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专题突破练(分值:73 分)
学生用书
P197
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·广东佛山模拟)设直线l:x-2y-a2=0,圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,则l 与圆C( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上都有可能
答案C
解析圆C:(x-1)2+(y-2)2=1 的圆心为C(1,2),半径为r=1,则圆心C 到直线l 的距离d=
|1- 4 -a
2|
√5
= 3+a
2
√5 ≥3
√5
>1=r,因此直线l 与圆C 相离.故选C.
2.(2024·浙江宁波期末)已知点(2,3)在圆x2+y2=r2(r>0)上,直线2x-3y-m=0(m>0)被该圆截得的弦长为2,
则m=( )
A.√39
B.2√39
C.2
D.√3
答案B
解析由题知22+32=r2,∴r=√13.∵圆心(0,0)到直线2x-3y-m=0 的距离d=|2×0-3×0-m|
√2
2+(-3)
2
=|m|
√13
,∴(|m|
√13
)2+12=(√13)2,又m>0,解得m=2√39.故选B.
3.(2024·山西吕梁二模)已知A,B 分别是圆C1:x2+y2=1 与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)上的动点,若|AB|的
最大值为12,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案D
解析圆C1:x2+y2=1 的圆心为C1(0,0),半径为r=1,圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)的圆心为C2(a,4),半径为
R=6.由题意知|AB|的最大值等于12,则圆C1与圆C2内切,所以|O1O2|=√a
2+ 4
2=6-1=5.又a≥0,所以
a=3.故选D.
4.(2024·安徽合肥模拟)若圆x2+y2=1 上总存在两个点到点(a,2)的距离为3,则实数a 的取值范围是
( )
A.(2,4)
B.(0,4)
C.(-2√3,2√3)
D.(-2√3,0)∪(0,2√3)
答案D
解析因为圆x2+y2=1 上总存在两个点到点(a,2)的距离为3,所以圆x2+y2=1 与以(a,2)为圆心,3 为半径
的圆有2 个公共点,则圆x2+y2=1 与圆(x-a)2+(y-2)2=9 相交,所以3-1<√a
2+ 4<3+1,即2<√a
2+ 4<4,解
得-2√3<a<2√3且a≠0,即实数a 的取值范围是(-2√3,0)∪(0,2√3).故选D.
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5.(2024·四川成都模拟)已知直线l:y=kx+3 与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4 交于A,B 两点,若⃗CA ·⃗CB=-2,则k=(
)
A.-3
4
B. 3
4
C. 1
2
D.-1
2
答案A
解析因为⃗CA ·⃗CB=|⃗CA||⃗CB|cos∠ACB=4cos∠ACB=-2,所以cos∠ACB=-1
2
,∠ACB=2π
3
,所以圆心
C(1,1)到直线l 的距离为1,即|k +2|
√1+ k
2 =1,解得k=-3
4 .故选A.
6.(2024·广东湛江联考)已知P(x0,y0)是l:x+y-6=0 上一点,过点P 作圆O:x2+y2=16 的两条切线,切点分
别为A,B,则当直线AB 与l 平行时,直线AB 的方程为( )
A.x+y=4
B.x+y=8
C.3x+3y=16
D.3x+3y=8
答案C
解析以OP 为直径的圆的方程为(x- x0
2
)2+(y- y0
2
)2= x0
2+ y0
2
4
,又圆O:x2+y2=16,两圆方程相减可得两切点
所在直线AB 的方程为x0x+y0y=16.由{
x0+ y0-6=0,
- y0
x0
=-1,
可得{
x0=3,
y0=3,则直线AB 的方程为3x+3y=16.
故选C.
7.(2024·山东聊城二模)若圆C1:x2+y2=1 与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4 恰有一条公切线,则下列直线一定不经
过点(a,b)的是( )
A.2x+y-√2=0
B.2x-y+2=0
C.x+y-√2=0
D.x-y+2=0
答案D
解析圆C1:x2+y2=1 的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4 的圆心C2(a,b),半径r2=2,若圆C1与
圆C2恰有一条公切线,则两圆内切,所以|C1C2|=|r1-r2|,即√a
2+b
2=1,所以点(a,b)的轨迹为圆x2+y2=1.选
项A,B 中的直线与圆x2+y2=1 相交,直线必经过点(a,b),选项C 中的直线与圆x2+y2=1 相切,直线必经
过点(a,b),但选项D 中的直线与圆x2+y2=1 相离,直线不经过点(a,b).故选D.
8.(2024·福建宁德模拟)已知直线l1:mx+y+4=0 与直线l2:x-my-6-4m=0 交于点P(x0,y0),则x0
2+ y0
2的最大
值为( )
A.4
B.8
C.32
D.64
答案D
解析由题意知,直线l1:mx+y+4=0 恒过定点B(0,-4).直线l2:x-my-6-4m=0,即x-m(y+4)-6=0,恒过定点
A(6,-4).当m=0 时,直线l2的斜率不存在,直线l1的斜率k1=0,则l1⊥l2.当m≠0 时,k1=-m,k2= 1
m
,k1·k2=-1,则
l1⊥l2.综上,直线l1恒过定点B(0,-4),直线l2恒过定点A(6,-4),且l1⊥l2.因为直线l1与直线l2交于点
P(x0,y0),所以点P 在以AB 为直径的圆上,线段AB 的中点坐标为C(3,-4),且|AB|=6,则点P 的轨迹方程
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为(x-3)2+(y+4)2=9(除点(0,-4)外),圆C 的半径r=3,因为x0
2+ y0
2表示圆C 上的点到原点O 距离的平方,
设d=√x0
2+ y0
2,则dmax=r+|OC|=8,所以x0
2+ y0
2的最大值为64.故选D.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·浙江温州模拟)已知圆C1:x2+y2=6 与圆C2:x2+y2+2x-a=0 相交于A,B 两点,若S△C1 AB=2S△C2 AB,
则实数a 的值可以是( )
A.10
B.2
C. 22
3
D. 14
3
答案BD
解析两圆方程相减,可得弦AB 所在的直线方程为2x+6-a=0.圆C1:x2+y2=6 的圆心C1(0,0),圆
C2:x2+y2+2x-a=0 的圆心C2(-1,0),设圆心C1(0,0)与圆心C2(-1,0)到直线AB 的距离分别为d1,d2.因为
S△C1 AB=2S△C2 AB,即1
2
|AB|·d1=2× 1
2
|AB|·d2,所以d1=2d2.又d1=|6-a|
√2
,d2=|4 -a|
√2
,所以|6-a|
√2
=2
×|4 -a|
√2
,化简可得3a2-20a+28=0,即(3a-14)(a-2)=0,解得a=2 或a=14
3 .故选BD.
10.(2024·湖南长沙模拟)已知直线l:(m-1)x-2my+m+1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=9 交于A,B 两点,线段AB
的中点为M,则下列结论正确的有( )
A.直线l 恒过定点(1,1)
B.|AB|的最小值为√7
C.△OAB 面积的最大值为2
D.点M 的轨迹所包围的图形面积为π
2
答案AD
解析对于A,直线方程可化为l:m(x-2y+1)+(1-x)=0,则直线l 恒过定点P(1,1),故A 正确:对于B,设弦心
距为d,结合A 可知d≤√1
2+1
2=√2,|AB|=2√9-d
2≥2√7,当OP⊥l 时,等号成立,故B 错误;对于
C,△OAB 的面积S=1
2
|AB|·d=d√9-d
2=√-(d
2- 9
2 )
2+ 81
4
,当d=√2时,Smax=√14,故C 错误;对于D,易
知当点M 不与点P 重合时,MO⊥MP,又点M 可与点P 重合,所以点M 的轨迹为以OP 为直径的圆(不
包括圆心O),|OP|=√1
2+1
2=√2,则此圆的面积为π
2
,故D 正确.故选AD.
11.(2024·广东深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中,圆C:x2+y2=1,P 为直线l:x-y-2=0 上的动点,则下列
说法正确的有( )
A.圆C 上有且仅有两个点到直线l 的距离为1
4
B.圆C 与圆x2+y2-6x-8y+m=0 恰有三条公切线,则m=9
C.过点P 作圆C 的一条切线,切点为Q,∠OPQ 可以为60°
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D.过点P 作圆C 的两条切线,切点为M,N,则直线MN 恒过定点1
2,-1
2
答案BD
解析对于A,由题知,圆心O(0,0)到直线l 的距离为d=|-2|
√1
2+(-1)
2 =√2,圆C 的半径为1,由1
4 <√2-1,
知圆C 上不存在点到直线l 的距离为1
4
,故A 错误;
对于B,x2+y2-6x-8y+m=0 整理得(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心为(3,4),半径为√25-m(m<25),由题可知两圆
外切,则√3
2+ 4
2=1+√25-m,解得m=9,故B 正确;
对于C,由切点为Q,知∠OQP=90°,则在Rt△OQP 中,sin∠OPQ=|OQ|
|OP| =
1
|OP|
,当|OP|最小
时,sin∠OPQ 取最大值,∠OPQ 最大,过点O 作OP'⊥l,垂足为P',如图,此时|OP|最小,最小值为|OP'|=
|-2|
√2 =√2,即sin∠OPQ 最大值为√2
2
,∠OPQ 最大为45°,不可能为60°,故C 错误;
对于D,设点P(x0,y0),切点M(x1,y1),N(x2,y2),如图,可得切线MP 的方程为x1x+y1y=1,由点P 在切线上,得
x1x0+y1y0=1,同理可得x2x0+y2y0=1,故点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线x0x+y0y=1 上,即直线MN 的方程为
x0x+y0y=1,又由点P(x0,y0)在直线l:x-y-2=0 上,则y0=x0-2,代入直线MN 的方程整理得(x+y)x0-2y-1=0,由
{
x + y =0,
-2 y -1=0,
解得{
x = 1
2 ,
y =- 1
2 ,
即直线MN 恒过定点(1
2
,-1
2
),故D 正确.故选BD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·湖南常德三模)已知曲线f(x)=xln x-1 在x=1 处的切线l 与圆C:(x-1)2+y2=9 相交于A,B 两点,
则|AB|= .
答案√34
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解析由f(x)=xln x-1,得定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1,则切线l 的斜率k=f'(1)=1,又f(1)=ln 1-1=-1,所以
切线方程为y-(-1)=x-1,化简为x-y-2=0.又因为圆C 的圆心C(1,0),半径r=3,设圆心C 到直线l 的距离
为d,则d=|1-0-2|
√2
= √2
2
,所以|AB|=2√r
2-d
2=2×√9- 1
2 =√34 .
13.(2024·湖北武汉二模)已知直线l:(m+1)x-y-2m=0(m∈R)与圆C:x2+2x+y2=0 相交于A,B 两点,则当
△ABC 的面积最大时,m 的值为 .
答案0 或-10
17
解析由圆C:x2+2x+y2=0,得圆心C(-1,0),半径R=1.因为S△ABC=1
2
|CA||CB|sin∠ACB=1
2
sin∠ACB,所以
当△ABC 的面积最大时,∠ACB=π
2
,此时|AB|=√2,则△ABC 为等腰直角三角形,则圆心C 到直线l:
(m+1)x-y-2m=0(m∈R)的距离为√2
2 .由点到直线的距离公式得|-m-1-2m|
√(m+1)
2+(-1)
2 = √2
2
,解得m=0
或m=-10
17 .
14.(2024·江苏徐州模拟)已知点A(1,0),B(5,0),若⃗PA ·⃗PB≤4,则点P 到直线3x-y+1=0 的距离的最小值
为 .
答案√10-2√2
解析设点P(x,y),则⃗PA=(1-x,-y),⃗PB=(5-x,-y),由⃗PA ·⃗PB≤4,得(x-1)(x-5)+y2≤4,即(x-3)2+y2≤8,则点P 的
轨迹是以点C(3,0)为圆心,2√2为半径的圆及内部,点C(3,0)到直线3x-y+1=0 的距离d=
|3×3-0+1|
√3
2+(-1)
2 =√10>2√2,所以点P 到直线3x-y+1=0 距离的最小值为d-2√2=√10-2√2.
