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§2.11 函数的零点与方程的解
课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方
程的近似解.
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把使f ( x )=0
的实数x 叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0 有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x 轴
有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f ( a ) f ( b )<0
，那么，函数y=f(x)
在区间( a ，
b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f ( c )=0
，这个c 也就是方程f(x)=0 的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f ( a ) f ( b )<0
的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点.( × )
(2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( × )
(3)连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.( × )
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.( × )
2.下列函数图象与x 轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是( )
答案 C
解析 根据函数零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足
f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C 选项中的图象在零点附近不满足
f(a)f(b)<0，所以C 选项不能用二分法求图中函数零点近似值.
3.函数f(x)=ln x-1
x 的零点所在的大致区间是( )
A.(
1
e ，1)
B.(1，2)
C.(2，e)
D.(2，3)
答案 B
解析 f(x)=ln x-1
x 的定义域为(0，+∞)，
又y=ln x 与y=-1
x 在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=ln x-1
x 在(0，+∞)上单调递增，
又f(1)=-1<0，f(2)=ln 2-1
2>0，
所以f(1)f(2)<0，
根据函数零点存在定理可得函数f(x)=ln x-1
x 的零点所在的大致区间为(1，2).
4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 024 的所有零点之和为 .
答案 2
解析 由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示，
根据图象可知y=f(x)-2 024 共有2 个零点，且2 个零点关于直线x=1 对称，
所以零点之和为2.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而
是方程f(x)=0 的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)若连续函数f(x)在区间[a，b]上满足f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2025·南昌统考)已知函数f(x)=ln x+x-2
x ，则f(x)的零点所在的区间为( )
A.(
1
2 ，1)
B.(1，2)
C.(2，e)
D.(e，3)
答案 B
解析 显然函数f(x)=ln x+x-2
x 在(0，+∞)上单调递增，
又f(1)=ln 1+1-2=-1<0，f(2)=ln 2+2-1=ln 2+1>0，
所以f(1)·f(2)<0，所以零点所在的区间为(1，2).
(2)在用二分法求方程x2=3 的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是
[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 .
答案 7
解析 设至少需要计算n 次，则n 满足1.8-1.7
2
n
<0.001，即2n>100，由于26=64，27=128，故要达到精确度
要求至少需要计算7 次.
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若
有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1 (1)函数f(x)=x
1
2-2-x-1 的零点所在的区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
答案 B
解析 函数f(x)=x
1
2-2-x-1 的定义域为[0，+∞)，
函数y=x
1
2在[0，+∞)上单调递增，函数y=2-x在[0，+∞)上单调递减，
所以f(x)在[0，+∞)上单调递增.
由f(1)=1-1
2-1=-1
2<0，f(2)=√2-1
4 -1=√2-1.25>0，
所以函数f(x)=x
1
2-2-x-1 的零点所在的区间是(1，2).
(2)用二分法求函数f(x)=ex-x-2 的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：
f(1)≈-0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈-0.04，关于下一步的说法正确的是( )
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1 作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125 作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
答案 C
解析 由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，因为|1.125-
1.25|=0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f(
1.125+1.25
2
)=f(1.187 5)的值.
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)函数f(x)={
x
2-1，x ≤0，
x -2+ ln x，x>0的零点个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
答案 D
解析 当x≤0 时，x2-1=0，解得x=-1；
当x>0 时，f(x)=x-2+ln x 在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1-2+ln 1=-1<0，
f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0，
即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)(2025·绵阳模拟)若定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[-1，1]时，f(x)=1-x2，已知函
数g(x)={
|lg x|，x>0，
e
x，x ≤0，则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为( )
A.14
B.13
C.12
D.11
答案 B
解析 因为f(x+2)=f(x)，
所以f(x)是周期为2 的周期函数，
因为当x∈[-1，1]时，f(x)=1-x2，则y=f(x)，y=g(x)={
|lg x|，x>0，
e
x，x ≤0
的图象如图，
当x≤0 时，g(x)∈(0，1]且单调递增，当0<x<1 时，g(x)∈(0，+∞)且单调递减，当x>1 时，g(x)∈(0，+∞)
且单调递增，
又f(-6)=f(0)=1>g(-6)，f(1)=g(1)=0，f(6)=f(0)=1>g(6)，f(0)=g(0)=1，
函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)的图象在[-6，6]内的交点个数，
由图知，函数h(x)在区间[-6，6]内的零点共有13 个.
思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)=0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2 (1)(2025·渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1 的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 C
解析 函数f(x)=3x|log2x|-1 的零点，
即3x|log2x|-1=0 的解，
即|log2x|=(
1
3)
x
的解，
即y=|log2x|与y=(
1
3)
x
图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，y=|log2x|与y=(
1
3)
x
有2 个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)=√36- x
2·cosx 的零点个数为 .
答案 6
解析 令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，
所以f(x)的定义域为[-6，6].
令f(x)=0 得36-x2=0 或cosx=0，
由36-x2=0 得x=±6，
由cosx=0 得x=π
2 +kπ，k∈Z，
又x∈[-6，6]，所以x 的取值为-3 π
2 ，-π
2 ，π
2 ，3 π
2 .
故f(x)共有6 个零点.
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例3 (2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和
y=g(x)恰有一个交点，则a 等于( )
A.-1
B.1
2
C.1
D.2
答案 D
解析 令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx，x∈(-1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)
=ax2+a-1-cosx=h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)=a-2=0，解得a=2.
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例4 已知函数f(x)=3x-2+ax
x
.若存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，则实数a 的取值范围是 .
答案 (1，8)
解析 令f(x)=3x-2+ax
x
=0，
可得a=3x-2
x ，
令g(x)=3x-2
x ，其中x∈(1，2)，
由于存在x0∈(1，2)，使得f(x0)=0，
则实数a 的取值范围即为函数g(x)在(1，2)上的值域.
由于函数y=3x，y=-2
x 在区间(1，2)上均单调递增，所以函数g(x)在(1，2)上单调递增.
又因为g(1)=1，g(2)=8，
所以函数g(x)在(1，2)上的值域为(1，8).
因此实数a 的取值范围是(1，8).
思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
跟踪训练3 (1)(2025·深圳模拟)已知函数f(x)=log2(x+3)+4x+a 在(-1，1)内有零点，则实数a 的取值
范围是( )
A.(-6，3)
B.(-∞，-6)∪(3，+∞)
C.[-6，3]
D.(-∞，-6]∪[3，+∞)
答案 A
解析 y=log2(x+3)在(-1，1)上单调递增，y=4x+a 是增函数，所以f(x)在(-1，1)上单调递增.
因为f(x)在(-1，1)内有零点，
所以{
f (-1)=1- 4 +a<0，
f (1)=2+ 4+a>0，解得-6<a<3.
(2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)={
x
2+2 x -3，x ≤0，
-2+ ln x，x>0，令h(x)=f(x)-k，则下列说法正确的是(
)
A.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)
B.当h(x)有3 个零点时，k∈(-4，-3]
C.当k=-2 时，h(x)的所有零点之和为-1
D.当k∈(-∞，-4)时，h(x)有1 个零点
答案 BD
解析 函数f(x)={
x
2+2 x -3，x ≤0，
-2+ ln x，x>0，
结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调递增区
间为(-1，0)和(0，+∞)，A 选项错误；
h(x)的零点即函数y=f(x)的图象和直线y=k 交点的横坐标，由图象可知，当h(x)有3 个零点时，k∈(-4，-
3]，B 选项正确；
解方程可知，当k=-2 时，h(x)有两个零点，-1-√2和1，所有零点之和为-√2，C 选项错误；
当k∈(-∞，-4)时，函数y=f(x)的图象和直线y=k 有1 个交点，即h(x)有1 个零点，D 选项正确.
嵌套函数的零点
对于嵌套函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；
(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数
y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an.
典例 (1)若函数f(x)={
1+ ln x，x>0，
x
2+ 4 x +3，x ≤0，则函数g(x)=f(f(x))的零点的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 C
解析 当x>0 时，由1+ln x=0，得x=1
e ，
当x≤0 时，由x2+4x+3=0，得x=-1 或x=-3，
所以f(x)的零点为-3，-1，1
e ，
令t=f(x)，则t∈R，f(t)=0 的根分别为t1=-3，t2=-1，t3=1
e ，
结合f(x)的图象可知，方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)=f(f(x))的零点个数为6.
(2)(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)={
- x
2- 4 x -2，x ≤0，
|ln x|，x>0，
若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m 有5 个不同的零
点，则实数m 的值可能是( )
A.-5
B.-6
C.-7
D.-8
答案 CD
解析 令g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m=0，
即[f(x)-1][3f(x)-m]=0，
解得f(x)=1 或f(x)=m
3 ，
如图，画出函数f(x)的图象，
当f(x)=1 时，直线y=1 与y=f(x)的图象有4 个交点，
所以直线y=m
3 与y=f(x)的图象只能有1 个交点，则m
3 <-2，得m<-6，
结合选项可知，m 的值可能是-7 或-8.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间
(a，b)内至少有一个零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可知，当f(a)·f(b)<0 时，函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点，充分性成立；
而函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点时，f(a)·f(b)<0 不一定成立，
如函数y=x2，在开区间(-1，1)内有零点x=0，但f(-1)·f(1)>0，必要性不成立.
则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.
2.(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=x-e-x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为
0.1)为( )
x
1
0.5
0.75
0.625
0.562 5
f(x)
0.632 1
-0.106 5
0.277 6
0.089 7
-0.007
A.0.55
B.0.57
C.0.65
D.0.7
答案 B
解析 易知f(x)在[0，1]上单调递增，
由表格得f(0.562 5)f(0.625)<0，
且|0.625-0.562 5|=0.062 5<0.1，
∴函数零点在(0.562 5，0.625)内，
∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.
3.(2025·新乡模拟)已知函数f(x)=x3+x，g(x)=3x+x，h(x)=log3x+x 的零点分别为α，β，γ，则( )
A.γ<α<β
B.α<β<γ
C.β<γ<α
D.β<α<γ
答案 D
解析 令f(x)=x3+x=0，得x3=-x，
令g(x)=3x+x=0，得3x=-x，
令h(x)=log3x+x=0，得log3x=-x，
则易知函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为y=x3，y=3x，y=log3x 的图象与直线y=-x 交点的横坐标，如图，
由图象可知，β<0，α=0，γ>0，故β<α<γ.
4.若函数f(x)=(ln x)2-ln xa在(0，8)内有2 个零点，则实数a 的取值范围为( )
A.(-∞，2ln 2)
B.(-∞，0)∪(0，2ln 2)
C.(-∞，3ln 2)
D.(-∞，0)∪(0，3ln 2)
答案 D
解析 由f(x)=(ln x)2-aln x=ln x(ln x-a)=0，
得x=1 或x=ea.
依题意可得0<ea<8，且ea≠1，
所以a<3ln 2，且a≠0，
即a<0 或0<a<3ln 2.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列说法正确的是( )
A.函数f(x)=x2+2x-8 的零点是(-4，0)，(2，0)
B.方程ex=3+x 在区间(-3，0)，(0，10)上有解
C.函数y=3x，y=log3x 的图象关于y=x 对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0 在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落
在区间(1，1.25)上
答案 BC
解析 对于A，令f(x)=x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2，即函数f(x)=x2+2x-8 的零点是-4 和2，故A 错误；
对于B，令f(x)=ex-x-3，则f(-3)=e-3>0，f(0)=-2<0，f(10)=e10-13>210-13=1 024-13=1 011>0，所以由函数零点
存在定理可知f(x)=ex-x-3 在区间(-3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex=3+x 在区间(-3，0)，(0，10)内有解，
故B 正确；
对于C，函数y=3x，y=log3x 互为反函数，所以函数y=3x，y=log3x 的图象关于y=x 对称，故C 正确；
对于D，用二分法求方程3x+3x-8=0 在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程
的解落在区间(1.25，1.5)上，故D 错误.
6.已知关于x 的方程|ax +3|=-ax2-6x-a(a>0)有两个不相等的实数解，则实数a 的取值可能为( )
A.1
B.2
C.3
D.6
答案 AB
解析 由a>0，记F(x)=|ax +3|，G(x)=-ax2-6x-a，
作出两个函数的图象如图，若函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，
则需G(- 3
a)=9
a-a>0，解得0<a<3.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.已知函数f(x)={
ln(- x)，x<0，
x
2-3 x - 4，x>0，则函数y=f(x)的零点是 .
答案 -1 和4
解析 依题意，{
x<0，
ln(- x)=0或{
x>0，
x
2-3 x - 4 =0，
解得x=-1 或x=4.
8.若函数f(x)=log2(a-2x)+x-1 存在零点，则实数a 的取值范围是
.
答案 [2√2，+∞)
解析 当log2(a-2x)+x-1=0⇔log2(a-2x)=1-x⇔a-2x=21-x= 2
2
x ，即a=2x+ 2
2
x ≥2√2，当且仅当2x= 2
2
x ，即2x=√2，
即x=1
2时等号成立，所以实数a 的取值范围是[2√2，+∞).
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)已知函数f(x)=xn-x-1.
(1)证明：当n=3 时，f(x)至少有一个零点；(6 分)
(2)当n=-1 时，关于x 的方程f(x)=m 在[1，3]上没有实数解，求m 的取值范围.(7 分)
(1)证明 当n=3 时，f(x)=x3-x-1，
因为f(0)=03-0-1=-1<0，f(2)=23-2-1=5>0，
根据函数零点存在定理，可知f(x)=x3-x-1 至少有一个零点.
(2)解 当n=-1 时，关于x 的方程f(x)=m 变为1
x -x-1=m，
又因为函数f(x)=1
x -x-1 在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[1，3]上的值域为[- 11
3 ，-1]，
方程f(x)=m 在[1，3]上没有实数解，则m 的取值范围是(-∞，- 11
3 )∪(-1，+∞).
10.(14 分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)证明：f(x+2)是偶函数；(7 分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1 在(1，+∞)内有两个零点，求实数m 的取值范围.(7 分)
(1)证明 由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，
可得b
2=2，解得b=4.
又因为f(x)有一个零点为c，则f(c)=c2-4c+c=0，
解得c=3 或c=0(舍去)，
所以f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，
因为f(-x+2)=x2-1=f(x+2)，f(x)的定义域为R，
所以f(x+2)是偶函数.
(2)解 由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1=x2-(4+m)x+4，
因为g(x)在(1，+∞)内有两个零点，则满足{
Δ=(4+m)
2-16>0，
4+m
2
>1，
g(1)=1-m>0，
解得0<m<1，
所以实数m 的取值范围为(0，1).
11 题6 分，12 题5 分，共11 分
11.(多选)已知函数f(x)={
- x
2+ 4 x，x ≥0，
- x，x<0，
若函数g(x)=f(x)-mx-1 有3 个零点，则实数m 的取值可能是(
)
A.-2
B.0
C.1
D.2
答案 BC
解析 令g(x)=0，得f(x)=mx+1，
∴函数f(x)的图象与直线y=mx+1 有三个交点，如图，
若直线y=mx+1 与直线y=-x(x<0)平行，则m=-1，此时有2 个交点；
若直线y=mx+1 与y=-x2+4x(x≥0)的图象相切，
联立两方程得x2+(m-4)x+1=0，
Δ=(m-4)2-4=0，
得m=2(m=6 舍去)，此时有2 个交点，
故-1<m<2.
12.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)={
|3
x -1|，x ≤2，
x
2-10 x +24，x>2，若方程2[f(x)]2-mf(x)=0 有6 个不相等的实根，则
非零实数m 的取值范围为 .
答案 [2，16)
解析 函数f(x)={
|3
x -1|，x ≤2，
x
2-10 x +24，x>2的图象如图，且f(2)=8，
由2[f(x)]2-mf(x)=0，可得f(x)=0 或f(x)=m
2 ，
由图象可知方程f(x)=0 有3 个不相等的实根，
又方程2[f(x)]2-mf(x)=0 有6 个不相等的实根，
则f(x)=m
2 有3 个不相等的实根，
所以m
2 ∈[1，8)，解得m∈[2，16).
