递减,
所以,当x≤0 时,1<ex+1≤2,当x>0 时,1
x
>0,于是函数f(x)的值域为(0,+∞).
又函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,函数图象如图所示.
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设t=f(x)+1,由f(x)>0 可知,t>1,则f(t)=1
t
.因为y=f(f(x)+1)-k 有两个零点,所以f(t)-k=0,即1
t
=k,
于是t=1
k
>1,则方程t=f(x)+1=1
k
,即f(x)=1
k
-1 有两个零点,所以,由f(x)的图象可知,使方程f(x)=1
k
-1 有
两个零点,则满足{
1
k >1,
1< 1
k -1≤2,
解得1
3
≤k<1
2
.
综上,实数k 的取值范围是[
1
3 , 1
2).
