文档文本内容
第 01 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................1
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................2
高频考点一：分类加法计数原理的应用...........................................................2
高频考点二：分步乘法计数原理.......................................................................4
高频考点三：两个计数原理的综合应用（与数字有关的问题）.....................6
高频考点四：两个计数原理的综合应用（与几何有关的问题）...........................8
高频考点五：两个计数原理的综合应用（涂色问题）........................................11
第一部分：基础知识
知识点一：分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法，
那么完成这件事共有 种不同的方法.
知识点二：分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
知识点三：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广
（1）完成一件事有 类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方
法,
……,在第 类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.（2）完成一件事需要 个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,……,做第 步
有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素
之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【知识点】数字排列问题、实际问题中的组合计数问题
【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有 个；
②当个位不为0时，则个位有 个数字可选，百位有 个数字可选，十位有 个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有 ，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 个．
故答案为：329．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分类加法计数原理的应用
典型例题
例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）现有编号为1，2，3，4的四个人到编号也为1，2，3，4的四个
座位上落座，若要求落座时每个人的编号不能与其座位号相同，则不同的坐法共有 种．
【答案】9
【知识点】分类加法计数原理
【分析】先考虑一个人落座的情况，分类列举出所有的情况即可.
【详解】为了方便将编号为1，2，3，4的四个座位依次记为 ，
则编号为1的人落座的情况有3种，即 ．编号为1的人落座 时，按照1，2，3，4的顺序有 ， ， ，共3种；
编号为1的人落座 时，按照1，2，3，4的顺序有 ， ， ，共3种；
编号为1的人落座 时，按照1，2，3，4的顺序有 ， ， ，共3种．
综上共有 种情况，
故答案为：9
例题2．（24-25高二下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，已知曲线方程
．
(1)若曲线方程表示的轨迹为圆，则这样的圆有多少个？
(2)若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则这样的椭圆有多少个？
【答案】(1)5个
(2)20个
【知识点】椭圆定义及辨析、分类加法计数原理
【分析】（1）根据题意求出 的所有可能取值，若曲线方程表示的轨迹为圆，则需 ，求出满足条
件的所有情况即可；
（2）若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则有两种情况：一是焦点在 轴上，二是焦点在 轴上，分类讨论，
然后根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】（1）因为
所以 ，
因为曲线方程表示的轨迹为圆，
则 ，共有5种情况，
即这样的圆有5个．
（2）由（1）知
当焦点在 轴上，此时需 ，
当 时， 没有对应值，0个椭圆；
当 时，共1个椭圆；
当 时，共2个椭圆；
当 时，共3个椭圆；
当 时，共4个椭圆，
由分类加法计数原理，焦点在 轴上的椭圆有 个；
焦点在 轴上与焦点在 轴上的椭圆个数相同，有10个；
综上所述，满足题意的椭圆共有 个．
练透核心考点
1．（24-25高二下·全国·课后作业）从正六边形的6个顶点中任取两个点连成一条线段，可得线段条数为．
【答案】15
【知识点】分类加法计数原理
【分析】根据题意，由分类加法计数原理代入计算，即可求解.
【详解】分5类，以正六边形的某个顶点为第1个顶点，按顺时针，依次为第 个顶点，
第1个顶点为端点时，共有5条线段；第 个顶点依次为端点时，
分别有4条，3条，2条，1条线段，所以共有 条线段．
故答案为：15
2．（24-25高三上·广西·阶段练习）红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点
上，共有几种不同的放置方法（ ）
A．7 B．8 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【分析】列举法可得答案.
【详解】如图，用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色，
所以共五种.
故选：D.
高频考点二：分步乘法计数原理
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，只闭合两个开关将一条电路从A处到B处接通，可构成线
路的条数为（ ）
A．8 B．4 C．5 D．3
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】采用分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意根据分步计数原理，一条电路从A处到B处接通， 处并联电路开关闭合一个，有2种方法，
处并联电路开关闭合一个，只能闭合下面两个中的一个，有2种方法，共有 种方法.
故选：B
例题2．（24-25高二下·全国·课后作业）为方便识别某种商品，某商家给该商品编号，该商品可分A，B，
C，D四个等级，每个等级下用0，1，2，…，9这10个数字组成一个双位数（可重复使用），例如其中
一个商品的编码可以为 ，则共有 种不同的编码
【答案】400
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】先选等级，共4种情况；后选一个双位数有 种，从而可求解.
【详解】先选等级，共4种情况；
后选一个双位数，这个双位数的第1位和第2位各有10种情况，故双位数的情况有 种，
故不同的编码的情况数共计为 ．
故答案为：400.
例题3．（24-25高二下·全国·课后作业）现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架
中．
(1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
(2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
【答案】(1)625
(2)24
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】（1）每个窗格都有5种，由分步乘法计数原理计算可得；
（2）特殊的先排，即甲乙有4种，再依次排剩下的即可，最后由分步乘法计算原理计算即可；
【详解】（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法，
同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有 种放法．
（2）先排甲、乙，有4种放法；
再排丙，有3种放法；
再排丁，有2种放法；
最后排戊，剩1种放法．
由分步乘法计数原理可得，共计 种放法．
练透核心考点
1．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中
任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ）
A．18种 B．48种 C．108种 D．192种
【答案】D【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】因甲不去北京，应该分步完成：
第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；
第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有 中选法；
由分步乘法计数原理，可得不同选法有： 种．
故选：D．
2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报
名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（ ）
A． B．36 C．24 D．
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据题意，分析可得每名学生都有4种选法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个，
都有4种选法，由分步计数原理得，共有 种不同的选法.
故选：D.
3．（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十
位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个.
【答案】120
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】由分步乘法计数原理可得.
【详解】要得到一个这样的数，可以分为3个步骤：
第一步，从1、2、3、4、5、6中任选一个放在首位，有6种方法；
第二步，从余下5个数中任选一个放在万位，有5种方法；
第三步，从余下4个数中任选一个放在千位，有4种方法；
而其余数字定序，从小到大依次排在个、十、百位.
故由分步乘法计数原理可得，这样的六位数共有 个.
故答案为：120.
高频考点三：两个计数原理的综合应用（与数字有关的问题）
典型例题
例题1．（23-24高二·全国·课后作业）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成 个没有重复数字的
三位偶数.
【答案】52【知识点】数字排列问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】由特殊位置法与特殊元素法分类讨论，利用分类与分步计数原理即可解决.
【详解】根据题意，对该没有重复数字的三位偶数进行分类讨论，
第一类：0在个位数时，先填百位，有5种方法，再填十位，有4种方法，故能组成 个没有重复
数字的三位偶数；
第二类，0不在个位数时，先填个位，只有2、4两种方法，再填百位，0不能在此位，故有4种方法，最
后填十位，有4种方法，故能组成 个没有重复数字的三位偶数；
综上，一共可以组成 个没有重复数字的三位偶数.
故答案为：52.
例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数
由小到大排成一个数列 ．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若 ，求 ．
【答案】(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133
(2)
(3)
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、实际问题中的计数问题
【分析】（1）利用列举的方法，写出数列的前11项；
（2）利用分步计数原理，即可求解；
（3）根据条件计数比 小的数字个数，即可求 .
【详解】（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133．
（2）这个数列的项数就是用1，2，3，4组成的三位数的个数，每个数位上都有4个数字可以选择，则共
有 （项）．
（3）比 小的数有两类：
①
百位 十位 个位
1 × ×
2 × ×
②
百位 十位 个位
3 1 ×
3 2 ×3 3 ×
共有 （项）．
所以 ．
练透核心考点
1．（23-24高二下·天津南开·期中）用 这 个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（ ）
A．720 B．648 C．320 D．328
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题
【分析】按个位数字为 和不为 分类讨论，利用分步计数原理即可求得没有重复数字的三位偶数的个数.
【详解】若个位数字为 ，十位和百位的排法种数为 ；
若个位数字不为 ，则确定个位数字有 种方法，
确定百位数字有 种方法，确定十位数字有 种方法，
所以排法种数为 .
所以可以组成 个没有重复数字的三位偶数.
故选：D
2．（23-24高二下·天津武清·期中）如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均
不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么数字0，1，2，3一共可以组成“集中数”个数有（
）
A．20 B．21 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】数字排列问题
【分析】由分类计数加法原理和分布计数乘法原理，分别讨论十位是0，1，2，3，再确定百位和十位的可
能情况即可．
【详解】当十位是 时，百位可选 ，个位可选 和 ，共 个，
当十位是 时，百位可选 和 ，个位可选 ， 和2，共 个，
当十位是 时，百位可选 ， 和 ，个位可选 ， 和 ，共 个，
当十位是 时，百位可选 和 ，个位可选 和 ，共 个，
综上所述，共 个，
故选：B．高频考点四：两个计数原理的综合应用（与几何有关的问题）
典型例题
例题1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）记 为点 到平面α的距离，给定四面体 ，则满
足 （i=2，3，4）的平面 的个数为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理、几何计数问题
【分析】分两种情况： 与平面 平行、 经过△ 中位线分别求出它们满足要求的 个数，加
总即可.
【详解】当 与平面 平行时，如下图存在2种情况.
当 经过△ 中位线时，如下图其中一条中位线有2种情况，故三条中位线，共有6种情况.
综上，共有2+6=8种情况.
故选：C.
例题2．（2024高二·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（
）.
A．105种 B．225种 C．315种 D．420种
【答案】C
【知识点】几何计数问题
【分析】首先选取一个点作为钝角顶点，并该点与圆心连线将其余14个顶点分成左右各7个：在左侧选取
一个点作为第二顶点，依次选取右侧7个点作为第三顶点判断三角形形状，依此步骤即可得当前钝角顶点下的钝角三角形个数，最后乘以15即可得结果.
【详解】如图所示，以A为钝角顶点，在直径 的左边取点 ，右边依次取 ，得到6个钝角
三角形，当取 时，△ 为锐角三角形；
同理，直径 的左边取点 ，右边依次取 ，得到5个钝角三角形，当取 ， 时，△
、△ 为锐角三角形；
……
在直径 的左边取点 时，得到一个钝角△ ，
在直径 的左边取点 时，没有钝角三角形.
故以A为钝角顶点的三角形共有 （个）.
以其余14个点为钝角顶点的三角形也各有21个，
所以总共有 （个）钝角三角形.
故选：C
练透核心考点
1．（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个
阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳
中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边
形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．【答案】24
【知识点】几何计数问题、计数原理与概率统计
【分析】首先分情况，先确定两个顶点，再确定其他顶点，即可求解.
【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有 （个），
若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有 （个），
所以梯形的个数是 （个）．
故答案为：24
2．（2004·全国）圆周上有 个等分点 ，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
．
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、几何计数问题
【分析】只有三角形的一条边为直径才能组成直角三角形,第一步选直径共有 种方法，第二步选直角顶点
有 种，根据分步计数原理相乘即可.
【详解】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有 个等分，所以共有 条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做 个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有 个
故答案为: .
高频考点五：两个计数原理的综合应用（涂色问题）
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两
个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（ ）
1 3 42 5
A．120 B．72 C．288 D．144
【答案】D
【知识点】涂色问题
【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解．
【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，
区域4可选剩下的一种或选区域1，2所选的颜色，共有3种选法，
区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，
共有 种．
故选：D
例题2．（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县 ， ， ， ， 地理位置如图所示，给这五
个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案
共有 种．
【答案】96
【知识点】涂色问题
【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论.
【详解】第一步：从4种颜色中选3种颜色对 三个区域着色有 种方法，
第二步：对 着色分两类， 着色有2种方法，对 着色有2种方法，
故不同的染色方案共有 种．
故答案为： 种.
例题3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的
形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色
方法种数有 .【答案】30
【知识点】涂色问题
【分析】先涂“火、土”两个位置，再分类讨论“火”与“金”、“土”与“水”位置颜色是否相同，运
算求解.
【详解】设3种不同的颜色为 ，
对于“火、土”两个位置有 种不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为 ，
1.若“金”位涂色为 ，则有：
①若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 ，共1种不同的涂色方法；
②若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 ，共1种不同的涂色方法；
共2种涂色方法；
2.若“金”位涂色为 ，则有：
①若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 或 ，共2种不同的涂色方法；
②若“水”位涂色为 ，则“木”位涂色为 ，共1种不同的涂色方法；
共3种涂色方法；
综上所述：共 种不同的涂色方法.
故答案为：30.
练透核心考点
1．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可
供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）．
A．240种
B．300种C．360种
D．420种
【答案】D
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理
【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用
不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案.
【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，
则B有4种布置方法，C有3种布置方法．
如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法；
如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法．
按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有 （种）.
故选：D．
2．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五
种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区
域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.
【答案】 1200 960
【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理
【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解.
【详解】
第一空：若C，E的涂色相同，则共有 种方法；
若C，E的涂色不相同，则共有 种方法.
故共有1200种不同的涂色方法.
第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种.
若C，E的涂色相同，则共有 种方法；
若C，E的涂色不相同，则共有 种方法.
故共有960种不同的涂色方法.
故答案为：1200，960.
3．（23-24高二下·山东聊城·期中）“奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的
传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办
了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有 种不同的涂法?
【答案】180
【知识点】涂色问题
【分析】按照②、④不同色和②、④同色，分两类计数再相加，可得结果.
【详解】当②、④不同色时，有 种涂色方案；
当②、④同色时，有 种涂色方案，
根据分类加法计数原理可得共有 种涂色方案.
故答案为： .
