53.数列增减项问题及应用
一．基本原理
1.添加项问题
给定两个数列
，增添项问题一般的形式为在数列
中，将第
项之间插
}
{
},
{
n
n
b
a
}
{
na
1
,
k
k a
a
入
个（
个）相同的数，或者其他的形式，构成一个新的数列
，求数列
的前
k
kb
}
{ nc
}
{ nc
r
项和.
此时求和的方法就是分组（并项）求和，需要解决两个关键点：第一个是数列
的前
}
{ nc
r
项和有多少
，第一个是数列
的前
项和有多少个插入项，第一个问题很好计数，
}
{
na
}
{ nc
r
第二个问题就涉及到先对
求和，估计出最大的
值，然后再确定会有多少个
，最
}
{ kb
k
}
{
na
后分组求和即可.
特别地，在求和项数较少的条件下，枚举也是一个很好的方法.
2.删减项问题
给定两个数列
，删减项问题一般的形式为在数列
中，删掉
后构成一个
}
{
},
{
n
n
b
a
}
{
na
}
{ nb
新的数列
，这个
中，有可能只是
中的个别项被删掉（类似函数的交点问
}
{ nc
}
{ nc
}
{
na
题），或者有明显的规律，核心就是做估计和找规律.
3.方法点拨：这类问题把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相
关数列的求和公式分组求和即可.
二．典例分析
例1．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社
区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18 名学
生，以后每批增加6 人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体
规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为
，在数列
的任意相邻两
na
na
项
与
之间插入
个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列
．按新
ka
1(
1,2,
)
ka
k
3k
nb
数列
的各项依次派遣支教学生．记
为派遣了50 批学生后参加公益活动学生的总
nb
50
S
数，则
的值为（ ）
50
S
A．198
B．200
C．240
D．242
解析：由已知原计划第一批派遣18 名学生，以后每批增加6 人．所以数列
为等差数
na
列，且
，数列
的公差
，所以
,数列
为数列
的任意相邻
1
18
a
na
6
d
6
12
na
n
nb
na
两项
与
之间插入
个2 所得，所以数列
满足条件，
，当
ka
1(
1,2,
)
ka
k
3k
nb
1
18
b
时，
，
2
4
n
2
nb
，当
时，
，
，当
时，
，
，当
5
24
b
6
14
n
2
nb
15
30
b
16
42
n
2
nb
43
36
b
时，
，所以数列
的前
项的和为
，故
44
50
n
2
nb
nb
50
18
24
30
36
46 2
200
选：B.
例2．已知数列
满足
，在
，
之间插入首项为
，公差为
na
1
n
na
ka
*
1
N
ka
k
1
ka
k
的等差数列的前
项，构成数列
，记数列
的前n 项和为
，则
（ ）
1
k
k
nb
nb
n
S
230
S
A．105
B．125
C．220
D．240
解析：由题意可得数列
为：
nb
1
1
2
2
2
3
3
3
3
1
1
1
1
1
,
1,
,
,
2,
,
,
2,
3,
2
2
3
3
3
a a
a a
a
a a
a
a
，记数列
中
及其后连续
项的和为
1
1
1
1
,
,
,
,
(
1),
,
,
k
k
k
k
k
a a
a
k
a
k a
k
k
k
nb
ka
k
，
kc
则
，
1
1
1
1
1
1
1
2
2
k
k
k
k k
k
k
c
k
k
则
230
1
2
3
20
1
2
3
4
5
20
21
2
3
4
21
2
S
c
c
c
c
.故选：B.
20
2
21
1
10
125
2
2
例3．已知数列
满足
，在
和
之间插入
个1，构成数列
：
na
2n
na
na
1
na
n
nb
，则数列
的前18 项的和为（ ）
1
2
3
4
1,
1,1,
1,1 ,
,
,
,
,
,1
a
a
a
a L
nb
A．43
B．44
C．75
D．76
解析：在
，
之间插入
个1，构成数列
，所以共有
na
1
na
n
1
2
3
4
:
1,
1,1,
1
,
,
,1 ,
,
,1 ,
nb
a
a
a
a
个数，当
时，
，
2
(
1)(1
1)
1
[1
2
(
1)]
(
)
2
2
n
n
n
n
n
n
n
5
n
2
1
5
5
15
2
当
时，
，由于
，所以
6
n
2
1
6
6
21
2
2n
na
．故选：C.
5
18
1
2
5
2 1
2
(
)
(18
5) 1
13
75
1
2
S
a
a
a
例4．已知数列
的各项均为正数，且
，对于任意的
，均有
，
na
1
1
a
*
nN
1
2
1
n
n
a
a
.若在数列
中去掉
的项，余下的项组成数列
，则
2
2log
1
1
n
n
b
a
nb
na
nc
（ ）
1
2
20
c
c
c
A．599
B．
C．554
D．568
569
解析：因为
，所以
，又因为
，所以
，
1
2
1
n
n
a
a
1
1
2(
1)
n
n
a
a
1
1
2
a
1
1
2
1
n
n
a
a
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，所以
，即
，
1
na
1
2n
na
2
1
n
na
所以
，
，所以数列
是
2
2
2log
1
1
2log
1
2
1
1
2
1
n
n
n
b
a
n
1
1
1,
2
n
n
b
b
b
nb
首项为1，公差为2 的等差数列，即
，所以
，
，由
2
1
nb
n
1
1
1
b
a
16
25
9
31,
4
b
b
得
，所以
，所以
2
1
n
na
5
6
31,
63
a
a
2
16
5
5
6
5
31,
b
a
a
b
a
1
2
20
1
2
25
1
2
5
(
)
(
)
c
c
c
b
b
b
a
a
a
.故选：D.
5
1
2
5
25 (1
49)
2 (1 2 )
[(2
2
2 )
5]
625
5
568
2
1 2
例5．已知数列
的通项公式为
，保持数列
中各项顺序不变，对任意的
na
1
2n
na
na
，在数列
的
与
项之间，都插入
个相同的数
，组成数列
k
N
na
ka
1
ka
k k
N
( 1)k k
，记数列
的前n 项的和为
，则
（ ）
nb
nb
nT
100
T
A．4056
B．4096
C．8152
D．8192
解析：插入
组共
个，∵
，∴前面插入12 组数，最后面插入9 个
．
n
(
1)
2
n n
12 13
78
2
13
，∵
，
2
3
11
12
1
2
3
12
9
1, 1,2,2,2,2 , 3, 3, 3,2 ,
,2 ,12,
12,2 , 13,
, 13
个
个
个
个
个
，
2
2
(
1)
2
1
n
n
n
∴
2
2
2
2
2
1
2
3
4
11
12
9 13
3
7 11 15 19
23
9 13
，又数列
的前13 项和为
(3
23) 6
117
39
2
na
故选：
13
13
10
13
1
2
13
1 (2
1)
2
1
2
8 1
1024 8 1
8191
2 1
S
a
a
a
100
8152.
T
C．
例6．已知数列
的通项公式
，在数列
的任意相邻两项
与
na
5
15
na
n
na
ka
之间插入
个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列
，记新数列
1
1,2,
ka
k
2k
nb
的前n 项和为
，则
的值为__________
nb
n
S
60
S
解析：因为
与
之间插入
个4，
，
，
，
，
ka
1
1,2,
ka
k
2k
1
20
a
2
25
a
3
30
a
4
35
a
，
5
40
a
其中
，
之间插入2 个4，
，
之间插入4 个4，
，
之间插入8 个4，
，
之
1a
2a
2a
3a
3a
4a
4a
5a
间插入16 个4，
，
之间插入32 个4，由于
5a
6a
6
2
4
8 16
36
60
，故数列
的前60 项含有
的前5 项和55 个4，故
6
2
4
8 16
32
68
60
nb
na
.故答案为：370.
60
20
25
30
35
40
4 55
370
S
例7．已知数列
的前n 项和为
，且
满足
．
na
n
S
n
S
2
log
2
1
nS
n
（1）求数列
的通项公式；
na
（2）在任意相邻两项
与
（其中
）之间插入
个3，使它们和原数列的项构成
ka
1
ka
*
N
k
2k
一个新的数列
．记
为数列
的前n 项和，求
的值．
nb
nT
nb
36
T
解析：（1）由题设
，则
，当
时，
1
2
2n
n
S
1
2
2
n
n
S
2
n
，而
满足上式，所以
的通项公式为
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
S
S
2
1
1
2
2
2
a
S
na
.
2n
na
（2）由题意，在
到
之间3 的个数为
，故在
处
共有
个元素，
1a
5a
1
2
3
4
2
2
2
2
30
5a
nb
35
所以前36 项中含
及31 个3，故
.
1
5
,...,
a
a
5
36
1
5
2(2
1)
...
31 3
93
155
2 1
T
a
a
例8．已知
是等差数列，
是公比不为1 的等比数列，
，
，
na
nb
2
6
a
4
5
22
a
a
，且
是
与
的等差中项．
1
1
3
4
a
b
2
2b
1
3b
3b
（1）求数列
和
的通项公式．
na
nb
（2）若对于数列
、
，在
和
之间插入
个
，组成一个新的数列
na
nb
ka
1
ka
kb
*
2 k N
，记数列
的前n 项和为
，求
．
nc
nc
nT
2024
T
解析：（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
，由
na
d
nb
q
1
q
，则
，故
，所以
2
4
5
6,
22
a
a
a
2
2
2
3
22
a
d
a
d
2
d
，则
，由
，则
，又由
是
与
2
2
6
2
2
2
2
na
a
n
d
n
n
1
4
a
1
1
3
4
a
b
1
3
b
2
2b
1
3b
的等差中项，所以
，即
，解得
或
（舍去），故
3b
2
1
3
2 2
3
b
b
b
2
12
9
3
q
q
3
q
1
q
，
1
1
1
3 3
3
n
n
n
nb
b q
（2）根据题意可得，
则
1
2
3
1
,2,2,2,
,2,2,2,2,2,2,2,2,2,
,
,
,
,
k
k
a
a
a
a
a
，故
，则
，
2
1 3
3
3
2024
k
k
3 1 3
1
2024
1 3
k
k
1
3
1
2024
2
2
k
k
故当
时，
成立，当
时，
成立，
6
k
73
1
6
1099
2024
2
2
7
k
83
1
7
2024
2
2
所以
共有项，共有
个
，则
na
7
2017
2
2024
7 4
2 7
2
2 2017
4104
2
T
例9．已知等比数列
满足
，且
成等差数列，记
na
1
2,
0
n
a
a
2
1
4
5
1
,
,
a
a a a
a
2
log
n
n
b
a
．
（1）求数列
的通项公式；
nb
（2）若在数列
任意相邻两项
之间插入一个实数
，从而构成一个新的数列
nb
1
,
n
n
b b
nc
．若实数
满足
，求数列
的前2n 项和
．
n
B
nc
1
1
n
n
n
b
b
c
n
B
2n
S
解析：（1）设等比数列
的公比为
，由于
成等差数列，
na
,
0
q q
2
1
4
5
1
,
,
a
a a a
a
所以
，则
4
2
1
5
1
2
1
5
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
，由于
，解得
，所以
3
4
3
3
1
1
1
1
2
2
,
2
2
1
2
0
a q
a q
a
a q
q
q
q
q
q
0
q
2
q =
，则
.
2n
na
2
log 2n
nb
n
（2）由（1）得
，则
，所以
，所以
nb
n
1
1
nb
n
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
c
b b
n n
n
n
.
2
1
1
1
1
1
1
2
3
1
2
2
3
1
n
S
n
n
n
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
例10．已知
是正项数列
的前
项和，满足
，
n
S
na
n
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
n
.
1
2
1,
3
a
a
（1）若
，求正整数
的值；
2
3
4
3
4
5
1
log
log
log
log
6
m
a
a
a
a
m
a
a
a
a
m
（2）若
，在
与
之间插入
中从
开始的连续
项构成新数列
1
3n
nb
kb
*
1
kb
k
N
2
na
2
ka
k
nc
，即
为
，求
的前30 项的和.
nc
2
2
2
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
,
b a b a
a b
nc
解析：（1）由已知可得，当
时，
2
n
有
.
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
2
2
1
1
2
n
n
n
n
S
S
S
S
又因为
，
，所以有
.又
时，
也
1
1
n
n
n
S
S
a
1
n
n
n
S
S
a
2
2
1
2
n
n
a
a
1
n
2
2
2
1
3 1
2
a
a
满足.所以，
是以
为首项，2 为公差的等差数列，所以，
.
2
na
2
1
1
a
2
1
2
1
2
1
na
n
n
又
，所以
.又
0
na
2
1
na
n
2
3
4
3
4
5
1
log
log
log
log
m
a
a
a
a
m
a
a
a
a
，所以，
，所以，
3
1
1
4
2
3
2
lg
lg
lg
lg
6
lg
lg
lg
lg
m
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
6
1
2
2
lg
6lg
lg
m
a
a
a
，
6
6
1
2
3
27
m
a
a
即
，即
，解得，
.
2
1
27
m
2
1
729
m
364
m
（2）由已知可得，数列
中，
项及以前共有
nc
tb
1
1 1
1
2
1
1
1
2
t t
t
项，
其中数列
中有项，数列
中有
项.且
，
nb
t
2
na
1
1
2
2
t t
t t
t
7 8
28
30
2
，
8 9
36
30
2
即数列
中，
项及以前共有28 项，其中数列
中有7 项，数列
中有21 项.
nc
7b
nb
2
na
所以，
，
.所以，
的前30 项的和
2
29
7
c
a
2
30
8
c
a
nc
2
2
2
2
2
2
2
2
30
1
2
7
1
2
3
3
4
5
7
8
T
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
2
6
1 3
3
3
1 3
5
5
7
9
13 15
7
1
1 3
259
1 3
