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专题 01 集合+常用逻辑用语+复数+平面向量
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先化简集合 ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意， ， ，
根据交集的运算可知， .
故选：A
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
3．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
4．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，代入
化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑法
得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C5．（2022·北京·高考真题）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
6．（2022·北京·高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出 ，再计算复数的模．
【详解】由题意有 ，故 ．
故选：B．
7．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
8．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
9．（2021·北京·高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得： .
故选：B.
10．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得： .
故选：D.
11．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是
“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，故选：A.
二、填空题
12．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集 ，集合 ，
所以 .
故选：D
2．（2024·北京朝阳·一模）已知全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得.
【详解】全集 ，则 ，
所以 .
故选：D
3．（2024·北京房山·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】因为全集 ，集合 ，所以 .
故选：B.
4．（2024·北京房山·一模）已知i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数m的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数 ，再根据纯虚数的定义即可得解.
【详解】 ，
因为复数 是纯虚数，
所以 ，解得 .
故选：C.
5．（2024·北京西城·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用补集和交集运算求解即可.
【详解】因为集合 ，所以 或 ，
又集合 ，所以 或 .
故选：B
6．（2024·北京海淀·一模）设 是两个不同的平面， 是两条直线，且 .则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ，充分性满足，
如图：满足 ， ，但 不成立，故必要性不满足，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
7．（2024·北京朝阳·一模）已知 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分 ， ， 讨论函数 的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数
当 时， ，为常数函数，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
8．（2024·北京延庆·一模）若复数 满足 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.
【详解】由 可得 .
故选：C
9．（2024·北京门头沟·一模）在复平面内，复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．
C．3 D．
【答案】D
【分析】由 ，化简得到 求解.
【详解】解：因为复数 满足 ，
所以 ，
所以 的虚部为-3，
故选：D
10．（2024·北京朝阳·一模）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】复数 ，所以复数对应的点为 ，为第一象限的点.
故选：A
11．（2024·北京房山·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】先求出 ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 可得： ，
解得： ，
所以“ ”能推出“ ”，
但“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
12．（2024·北京延庆·一模）已知正方形 的边长为 ，点 满足 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进
行求解即可.
【详解】建立坐标系如图，正方形 的边长为2，
则 ， ， ，可得 ，
点 满足 ，所以 ．
故选：C.
13．（2024·北京丰台·一模）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 ( )A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】用 表示出向量 的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案．
【详解】 ，
，
又 ，
， ，
，
．
故选：D．
14．（2024·北京西城·一模）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则 （ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【分析】得出 、 后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.
【详解】由图可得 ， ，故 .
故选：A.
15．（2024·北京海淀·一模）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 两边同时平方，将条件带入计算即可.
【详解】由已知 ，
所以 ，
得 ，又 ，
所以 .
故选：C.
16．（2024·北京门头沟·一模）在 中， ， ， 且 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 两边平方，即可得到 ，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：B
17．（2024·北京西城·一模）在等比数列 中， ．则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
当 时，即有 ，又 ，故 且 ，
当 时，有 ，故不能得到 ，
即“ ”不是“ ”的充分条件；
当 时，即有 ，即 且 ，
则 ，当 时，由 ，故 ，故 ，
当 时， ，亦可得 ，
故“ ”是“ ”的必要条件；
综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
18．（2023·北京门头沟·一模）已知非零向量 ， ，则“ 与 共线”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取 为方向相反的单位向量，得到不充分，根据 得到 ，得到必要性，得
到答案.
【详解】若 与 共线，取 为方向相反的单位向量，则 ， ，
，不充分；
若 ，则 ，整理得到 ，
若 且 ，设 夹角为 ，则 ，即 ，即 ，即 ，故 与 共线，必要性成立.
综上所述：“ 与 共线”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
19．（2024·北京平谷·模拟预测）已知 ， ，P是曲线 上一个动点，则 的最
大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得 ，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得
解.
【详解】因为 ，即 ，
则曲线 表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为 ，
设点 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
故直线 （斜率为 ，纵截距为 ）与曲线 有公共点，如图所示：
直线 过点 ，则 ，即 ，
直线 与曲线 相切，则 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，所以 的最大值为 .故选：D.
20．（2024·北京·模拟预测）已知 为不共线的两个单位向量， 为非零实数，设 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由数量积公式、单位向量的定义以及向量夹角公式可得在题设条件下，
，注意到 ，由此即可结合充要条件的定义
判断.
【详解】已知 为不共线的两个单位向量， 为非零实数，设 ，
则此时
，
而向量夹角范围是 ，当 时， 严格单调递减，
从而 ，
综上所述，在题设条件下“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
21．（2024·北京朝阳·一模）在 中， ， ，点 在线段 上.当 取得最
小值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得 的坐标，即可求解.
【详解】如图，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线建立 轴，建立平面直角坐标系，
由 ， ，则 ，
所以 ， ， ，设 ，
则 ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值，此时 ， .
故选：B
22．（2024·北京东城·一模）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出 ，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即
得.
【详解】由等差数列 的公差为 ，得 ，则 ，
当 时， ，而 ，则 ，因此 ， 为递增数列；
当 为递增数列时，则 ，即有 ，整理得 ，不能推出 ，所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
23．（2024·北京丰台·一模）已知函数 ，则“ ”是“ 是偶函
数，且 是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求出 、 的解析式，再根据正弦函数的性质求出使 是偶函数且
是奇函数时 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为 ，则 ，
，
若 是奇函数，则 ，解得 ，
若 是偶函数，则 ，解得 ，
所以若 是偶函数且 是奇函数，则 ，
所以由 推得出 是偶函数，且 是奇函数，故充分性成立；
由 是偶函数，且 是奇函数推不出 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ 是偶函数，且 是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
二、填空题24．（2024·北京房山·一模）如图．已知矩形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
则 ．
【答案】
【分析】用 、 作为一组基底表示出 ， ，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意 ，
，
所以
.
故答案为：
25．（2024·北京石景山·一模）已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时，
的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当 时， 取得最小值.
【详解】如图所示：设 ，
当 时， 取得最小值，
过点 作 于点 ，即可得 的最小值为 ，
又 与 的夹角为 ，即 ，易知 ，
所以 .
即 的最小值为1.
故答案为：1
一、单选题
1．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式求得集合 ，再求交集即可.
【详解】因为 ，又 ，故 .
故选：B.
2．（2024·北京平谷·模拟预测）已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式确定集合 的元素，再由交集运算即可求解；【详解】由 解得 ，又 ，所以 .
于是 .
故选：B.
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
借助交集定义计算即可得.
【详解】由 可得 ，故 ，则 .
故选：C.
4．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数不等式的解法及并集的定义即可求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5．（2024·北京平谷·模拟预测）已知复数 ，则 =（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】D
【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意 ，则 .故选：D.
6．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知复数z满足 ，则其共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由复数除法以及共轭复数的概念即可得解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
7．（2024·北京·模拟预测）记复数 的共轭复数为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算以及共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
8．（2024·北京·模拟预测）复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：D.
9．（2024·北京平谷·模拟预测）已知 ， ，P是曲线 上一个动点，则 的最
大值是（ ）A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得 ，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得
解.
【详解】因为 ，即 ，
则曲线 表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为 ，
设点 ，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
故直线 （斜率为 ，纵截距为 ）与曲线 有公共点，如图所示：
直线 过点 ，则 ，即 ，
直线 与曲线 相切，则 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，所以 的最大值为 .
故选：D.
10．（2024·北京·模拟预测）已知 为不共线的两个单位向量， 为非零实数，设 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由数量积公式、单位向量的定义以及向量夹角公式可得在题设条件下，
，注意到 ，由此即可结合充要条件的定义
判断.
【详解】已知 为不共线的两个单位向量， 为非零实数，设 ，
则此时
，
而向量夹角范围是 ，当 时， 严格单调递减，
从而 ，
综上所述，在题设条件下“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
二、填空题
11．（2024·北京·模拟预测）已知向量 ，则 .
【答案】1
【分析】
由向量坐标的线性运算以及向量垂直的坐标表示列出关于 的方程即可求解.
【详解】由题意 ，
因为 ，
所以 ，解得 .故答案为：1.
12．（2024·北京·模拟预测）已知正方形 的边长为2，点 满足 ，则 =
．
【答案】6
【分析】由条件代入向量 ，根据向量数量积的四则运算计算即可.
【详解】在正方形 中， ，且向量 的夹角为 ，
则有 ，
.
故答案为：6
