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专题10 切线问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如2024 年高考全国卷II
卷及2023 年全国卷乙卷在解答题中都考查了曲线的切线问题,曲线的切线问题主要涉及求曲线的斜率与方
程、曲线切线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围
等.
(一) 求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
【例1】（2024 届北京市西城区北师大附属实验中学高三下学期6 月热身练）已知函数
( )
ln
a
f x
x
x
，其
中a 为常数且
0
a
.
(1)求曲线
( )
y
f x
在
1
x
处的切线方程；
(2)讨论函数
( )
f x 的单调区间；
(3)当
1
a 时，若在点
0
0
0
1
(
,
(
))
e
M x
f x
x
处的切线l 分别与x 轴和y 轴于，A，B 两点，O 为坐标原点，记
AOB
的面积为S，求S 的最小值.
【解析】（1）
1
1
( )
ln
a
a
f
x
ax
x
x
，
0
x
.
因为
(1)
1
f
，
(1)
0
f
，所以切线方程为
1
y
x
.
（2）定义域为(0,
)
，
1
( )
( ln
1)
a
f
x
a
x
x
，令
( )
0
f
x
，解得
1
e a
x
.
当
0
a
时，
1
(0,e
)
a
x
，
( )
0
( )
f
x
f x
的减区间为
1
(0,e
)
a
；
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1
(e
,
)
a
x
，
( )
0
( )
f
x
f x
的增区间为
1
(e
,
)
a
.
当a<0 时，
1
(0,e
)
a
x
，
( )
0
( )
f
x
f x
的增区间为
1
(0,e
)
a
；
1
(e
,
)
a
x
，
( )
0
( )
f
x
f x
的减区间为
1
(e
,
)
a
.
（3）当
1
a 时，
( )
ln
f x
x
x
，
( )
1
ln
f
x
x
.切线l：
0
0
0
0
(ln
1)(
)
ln
y
x
x
x
x
x
，
令
0
x
，
0
0
B
y
x
；令
0
y
，
0
0
0
0
0
0
ln
0
ln
1
ln
1
A
x
x
x
x
x
x
x
.
2
0
0
1
1
|
||
|
2
2 ln
1
A
B
x
S
x
y
x
.
设
2
( )
2(ln
1)
x
g x
x
，
1
e
x
.
2
2
2 (ln
1)
(2ln
1)
( )
2(ln
1)
2(ln
1)
x
x
x
x
x
g x
x
x
.
1
2
1
( ,e
)
e
x
，
( )
0
( )
g x
g x
在
1
2
1
( ,e
)
e
单调递减；
1
2
(e
,
)
x
，
( )
0
( )
g x
g x
在
1
2
(e
,
)
单调递增.
所以
1
2
1
( )
(e
)
e
g x
g
≥
.所以当
1
2
0
e
x
时，S 的最小值为1
e .
(二)求曲线过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
【例2】（2024 届江苏省南通市高三下学期模拟预测）设
，函数
．
(1)当
时，求过点
且与曲线
相切的直线方程：
(2)
是函数
的两个极值点，证明：
为定值．
【解析】（1）当
时，
，则导数
．
设切点为
，则
，
所以切线方程为
．
0
a
3
( )
2
1
f x
ax
x
1
a
(0, 1)
( )
y
f x
1
2
,
x x
( )
f x
1
2
f x
f x
1
a
3
( )
2
1
f x
x
x
2
( )
3
2
f
x
x
3
0
0
0
,
2
1
x x
x
2
0
0
3
2
f
x
x
3
2
0
0
0
0
2
1
3
2
y
x
x
x
x
x
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又切线过点
，则
，
整理得，
，解得
．
所以过点
且与曲线
相切的直线方程为
．
（2）证明：依题意，
，令
，得
．
0
0
极大值
极小值
不妨设
，则
．
所以
为定值．
(三)求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点
,t f t
,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t
的方程的实根个数问题.
【例3】（2024 届陕西省西安市第一中学2024 届高三下学期模拟）已知函数
.
(1)判断
的零点个数；
(2)求曲线
与曲线
公切线的条数.
【解析】（1）解：由函数
，可得其定义域为
，且
，
令
，得
；令
，得
，
(0, 1)
3
2
0
0
0
0
1
2
1
3
2
0
x
x
x
x
3
0
2
2
x
0
1
x
(0, 1)
( )
y
f x
1
y
x
2
( )
3
2(
0)
f
x
ax
a
( )
0
f
x
2
3
x
a
x
2
,
3a
2
3a
2
2
,
3
3
a
a
2
3a
2 ,
3a
f
x
f x
1
2
x
x
1
2
2
2
,
3
3
x
x
a
a
3
3
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
f x
f x
ax
x
ax
x
3
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
3
3
3
3
a
a
a
a
a
a
1
2
f x
f x
2
1
( )
3
3, ( )
2e
2
x
f x
x
x
g x
x
( )
g x
( )
y
f x
( )
y
g x
1
( )
2e
2
x
g x
x
(
,
)
1
( )
2e
1
x
g x
( )
0
g x
1
ln2
x
( )
0
g x
1
ln2
x
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可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
的零点个数为.
（2）解：因为
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
，
曲线
在点
处的切线方程为：
，
即
，令
，可得
，
消去
，整理得
，
令
，可得
，等价于
，
设
，则
，所以
在
上单调递增，
又因为
，所以
在
上有唯一的零点
，
由
，得
，所以曲线
与曲线
有且仅有一条公切线.
(四)曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.
【例4】（2024 届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数
.
(1)若
.求证：
；
(2)若函数
与函数
存在两条公切线，求整数
的最小值.
【解析】（1）当
时，
，
令
，则
，
g x
(
, 1
ln 2)
( 1
ln 2,
)
min
( )
( 1
ln2)
ln2
0
g x
g
g x
0
2
1
( )
3
3, ( )
2e
2
x
f x
x
x
g x
x
1
( )
2
3,
( )
2e
1
x
f
x
x
g x
( )
y
f x
2
1
1
1
,
3
3
x x
x
2
1
1
1
1
3
3
2
3
y
x
x
x
x
x
2
1
1
2
3
3
y
x
x
x
( )
y
g x
2 1
2
2
,2e
2
x
x
x
2
2
1
1
2
2
(2e
2)
(2e
1)(
)
x
x
y
x
x
x
2
2
1
1
2
2e
1
2
2
e
2
x
x
y
x
x
2
2
1
1
1
2
2
1
2e
1
2
3
2
2
e
2
3
x
x
x
x
x
2
2
1
1
1
2
2
1
e
2
2
2
e
2
3
x
x
x
x
x
2
x
2
1
5
x
1
1
4
2ln
2
2
0
x
x
1
2
(
0)
x
t t
2
2 ln
1
0
t
t
t
1
2ln
t
t
t
0
1
( )
2ln
(
0)
h t
t
t
t
t
2
2
(
1)
( )
0
t
h t
t
( )
h t
(0,
)
(1)
0
h
( )
h t
(0,
)
1
t
1
2
1
x
1
1
x
( )
y
f x
( )
y
g x
e
,
ln
1 ,
x a
f x
g x
x
a
Z
1
a
f x
g x
f x
g x
a
1
a
1
ex
f x
1
e
ln
1 ,
1
x
h x
f x
g x
x
x
1
1
e
1
x
h x
x
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令
，因为
，
所以
在区间
上单调递增，且
，
所以存在
，满足
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增；
则当
时，
取得最小值，
可得
，
因为
，所以
不成立，故等号不成立，则
，
所以当
时，
.
（2）设公切线与两函数的图象分别相切于点
和点
，
因为
，
所以直线的方程可表示为
或
，
则有
，①
，②
由①可得
，代入②可得
，
即
，令
，则
，
令
，则
，
，
所以由复合函数的单调性可知
在区间
上单调递增，
又
，
1
1
e
1
x
m x
x
1
2
1
e
0
(
1)
x
m x
x
m x
1,
1
1
1
0
1
0,
1
1
0
e
2
2
m
m
0
0,1
x
0 1
0
1
e
1
x
x
0
1,
x
x
0,
m x
h x
0,
x
x
0,
m x
h x
0
x
x
h x
0 1
0
0
0
0
0
0
1
1
e
ln
1
1
1 2
1
1
x
h x
x
x
x
x
x
0
0
1
2
1
2
0
1
x
x
0
0,1
x
0
0
1
1
1
x
x
0
0
h x
1
a
f x
g x
l
1
1,ex
a
A x
2
2
,ln
1
B x
x
1
e
,
1
x a
f
x
g
x
x
l
1
1
1
e
e
x
a
x
a
y
x
x
2
2
2
1
ln
1
1
y
x
x
x
x
1
2
1
e
1
x
a
x
1
2
1
2
2
2
2
1
1
e
ln
1
ln
1
1
1
1
x
a
x
x
x
x
x
x
1
2
ln
1
x
x
a
2
2
2
2
1
1
1 ln
1
ln
1
1
1
1
a
x
x
x
x
2
2
2
ln
1
1
a
x
x
x
2
1,
0,
t
x
t
1 ln
a
t
t
t
1 ln
w t
t
t
t
1
ln
w t
t
t
0,
t
w t
0,
1
1
1
0,
2
ln2
0
2
w
w
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根据零点存在定理知，存在
，使得
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
因为
在
上单调递增，所以
，
则
，
又
为整数，所以
，故所求整数
的最小值是
.
(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足
条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.
【例5】（2024 届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）已知函数
.
(1)当
时，
恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线
是曲线
的两条切线，且直线
的斜率之积为1.
（i）记
为直线
交点的横坐标，求证：
；
（ii）若
也与曲线
相切，求
的关系式并求出的取值范围.
【解析】（1）由于
，则
，
设
，则
，
，且
在
上单减，
令
得
，令
得
，
所以
在
单调递增，
单调递减，所以
，则
.
（2）（i）设两条切线在
上的两个切点横坐标分别为
，
有
，即
，
0
1,2
t
0
0
1
lnt
t
1 ln
w t
t
t
t
0
0,t
0,
t
0
0
1
y
t
t
1,2
0
0
1
5
2
2
t
t
0
0
0
0
0
min
0
1
3
1 ln
1
, 1
2
w t
w t
t
t
t
t
t
a
1
a
a
1
( )
e , ( )
ln
( ,
)
x
f x
a
g x
x
b a b
R
1
b
( )
( )
f x
g x
a
1
2
l
l
、
( )
y
g x
1
2
l
l
、
0x
1
2
l
l
、
0
1
x
1
2
l
l
、
( )
y
f x
,a b
b
e
ln
1
x
a
x
ln
1
ex
x
a
ln
1
ex
x
F x
1
ln
1
ex
x
x
F
x
1
0
F
1
ln
1
y
x
x
0,
0
F
x
0
1
x
0
F
x
1
x
F x
0,1
1,
max
( )
1
F x
F
1
1
e
a
F
g x
1
2
,
x x
1
2
1
2
1
1
1
g
x
g
x
x
x
1
2
1
x x
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此时，切线为：
，
相减得
，所以
，
设
，
，所以
在
上单调递减.
故当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，则
.
（ii）由题意得：存在实数
，使
在
处的切线和
在
处的切线重合，
所以
，即
，
则
，
又因为
，所以
，
题目转化为
有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为
，
则由
得
，
化简得
，
所以
，
所以
，（也可写为
）.
代入
中得：
有两个不等实根，
1
1
2
2
1
2
1
1
ln
,
ln
y
x
b
x
x
y
x
b
x
x
x
x
2
1
2
1
1
2
1
1
ln
ln
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
2
2
0
2
1
2
2
2
2
ln
ln
ln
ln
2ln
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2ln
k x
x
x
x
2
2
1
1
0
k
x
x
x
k x
0,
0,1
x
1
0
k x
k
1,
x
1
0
k x
k
1
0
2lnx
x
x
2
0
2
2
2ln
1
1
x
x
x
x
,s t
f x
x
s
g x
x
t
f s
g t
f
s
g t
s
t
1
ln
1
e
ln
e
s
s
t
b
a
t
b
t
a
t
s
t
s
t
1
ln
,
1
ln
1
s
t
t t
bt s
t t
b
t
1
e
ln
ln
s
a
a
s
t
t
ln
ln
ln
1
ln
1
a
t
s
t
t t
b
t
ln
1
ln
1
ln
h t
t
t t
b
t
a
1
,
m m
1
h m
h m
1
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
m
m m
b
m
b
m
m
m
m
2
2
1
1
1 1
1
ln
1
1
1 2
1
2
b
m
b
m
m
m
m
b
m
m
m
m
m
ln
1 ln
1
1
1
1
1
1
a
m
m
b
m
b
m
b
m
b
ln
b
a
e b
a
h t
ln
1
ln
1
h t
t
t t
b
t
b
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即
，设
，
由于
在
上单调递减且
，
所以
在
单调递增，
单调递减，
而无限趋近于0 时，
无限趋向于负无穷大，无限趋近于正无穷大时，
无限趋向于负无穷大，
，所以
，即
.
(六)圆锥曲线中抛物线的切线问题
抛物线
，可以化为函数
，所以我们可以利用导数研究抛物线的切线问题。
【例6】（2024 届江苏省南通、扬州、泰州七市高三第三次调研）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为
F ，直线l 过点F 交C 于,
A B 两点，C 在
,
A B 两点的切线相交于点
,
P AB 的中点为Q ，且PQ 交C 于点E ．
当l 的斜率为1 时，
8
AB
．
(1)求C 的方程；
(2)若点P 的横坐标为2，求
QE
；
(3)设
C
在点E 处的切线与
,
PA PB
分别交于点
,
M N
，求四边形
ABNM
面积的最小值．
【解析】（1）由题意，直线l 的斜率必存在.
设直线l 的方程为
1
1
2
2
,
,
,
,
2
p
y
kx
A x y
B x
y
，
联立
2
2
2
p
y
kx
x
py
得
2
2
2
0,
(*)
x
pkx
p
，所以
1
2
2
1
2
Δ
0,
2
.
x
x
pk
x x
p
当
1
k 时，
1
2
2
x
x
p
，
1
1
ln
1
t
b
t
t
2
2
1
1
1 ln
1
1
ln
2ln
1
ln ,
1
(
1)
(
1)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
G t
t G t
t
t
t
1
ln
H t
t
t
t
0,
1
0
H
G t
0,1
1,
t
G t
t
G t
1
0
G
1
0
b
1
b
2
2
0
x
py p
2
2
x
y
p
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此时
1
2
1
2
1
2
2
8
2
2
p
p
AB
y
y
p
x
x
p
x
x
p
，
所以
4
8
p
，即
2
p
.所以C 的方程为
2
4
x
y
.
（2）由(1)知，
1
2
2
4
x
x
pk
k
，
则
2
Q
x
k
，代入直线
1
y
kx
得
2
2
1
Q
y
k
，则AB 中点
2
2 ,2
1
Q
k
k
.
因为
2
4
x
y
，所以
2
x
y
，
则直线PA 方程为
1
1
1
2
x
y
y
x
x
，即
2
1
1
1
1
2
4
y
x x
x
，
同理，直线
PB
方程为
2
2
2
1
1
2
4
y
x x
x
，所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
4
2
1
2
2
P
x
x
x
x
x
k
x
x
，
2
1
1
2
1
1
2
1
4
4
4
P
x
x
x
x
x x
y
，所以
(2 , 1)
P
k
.
因为
2,2
2
P
x
k
，即
1
k ，此时
(2,3),
(2, 1)
Q
P
，
所以直线
PQ
的方程为
2
x
，代入
2
4
x
y
，得
1
y
，所以
(2,1)
E
，所以
|
| 2
QE
.
（3）由（2）知
2
2 ,2
1 , (2 , 1)
Q
k
k
P
k
，所以直线PQ 方程为
2
x
k
，
代入
2
4
x
y
，得
2
y
k
，所以
2
2 ,
E
k k
，所以E 为PQ 的中点.
因为C 在E 处的切线斜率
1
2
2
y
k
k
，
所以C 在E 处的切线平行于AB ，
又因为E 为PQ 的中点，所以
3
4
ABP
ABNM
S
S
四边形
.
由(1)中
(*)
式得
2
4
4
0
x
kx
，所以
1
2
4
x
x
k
，
因为直线AB 方程为
1
y
kx
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
4
4
4
AB
y
y
p
kx
kx
k x
x
k
.
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又
(2 , 1)
P
k
到直线AB 的距离
2
2
2
2
2
2
1
1
k
h
k
k
，
所以
3
2
2
2
2
1
1
4
4
2
1
4
1
4
2
2
ABP
S
AB h
k
k
k
，
(当且仅当
0
k
时取“”)
所以
3
3
4
ABP
ABNM
S
S
四边形
，所以四边形ABNM 的面积的最小值为3.
【例1】（2024 届广东省汕头市潮南区高三下学期高考考前测试）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线与
轴垂直，求
的极值.
(2)若
在
只有一个零点，求.
【解析】（1）函数
的定义域为R，求导得
，
，
依题意，
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
处取得极小值
，无极大值.
（2）函数
在
只有一个零点，等价于
在
只有一个零点，
设
，则函数
在
只有一个零点，当且仅当
在
只有一解，
即
在
只有一解，于是曲线
与直线
只有一个公共点，
2)
( )
(ex
f x
x
ax
( )
y
f x
=
1
x
y
( )
y
f x
( )
f x
(0,
)
a
2)
( )
(ex
f x
x
ax
2
( )
(
1)e
3
x
f
x
x
ax
( 1)
3
f
a
( 1)
0
f
0
a
( )
e ,
( )
(1
)e
x
x
f x
x
f
x
x
1
x
( )
0
f
x
1
x
( )
0
f
x
( )
f x
(
, 1)
( 1,
)
( )
f x
=
1
x
1
( 1)
f
e
2)
( )
(ex
f x
x
ax
(0,
)
2
ex
y
ax
(0,
)
2
( )
ex
g x
ax
( )
g x
(0,
)
( )
0
g x
(0,
)
2
ex
a
x
(0,
)
2
e (
0)
x
y
x
x
y
a
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令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
取得极小值同时也是最小值
，
当
时，
；当
时，
，
画山
大致的图象，如图，
在
只有一个零点时，
，
所以
在
只有一个零点吋，
.
【例2】（2024 届陕西省安康市高新中学高三下学期模拟考试）已知函数
为
的导函数.
(1)证明：当
时，
；
(2)若
与
有两条公切线，求a 的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
等价于证明
，
令
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
；
2
e
( )
(
0)
x
x
x
x
3
e (
2)
( )
x x
x
x
2
x
( )
0
x
2
x
( )
0
x
( )
x
(0,2)
(2,
)
( )
x
2
x
2e
(2)
4
0
x
( )
x
x
( )
x
2
( )
xe
x
x
( )
g x
(0,
)
2e
(2)
4
a
( )
f x
(0,
)
2e
4
a
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（2）设一条公切线与
切点分别为
，
则
，可得切线方程为
，
，
因为它们是同一条直线，所以
，
可得
，令
，
若
与
有两条公切线，则
与
的图象有两个交点，
则
，当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，所以
，
且当
时，
，当
时，
，可得
的大致图象如下图，
所以
.
【例3】（2024 届天津市和平区高三三模）已知函数
ln
f x
x
，
2
,
R
g x
nx
mx n m
，
h x
f x
g x
．
(1)若
0
n
，函数
h x
存在斜率为3 的切线，求实数m 的取值范围；
(2)若
1
2
n
，试讨论函数
h x 的单调性；
(3)若
0
n
，设函数
f x
的图象
1
C 与函数
g x
的图象
2
C 交于两点A B
、，过线段AB 的中点H 作x 轴的垂线
分别交
1
2
C
C
、
于点D
E
、
，问是否存在点H ，使
1
C
在D 处的切线与
2
C
在E 处的切线平行？若存在，求出
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点H 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为
0
n
，所以
ln
h x
x
mx
，
1
h x
m
x
，
因为函数
h x 存在斜率为3 的切线，所以
1
3
h x
m
x
在
0,
有解，
所以
1
3
0
m
x
，得
3
m
，所以实数m 的取值范围为
,3
.
（2）因为
1
2
n
，所以
2
1
ln
0
2
h x
x
x
mx x
，
2
1
1
x
mx
h x
x
m
x
x
，
令
0
h x
，即
2
1
0
x
mx
，
2
Δ
4
m
，
（ⅰ）当
2
Δ
4
0
m
时，即2
2
m
，
0
h x
，
h x
在
0,
上单调递增．
（ⅱ）当
2
Δ
4
0
m
时，即
2
m ，或
2
m
，
2
1
0
x
mx
有两根
1
2
x
x
，
，
2
1
4
2
m
m
x
，
2
2
4
2
m
m
x
，
①当
2
m
时，
1
2
0
x
x
，
0,
x
时，
0
h x
，
h x
在
0,
上单调递增．
②当
2
m 时，
1
2
0
x
x
，
1
0,
x
x
时，
0
h x
，
1
2
,
x
x x
时，
0
h x
，
2,
x
x
时，
0
h x
，
h x
在
1
0, x
，
2,
x
上单调递增，在
1
2
,
x x
上单调递减．
综上，当
2
m 时，函数
h x
在
0,
上单调递增；
当
2
m 时，函数
h x 在
2
4
0,
2
m
m
，
2
4 ,
2
m
m
上单调递增，在
2
2
4
4
,
2
2
m
m
m
m
上单调递减．
（3）
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设点A ，B 的坐标为
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
，且
1
2
0
x
x
，
2
1
1
1
1
ln
y
x
nx
mx
，
2
2
2
2
2
ln
y
x
nx
mx
，
则点D 与点E 的横坐标均为
1
2
2
x
x
，
1
f
x
x
，
2
g
x
nx
m
，
所以
1
C 在点D 处的切线斜率为
1
1
2
2
k
x
x
，
2
C 在点E 处的切线斜率为
1
2
2
1
2
2
2
x
x
k
n
m
n x
x
m
，
假设
1
C
在点D 处的切线与
2
C
在点E 处的切线平行，则有
1
2
k
k
，
即
1
2
1
2
2
n x
x
m
x
x
，则有下式成立：
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2 x
x
n x
x
m x
x
nx
mx
nx
mx
x
x
2
2
1
2
1
1
ln
ln
ln x
y
y
x
x
x
，即
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
ln
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
设
2
1
1
x
t
x ，有
2
1
ln
1
t
t
t
，设
2
1
ln
1
1
t
r t
t
t
t
，
则
2
2
2
1
1
4
0
1
1
t
r t
t
t
t t
，所以
r t 在
1,
上单调递增，
故
1
0
r t
r
，即
2
1
ln
1
t
t
t
，与
2
1
ln
1
t
t
t
矛盾，所以假设不成立，
所以不存在点H 使
1
C
在点D 处的切线与
2
C
在点E 处的切线平行．
【例4】（2024 届上海市七宝中学高三三模）若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中nN ，
1
n ），则称l 为曲线C 的“
nT 切线
”.
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(1)若曲线
y
f x
在点(
)
1, 2
-
处的切线为
2T 切线，另一个公共点的坐标为
3,4
，求
1
f
的值；
(2)求曲线
3
2
3
y
x
x
所有
1T 切线
的方程；
(3)设
sin
f x
x
x
，是否存在
π
(0,
)
2
t
，使得曲线
y
f x
在点
t
f t
，
处的切线为
3T 切线？若存在，
探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意，该切线的斜率为
4
( 2)
3
3 1
，因此
(1)
3
f
.
（2）由
3
2
3
y
x
x
，求导得
2
3
6
y
x
x
，
则曲线
3
2
3
y
x
x
在
3
2
0
0
0
(
,
3
)
x x
x
处的切线方程为：
3
2
2
0
0
0
0
0
(
3
)
(3
6
)
y
x
x
x
x
x
x
，
令
3
2
2
3
2
3
2
0
0
0
0
0
0
( )
3
(3
6
)
3
6
3
h x
x
x
x
x x
x
x
x
x
，整理得
2
0
0
( )
(
) (
2
3)
h x
x
x
x
x
，
此切线为
1T
切线，等价于方程
( )
0
h x
有且仅有一个根，即
0
0
3
2
x
x
，即
0
1
x
，
所以曲线
3
2
3
y
x
x
的
1T
切线仅有一条，为
3
1
y
x
.
（3）由
(
sin )
1 cos
x
x
x
，得曲线
( )
y
f x
在点
( ,
( ))
t f t
处的切线方程为：
sin
(1
cos )(
)
y
t
t
t
x
t
，即
(1 cos )
sin
cos
y
t x
t
t
t
，
令( )
(
sin )
[(1
cos )
sin
cos ]
g x
x
x
t x
t
t
t
sin
cos
sin
cos
x
x
t
t
t
t
，
求导得
( )
cos
cos
g x
x
t
，由
π
(0,
)
2
t
，得cos
(0,1)
t
，
对
Z
k
，当
(2 π
,2 π
)
x
k
t
k
t
时，
( )
cos
cos
0,
( )
g x
x
t
y
g x
为严格增函数；
当
(2 π
,2 π
2π
)
x
k
t
k
t
时，
( )
cos
cos
0,
( )
g x
x
t
y
g x
为严格减函数，
函数
( )
y
g x
所有的极大值为(2 π
)
2 πcos
g
k
t
k
t
，
当
0
k
时，极大值等于0，即
( )
0
g t
，
当
k
为正整数时，极大值全部小于0，即
( )
y
g x
在
( ,
)
t
无零点，
当k 为负整数时，极大值全部大于0，
函数
( )
y
g x
所有的极小值为(2 π
)
(2
2 π)cos
2sin
g
k
t
t
k
t
t
，
当
0
k
时，极小值(
)
2 cos
2sin
2cos (
tan )
0
g
t
t
t
t
t t
t
，
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且随着k 的增大，极小值(2
2 π)cos
2sin
t
k
t
t
越来越小，
因此
( )
y
f x
在点
π
( ,
( ))(0
)
2
t f t
t
处的切线为
3T 切线，
等价于
( )
y
g x
有三个零点，等价于(2
2π)cos
2sin
0
t
t
t
，即tan
π
t
t
有解，
令( )
tan
h t
t
t
，则
2
2
1
( )
1
tan
0
cos
h t
t
t
，
因此
( )
y
h t
为
π
(0,
)
2 上的严格增函数，因为
3
(0)
0
π, ( )
12.6
π
2
h
h
，
于是存在唯一实数
π
(0,
)
2
t
，满足tan
π
t
t
，
所以存在唯一实数
π
(0,
)
2
t
，使得曲线
( )
y
f x
在点( ,
( ))
t f t
处的切线为
3T 切线.
【例5】（2024 届福建省泉州第五中学高三下学期适应性监测）已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为
F，O 为坐标原点，抛物线C 上不同两点A，B 同时满足下列三个条件中的两个：①
|
|
|
| |
|
FA
FB
AB
；②
|
| |
| |
| 8 3
OA
OB
AB
；③直线AB 的方程为
6
y
p
．
(1)请分析说明A，B 满足的是哪两个条件？并求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线
AB 经过点
(0,
)(
0)
M
m m
，且与（1）的抛物线C 交于A，B 两点，
(0, )
N
n
，若
MNA
MNB
，
求
m
n 的值；
(3)点A，B，E 为（1）中抛物线C 上的不同三点，分别过点A，B，E 作抛物线C 的三条切线，且三条切线
两两相交于M，N，P，求证：
MNP
△
的外接圆过焦点F．
【解析】（1）若同时满足①②：由|
|
|
| |
|
FA
FB
AB
，可得AB 过焦点
0, 2
p
F
，
当|
| |
|
OA
OB
时，|
| 2
AB
p
而
5
|
| |
|
|
| 2
2
OA
OB
p
AB
p
，所以①②不同时成立
若同时满足①③由①|
|
|
| |
|
FA
FB
AB
，可得AB 过焦点
0, 2
p
F
，
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因为直线AB 的方程为
6
y
p
，不可能过焦点
0, 2
p
F
，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为②
|
| |
| |
| 8 3
OA
OB
AB
；
且直线AB 的方程为
6
y
p
，所以
π
6
|
| sin
12
3
p
OA
，解得
2
p
．
所以抛物线C 的标准方程为
2
4
x
y
．
（2）如图：
设直线AB 的方程为
1
1
2
2
(
0),
,
,
,
y
kx
m k
A x y
B x
y
，
联立方程组
2
4
y
kx
m
x
y
，整理得
2
4
4
0
x
kx
m
，
则
1
2
1
2
4 ,
4
x
x
k x
x
m
．因为
MNA
MNB
，直线AN，BN 的斜率之和为0，
即
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
0
AN
BN
x
y
n
x
y
n
y
n
y
n
k
k
x
x
x x
，
所以
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
(
)
0
x
y
n
x
y
n
x
kx
m
n
x kx
m
n
kx x
m
n
x
x
，
即
1
2
1
2
2
(
)
2
( 4 )
(
)(4 )
0
kx x
m
n
x
x
k
m
m
n
k
，
所以4 (
)
0
k m
n
，即
1
m
n ．
（3）设过点A，B，E 的三条切线分别为
1
2
3
, ,
l l l
，倾斜角分别为
1
2
3
,
,
，
令
2
2
2
1
1
2
2
3
3
1
1
1
,
,
,
,
,
4
4
4
A x
x
B x
x
E x
x
，
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由
2
x
y
得：
1
1
2
2
3
3
1
1
1
tan
,tan
,tan
2
2
2
x
x
x
1l ：
2
1
1
1
1
2
4
y
x x
x
所以1l ：
2
1
1
1
1
2
4
y
x x
x
；2l ：
2
2
2
1
1
2
4
y
x x
x
；3l ：
2
3
3
1
1
2
4
y
x x
x
.
联立
1
3
,
l l 直线方程可得
1
3
1 3
,
2
4
x
x
x x
M
联立
2
3
,
l l 直线方程可得
2
3
2
3
,
2
4
x
x
x x
N
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
tan
tan
2
1
1
4
1
2
2
x
x
x
x
MPN
x
x
x
x
又
1 3
2
3
1 3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
1
4
4
4
4
,
2
2
2
2
MF
NF
x x
x x
x x
x x
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
，
1
3
2
3
2
1
2
3
1
3
2
3
1
2
2
1
3
2
3
1
2
1
2
3
1
3
2
3
4
4
2
4
2
2
tan
2
4
4
1
4
4
4
1
4
MF
NF
MF
NF
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
k
k
x
x
MFN
x x
x x
k
k
x x
x x
x
x
x
x
x
所以tan
tan
MPN
MFN
MPN
MFN
.
所以：M F P N
,
,
,
四点共圆，即
MNP
△
的外接圆过焦点F．
1.（2024 届北京市陈经纶中学高三下学期三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
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(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
2．（2024 届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知函数
.
(1)证明曲线
在
处的切线过原点；
(2)讨论
的单调性；
3．（2024 届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数
.
(1)当
时，曲线
与曲线
恰有一条公切线
，求实数
与的值；
(2)若函数
有两个极值点
且
，求
的取值范围.
4．（2024 届建省泉州市高中毕业班5 月适应性练习）已知函数
．
(1)当
时，若直线
与曲线
相切，求
；
(2)若直线
与曲线
恰有两个公共点，求
．
5．（2024 山东省青岛市高三第三次适应性检测）已知 O 为坐标原点，曲线
ln
f
x
a x
在点
1 0
P ，
处
的切线与曲线
ex
g x
b
在点
01
Q
b
，
处的切线平行，且两切线间的距离为
2 ，其中
0
b
.
(1)求实数 a
b
，的值;
(2)若点M
N
，
分别在曲线
y
f x
y
g x
，
上，求
ONP
与
OMQ
之和的最大值;
(3)若点A
B
，
在曲线
y
f x
上，点C
D
，
在曲线
y
g x
上，四边形 ABCD 为正方形，其面积为
S ，证明:
2
1
2
e
2
S
附:ln2 ≈ 0.693.
6.（2022 高考全国卷甲文）已知函数
3
2
( )
, ( )
f x
x
x g x
x
a
,曲线
( )
y
f x
在点
1
1
,
x
f x
处的切线也
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是曲线
( )
y
g x
的切线．
（1）若
1
1
x ,求a；
（2）求a 的取值范围．
7.（2024 届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数
有三个零点
（
）.
(1)求a 的取值范围；
(2)过点
与
分别作
的切线，两切线交于M 点，求M 点到y 轴的距离.
8.（2024 届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数
的极小值为
，其导
函数
的图象经过
，
两点.
(1)求
的解析式；
(2)若曲线
恰有三条过点
的切线，求实数
的取值范围.
9.（2024 届辽宁省丹东市高三总复习质量测试二）设函数
y
F x
的定义域为I，若
0x
I
，曲线
y
F x
在
0
x
x
处的切线l 与曲线
y
F x
有n 个公共点，则称
0
0
(
,
(
))
x F x
为函数
F x
的“n 度点”，切线l 为一
条“n 度切线”．
(1)判断点
1,
1
f
是否为函数
2
( )
3ln
f x
x
x
x
的“2 度点”，说明理由；
(2)设函数
2
e
e
x
g x
ax
x
.
①直线
2
1
y
x
是函数
y
g x
的一条“1 度切线”，求a 的值；
②若
1
a ，求函数
y
g x
的“1 度点”.
1
ln
f
x
a
x
x
x
1
2
3
,
,
x x
x
1
2
3
x
x
x
1,0
x
3,0
x
f x
3
2
0
f x
ax
bx
cx a
2
f
x
1,0
A
10
B
,
f x
y
f x
1,
P
m
m
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10．（2024 届河北省衡水市高三下学期大数据应用调研联合测评）过点
,
P a b
可以作曲线
ex
y
x
的两条
切线，切点为
,
A B
.
(1)证明：
1
e
a b
a
；
(2)设线段AB 中点坐标为
0
0
,
x
y
，证明：
0
0
a
y
b
x
.
11.（2024 届陕西省西安市第一中学高三下学期4 月月考）已知曲线C：
3
2
3
1
y
x
x
.
(1)求C 的拐点坐标；
(2)证明：C 关于其拐点对称；
(3)设l 为C 在其拐点处的切线，证明：所有平行于l 的直线都与C 有且仅有一个公共点.
12.设函数
( )
ex
f x
a
，
( )
ln
g x
x
b
，其中a ，
R
b
，e是自然对数的底数．
(1)设
( )
( )
F x
xf x
，当
1
e
a
时，求
( )
F x
的最小值；
(2)证明：当
1
e
a
，
1
b
时，总存在两条直线与曲线
( )
y
f x
与
( )
y
g x
都相切；
(3)当
2
2
e
a
时，证明：
( )
[ ( )
]
f x
x g x
b
．
13.（2024 届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）已知函数
1
e
( )
ln , ( )
( ),
R
x
f x
x g x
kf x k
x
x
.
(1)求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)若函数
( )
g x
在
1
x
处取得极大值，求实数
k
的取值范围：
(3)已知
,
R
a b
，曲线
( )
y
f x
在不同的三点
1
1
2
2
3
3
( ,
(
)),(
,
(
)),(
,
(
))
x
f x
x
f x
x
f x
处的切线都经过点
( , )
a b
，且
1
2
3
x
x
x
，当0
2
a
时，证明：
1
3
2
1
1
2
2
1
24
24
a
a
x
x
a
.
14.（2024 届天津市北辰区高三三模）已知
2
e
2
x
x
f x
，曲线
y
f x
在点
0
0
0
,
0
P x
f x
x
处的切
线为
:
( )
l
y
g x
.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
(1)当
0
0
x
时，求直线l 的方程；
(2)证明：l 与曲线
y
f x
有一个异于点P 的交点
1
1
,
x
f x
，且
1
0
x
；
(3)在（2）的条件下，令
0
1
x
t
x
，求t 的取值范围.
