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1.4 基本不等式
1
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2
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3
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4
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考点一 公式型
【例1-1】（2024 湖南株洲）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】D
【解析】当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的最大
值为3.选：D
【例1-2】（2024·云南）已知正实数
、
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可得
，当且仅当
时，等号成立.因此，
的最小值是
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·北京大兴）当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，又
，当且仅当
，即
时
等号成立，所以
的最大值为故选：B
2．（2024 湖南娄底）若
，
，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
5
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【解析】由题意
，解得
，等号成立当且仅当
.故选：B.
3．（2024 重庆）已知两个正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．
D．
【答案】B
【解析】
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为6，故选：
4（2024 江西）若正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【解析】正数a，b 满足
，则
，
当且仅当
时取等号，所以
时，
取得最小值8.故选：C
考点二 配凑型
【例2-1】（2024 安徽芜湖）若
，则
的最小值是 .
【答案】
/
【解析】因为
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值是
.故答案为：
【例2-2】（2023 高三·全国·专题练习）函数
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】因为
，则
，所以
≤
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最大值为
.故答案为：
.
6
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【例2-3】（2023 福建泉州）函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．故
的最大值为
．故答案为：
【一隅三反】
1．（2024·甘肃·兰州）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，
因此
，
当且仅当
，即
时，等号成立.故选：B.
2.（2024·辽宁）已知正实数x，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，又因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
，即y 的最大值是
.故选：D.
3．（2024 广东潮州）若函数
在
处取最小值，则
（ ）
7
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A．
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【解析】由题意，
，而
，当且仅当
，即
时，等号成立，所以
.故选：C.
4．（2024 云南）函数
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1
【答案】D
【解析】
，
当且仅当
,即
等号成立.故选：D.
5．（2024·江苏徐州）设
，
为正数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
，即
，
∴
，当且仅当
，且
时，即
，
时等号成立.故选：
.
考点三 常数替换型
【例3-1】（2024 湖南长沙）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．3
D．
【答案】C
8
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【解析】
，
当且仅当
时取等号．故选:C．
【例3-2】（2024 江苏扬州）已知实数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】实数
，
，由
，得
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.故选：B
【例3-3】（2024 河南·许昌高中）已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．6
C．7
D．
【答案】B
【解析】由已知条件得，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，∴
的最小值为6；故选：B.
【例3-4】（2024 辽宁葫芦岛）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
【答案】A
【解析】
，
9
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当且仅当
即
时等号成立，所以
的最小值为5.
故选：A.
【例3-5】（2023·陕西咸阳·一模）已知
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】由
，
，
得
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，
取得最小值
.故答案为：
【例3-6】（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知
，乘“ ”得
，当且仅当
时，取等号，则
的最小值为
.故选：A
【一隅三反】
1．（2023 云南丽江）已知a，b 为正数，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】正数a，b 满足
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以当
时，
取得最小值4.
10
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故选：C
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为
，且总体的平均
值为10，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得
，解得
，
由于
，故
，
当且仅当
，
时，等号成立.故答案为：
3．（20224·辽宁·沈阳）已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】D
【解析】因为a，b 为正实数，且
，
所以
.
当且仅当
，即
时取等号.故选：D
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为
，且
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
故答案为：
5（2024 高三专题练习）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11
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【答案】A
【解析】由
可得
，所以
，
因为
，
，则
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
的最小值为
，故选：A.
6．（2024 浙江绍兴）已知x 为正实数，y 为非负实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由x 为正实数，y 为非负实数，得
，由
，得
，
于是
，当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：B
考点四 消元型
【例4-1】（2024 四川眉山）设
,则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【解析】由题意
，所以
，
12
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得到
，
当且仅当
，即
时， 等号成立，则
的最小值为．
故选：A.
【例4-2】（2024 浙江·阶段练习）已知实数x，y 满足
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且
，所以
，
从而
，等号成立当且仅当
，
所以
的最小值为
.故选：A.
【例4-3】（2024·河南南阳·一模）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【解析】由
，且
，可得
.所以
.
又因为
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
.
故选：B.
【例4-4】（2024 河南漯河）设正实数
、
、满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为正实数
、
、满足
，则
，
13
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所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则
（ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最小值
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时取等号，∴
有最小值
故选：D.
2．（2024·辽宁丹东）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
则
，
因为
，
当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最小值为
.故选：B.
3．（2024 河南）（多选）已知正实数a，b 满足
，则
的可能取值为（ ）
A．2 B．
C．
D．4
【答案】BD
14
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【解析】由题意可得
，
令
，由于
，则
，
，
由于对勾函数
在
单调递减，在
单调递增，所以
，
，故
，所以
．
故选：BD．
4．（2024 北京）设正实数
，
，满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由正实数
，
，满足
，
．
，
当且仅当
时取等号，此时
．
，当且仅当
时取等号，即
的最大值是1．故选：D
考点五 基本不等式求最值
【例5-1】（2024 山东滨州）已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】因为不等式
恒成立，则
，
因为
，
，由
可得
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，故
，
所以
，即
，解得
，则实数
的取值范围是
．
故选：B．
【例5-2】（2023 浙江）若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为两个正实数
满足
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
因为不等式
有解，所以
大于
的最小值，即
，解得
或
，
即实数
的取值范围是
，故选：C
【一隅三反】
1．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y 满足
，若
恒成立，则实数t 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正实数x，y，
，则
， 即
16
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，
当且仅当
，即
时，等号成立，则
，故选：A.
2．（2024 浙江杭州）若正实数
、
满足
，且
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为正实数
、
满足
，
即
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
因为正实数
、
满足
，且
恒成立，
所以
，解得
，即实数
的取值范围是
.
故选：B．
3．（2024·江西·一模）已知正数x，y 满足
，若不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
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所以
，等号成立当且仅当
，
所以
，
，故实数a 的取值范围是
.故答案为：
考点六 基本不等式与其他知识综合
【例6-1】（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列
的前n 项和为
，
，则
的最大值为
（ ）
A．9
B．16
C．25
D．50
【答案】C
【解析】∵
，
又∵
，∴
，当且仅当
时，取“=”
∴
的最大值为25.故选：C
【例6-2】（2024 广东惠州）在
中，
为
上的一点，满足
.若
为
上的一点，满足
，则
与
的关系为 ；
的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，
由
得
，即
，
又
，
所以
，又
为
上的一点，所以
，
18
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因为
，
，所以
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
的最小值为
.
故答案为：
；
.
【一隅三反】
1．（2023 山西晋城）已知
分别为椭圆
的两个焦点，
为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．20
B．16
C．64
D．24
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可知
，∴
，
∴
，
当且仅当
时等号成立，故选：
.
2．（2024 四川成都·开学考试）函数
的图象过定点
，且定点
的坐标满足方程
，
其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．9
C．
D．8
【答案】B
【解析】对于函数
，令
，即
时
，
所以函数
的图象恒过定点
，
又定点
的坐标满足方程
，所以
，即
，
又
，
，所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
19
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的最小值为．
故选：B．
3（2023 天津南开·阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，且
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设正项等比数列
的公比为
，则
，
所以，
，
则
，则
，可得
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.故选：D.
4．（20224·河南濮阳）已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值是
______．
【答案】
【解析】设直线
与曲线
的切点为
，
对
求导得
，所以
，即
，
所以
，所以切点为
，
由切点
在切线
上，可得
，
所以
20
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，
当且仅当
，即
时，等号成立．
所以
的最小值是
．
故答案为：
．
考点七 基本不等式的实际应用
【例7】（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的
可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，
高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供
（万元）的专项补贴．波司登制衣
有限公司在收到高邮政府
（万元）补贴后，产量将增加到
（万件）．同时波司登制衣有限公司生产
（万件）产品需要投入成本为
（万元），并以每件
元的价格将其生产的产品全部售出．
注：收益=销售金额
政府专项补贴
成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益
（万元）关于政府补贴
（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益
（万元）最大？
【答案】(1)
(2)6 万元
【解析】（1）
．
因为
，所以
（2）因为
．
又因为
，所以
，
所以
（当且仅当
时取“
”）
21
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所以
即当
万元时，
取最大值30 万元．
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）用一段长为cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设矩形的长为
，宽为
，
，则
，即
，所以这个模型的面
积为
，当且仅当
时取等号，所以这个模型的最大面积为
.选：C.
2（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98 万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第
一年（今年）的维修保养费是12 万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4 万元.若当该机
的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6 年
B．7 年
C．8 年
D．9 年
【答案】B
【解析】设第
年的维修保养费为
万元，数列
的前
项和为
，该机的年平均耗费为
，
据题意，数列
是首项为12，公差为4 的等差数列.
则
.
当且仅当
，即
时，
取最小值38.
所以这台冰激凌机的使用年限是7 年.
故选:
.
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸
引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适
呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3 米处，其下沿
在观赏者眼睛平视的上方1 米处.（ ）
A．1.73
B．1.41
C．2.24
D．2.45
【答案】A
22
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【解析】
如图，设观赏者的眼睛在点
处，油画的上沿在点
处，下沿在点
处，
点
在线段
延长线上，且保持与点
在同一水平线上，
则
即观赏时的视角.
依题意
，
不妨设
，则
，
在
中，由余弦定理，
，
因
，则
，当且仅当
时，即
时等号成立，
由
可得
，
则
，则
，
因函数
在
上单调递减，故得
，
即最大视角为
，此时观赏者距离油画的直线距离为
.
故选：A.
考点八 利用基本不等式比大小
【例8-1】（2024 贵州安顺·）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易得
，结合换底公式与基本不等式有
，
23
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，
故
，
，故
.
故选：A
【例8-2】（2024 江苏扬州·期末）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
而
，则
，所以
，即
，
由
，则
，即
，
综上，
.
故选：D
【一隅三反】
1．（2024 重庆·期末）已知
，则以下关于
的大小关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，令
，则
在定义域内单调性递增，且
，
由零点存在性定理可得
，
，
又
，因此
，
，可得
，
，
，
24
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，
，
，
．
故选：D
2.（2024 贵州毕节）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由对数函数性质知
，即
，同理
，
又
，即
，
，
所以
，即
，综上
，
故选：D．
3．（2024 安徽阜阳）（多选）已知正实数x，y，z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】设
，则
，
，
，且
，
由
，A 正确；
由A 可知，
，所以
，由不等式得
，即
，所以
，即
，
25
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当且仅当
，即
，
时取得等号，又
时，由
可得
，
与
，
矛盾，所以
，B 正确；
，
所以
，
，
所以
，所以
，C 正确，D 错误．
故选：ABC
考点九 利用基本不等式证不等式
【例9-1】（2024 湖南长沙）（多选）设正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，
，
当且仅当
时取得等号，故A 错误；
对于B 选项，
，故
，
当且仅当
时取得等号，故B 正确；
对于C 选项，
，
当且仅当
时取得等号，故C 正确；
对于D 选项，
26
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，
当且仅当
时取得等号成立，故D 正确．
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2024 山东枣庄·期末）（多选）已知a，b，c 满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，即
，
，即
，
所以
，故AB 正确C 错误；
对于D：
，故D 正确.
故选：ABD
2．（2024 湖南娄底·期末）（多选）已知关于x 的不等式
（
，
）的解集
为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为4
D．
的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意，不等式
的解集为
，
可得
，且方程
的两根为
和
，
所以
，所以
，
，
所以
，所以A 正确；
因为
，
，所以
，可得
，
27
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当且仅当
时取等号，所以
的最大值为
，所以B 正确；
由
，
当且仅当
时，即
时取等号，所以
的最小值为，所以C 错误；
由
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
，所以D 正确.
故选：ABD
3．（2024 重庆大足）（多选）设正实数
，
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A 项，由
可得：
，
因
，故
，将其代入
可得：
当且仅当
时等号成立，故A 项正确；
对于B 项，由
可得
，
因
，故得：
，则
，
当且仅当
时等号成立，故B 项错误；
对于C 项，由
，
设
，由上分析知，
，
28
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则
在
上单调递增，故
，即C 项错误；
对于D 项，由
，
由上分析知
，则
，
故
，即
，故D 项正确.
故选：AD.
4．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】AD
【解析】A 选项：
，即
，解得
，当且仅当
，即
，
时等号成立，A
选项正确；
B 选项：
，当且仅当
，即
，
时等号成立，B 选项错误；
C 选项：由
，得
，
，则
，
设函数
，
，
，
令
，解得
，
29
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所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，C 选项错误；
D 选项：
，当且仅当
，即
，
时等号成立，D
选项正确；
故选：AD．
一．单选题
1．（2024·河南南阳）已知
，
且
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立.
所以
的最大值为
.故选：D
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线
经过点
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．9
D．
【答案】B
【解析】因为直线
经过点
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
、
时取等号.故选：B
3．（2024 四川成都·阶段练习）设
，则 （ ）
30
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，则
，
，
当且仅当
时，等号成立，则
.
故选：D.
4．（2024·安徽省）若
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
∴
，
当且仅当
时，即
时取等号，所以
的最小值为1.故选：D.
5．（2024 北京）已知不等式
对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要
的最小值大于等于9 即可，
，
，
当且仅当
即
时等号成立，
，
或
舍去，即
所以正实数a 的最小值为4.
31
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故选：B.
6．（2024·山东临沂）已知
，且
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立.故选：A.
7．（2024 云南德宏）已知正项等比数列
中，
成等差数列.若数列
中存在两项
，使得
为它们的等比中项，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】A
【解析】设正项等比数列
的公比为
，由
，
，
成等差数列，
有
，即
，得
，由
，解得
，
若数列
中存在两项
，
，使得
为它们的等比中项，
则
，即
，得
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为3.
故选：A
8．（2024 北京）设
，
，
，则（ ）
A．
有最大值8
B．
有最小值8
32
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C．
有最大值8
D．
有最小值8
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
设
，则
，所以
.
由基本不等式可得：
，当且仅当
时等号成立.
所以
，即
，解得
（舍）或
，
所以
，即
时成立，故选项A 错误，选项B 正确；
设
，则
，所以
，则
.
由基本不等式可得：
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
解得
或
（舍），
所以
，即
时等号成立，故选项C 错误;
对于选项D：当
时，满足
，此时
，故选项D 错误.
故选：B
二．多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A：利用基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B：对于
，
，
当且仅当
时，等号成立；即命题
不成立，故B 错误；
对于C：易知对于
，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 错误；
33
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对于D：易知当
时，
，即
，所以D 正确.
故选：AD.
10．（2024 四川成都·期中）已知
，
，且
，下列结论中正确的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是8
D．
的最小值是
【答案】ABD
【解析】
，且
，
对于A，由
，解得
，当且仅当
时等号成立，
则
的最大值为
，所以A 正确；
对于B，由
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
，所以B 正确；
对于C，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值是9，所以C 错误；
对于D，由
，
得
，当且仅当
时等号成立，
则
的最小值是
，所以D 正确.
故选：ABD.
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】BCD
【解析】选项A：由
，得
，
则
，所以
，A 错误．
选项B：因为
，
所以
，B 正确．
选项C：由
，得
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号， C 正确．
选项D：因为
，
当且仅当
时取等号，所以
，D 正确．
故选：BCD
三．填空题
12．（2024 山东菏泽·阶段练习）若两个正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为两个正实数
满足
，则
，
故
，当且仅当
时取等号，
因不等式
恒成立，则
，故
.
故答案为：
.
13．（2023·山东济宁·一模）已知函数
且
的图象过定点A，且点A 在直线
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上，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】函数
且
的图象过定点
，
则
，所以
，
由
，得
，
则
令
，则
，
则
，
当且仅当
，即
，即
时，取等号，
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
14．（2024 浙江宁波·阶段练习）已知正实数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】任意的正实数
，
，，满足
，
所以
，
由于
，为正实数，
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故由基本不等式得
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上，
的最小值为16．
故答案为：16．
四．解答题
15．（2024 湖南岳阳·阶段练习）已知函数
（m,n 为常数）.
（1）若
，解不等式
；
（2）若
，当
时，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】（1）因为
，
可化为
，可化为
，
当
，即
时，得
，
当
即
时，不等式无解；
当
即
时，得
，
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为空集；
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当
时，不等式的解集为
.
（2）若
，则
可化为
，可化为
，
当
时，
恒成立；
当
时，化为
，即
恒成立，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为，
所以
.
16（2024 湖北）已知
，
．
(1)若
，
，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求实数m 的最小值；
(3)若
．且
恒成立，求正实数a 的最小值．
【答案】(1)
(2)－4
(3)4
【解析】（1）解：∵
，
∴
，
∴
恒成立等价于
恒成立．
又
，
∴
，
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当且仅当
，即
，即
，
时等号成立．
∴
，
∴
．
故实数m 的取值范围是
．
（2）∵
，
，
∴
恒成立等价于
恒成立．
又
，当且仅当
，即
时取等号，
∴
，即
．
∴实数
的最小值为－4．
（3）∵
，
，
∴
，当且仅当
，即
时等号成立．
又
恒成立，
∴
，
∴
或
（舍去），
∴
．
故正实数
的最小值为4．
17．（2024 陕西西安）某工厂生产某种零件的固定成本为20000 元，每生产一个零件要增加投入100 元，已知
总收入
（单位：元）关于产量
（单位：个）满足函数：
.
(1)将利润
（单位：元）表示为产量
的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润
利润
产量）
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【答案】(1)
(2)当产量为20 个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100 元.
【解析】（1）当
时，
，
当
时，
，
故
.
（2）设零件的单位利润为
，
则
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
当
时，
，
故当产量为200 个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100 元.
18．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）若命题
：存在
，
，命题
：二次函数
在
的图像恒在
轴上方
(1)若命题
，
中均为假命题，求
的取值范围？
(2)对任意的
，使得不等式
成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
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【解析】（1）若命题
为真命题，则命题可转化为
，
即
，令
，得函数y 在
上单调递增，
所以
，则
，
若命题
为假命题，则
；
若命题
为真命题，则命题
可转化为
在
上恒成立，
即
，则
，当且仅当
时，
即
时等号成立，则
，
若命题
，则
，
则命题
，
均为假命题，则
（2）任意的
，使得不等式
成立，
即
在
上恒成立，
令
，
当
时，
，不合题意；
当
时，有
，解得
；
所以
的取值范围是
.
19．（2024 贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论
的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决
方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，
，求证：
．
证明：原式
．
41
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阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问
题处理方法进行研究.
例如，正实数
满足
，求
的最小值．
解：由
，得
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
的最小值为
．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生
长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知
，求
的值；
(2)若正实数
满足
，求
的最小值．
【答案】(1)1
(2)
．
【解析】（1）
由题意得
；
（2）
解法1（整体代入）：由
，
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由于
，故
，当且仅当
，即
时等号成立，
因为
有最小值
，此时
有最大值
，
从而
最小值
，即
有最小值
．
解法2（消元思想）：由题意得
．
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
因为
有最小值
，此时
有最大值
，
从而
最小值
，即
有最小值
．
43
