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§2.6 二次函数与幂函数
课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、
顶点、最值等).
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y = x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，+∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1
，
1)
和(0
，
0)
，且在(0，+∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1
，
1)
，且在(0，+∞)上单调递减；
④当α 为奇数时，y=xα为奇函数；当α 为偶数时，y=xα为偶函数.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)=ax
2 + bx
+ c ( a ≠
0)
.
顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为( m ，
n ) .
零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
[
4 ac -b
2
4 a
，+∞)
(-∞，4 ac -b
2
4 a ]
对称轴
x=- b
2a
顶点坐标
(- b
2a ，4 ac -b
2
4 a )
奇偶性
当b=0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(-∞，- b
2a]上单调递减；
在[- b
2a ，+ ∞)上单调递增
在(-∞，- b
2a]上单调递增；
在[- b
2a ，+∞)上单调递减
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=1
2 x
1
2是幂函数.( × )
(2)若二次函数y=ax2+bx+c 的图象恒在x 轴下方，则a<0 且Δ<0.( √ )
(3)二次函数y=a(x-1)2+2 的单调递增区间是[1，+∞).( × )
(4)若幂函数y=xα是偶函数，则α 为偶数.( × )
2.(2025·唐山模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，√2)，则f(4)等于( )
A.√2
B.2
C.16
D.±2
答案 B
解析 由题意设f(x)=xα(α 为常数)，
∵f(x)的图象经过点(2，√2)，∴2α=√2，解得α=1
2，
∴f(x)=x
1
2，∴f(4)=4
1
2=2.
3.函数f(x)=2x2-x-1(-1≤x≤1)的值域是( )
A.[0，1]
B.[- 9
8 ，1]
C.[1，2]
D.[- 9
8 ，2]
答案 D
解析 f(x)=2x2-x-1=2(x - 1
4)
2
-9
8，
因为-1≤x≤1，所以f(x)在[-1，1
4]上单调递减，在(
1
4 ，1]上单调递增，且f(
1
4)=-9
8，
又f(1)=2-1-1=0，f(-1)=2+1-1=2，
故f(x)=2x2-x-1 在-1≤x≤1 上的值域为[- 9
8 ，2].
4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞，-3]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞，4]
解析 由函数f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞，-3]上单调递减，
可得-2(a-1)
2
≥-3，即a≤4，
故实数a 的取值范围是(-∞，4].
1.幂函数的性质
(1)当α<0 时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方
无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是
两个幂函数的公共点.
2.谨防三个易误点
(1)幂函数f(x)=x
m
n (m，n 互质)，当m 为偶数时，函数为偶函数；当m 为奇数，n 为偶数时，函数为非奇非
偶函数；
(2)二次函数在区间单调，求参数取值范围时等号的处理；
(3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论.
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n 取±2，±1
2四个值，则相
对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为( )
A.-2，-1
2 ，1
2，2
B.2，1
2，-1
2，-2
C.-1
2，-2，2，1
2
D.2，1
2，-2，-1
2
答案 B
解析 根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象：
当n>0 时，n 越大，y=xn递增速度越快，所以曲线C1的n=2，C2的n=1
2；
当n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-1
2，C4的n=-2.
(2)已知幂函数f(x)=(3m2+m-1)xm为偶函数，且a=f(-2)，b=f(e)，c=f(1)，则( )
A.b<c<a
B.c<b<a
C.a<b<c
D.c<a<b
答案 D
解析 因为f(x)=(3m2+m-1)xm是幂函数，
所以3m2+m-1=1，解得m=-1 或m=2
3，
又因为f(x)是偶函数，所以m=2
3，
故f(x)=x
2
3，因为2
3>0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
又a=f(-2)=f(2)，且1<2<e，
所以f(1)<f(2)<f(e)，即c<a<b.
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，
y=x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α=1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
跟踪训练1 (1)幂函数f(x)=(m2-m-1)x
m
2+m-3在(0，+∞)上单调递减，则实数m 的值为( )
A.2 或-1
B.-1
C.2
D.-2 或-1
答案 B
解析 由题意可知，m2-m-1=1，解得m=-1 或m=2，
当m=-1 时，f(x)=x-3，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，成立；
当m=2 时，f(x)=x3，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，不成立，
所以m=-1.
(2)(多选)已知函数f(x)=xα(α 为常数)，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象恒过定点(1，1)
B.当α=-1 时，函数f(x)是减函数
C.当α=3 时，函数f(x)是奇函数
D.当α=1
2时，函数f(x)的值域为(0，+∞)
答案 AC
解析 f(1)=1α=1，A 正确；
当α=-1 时，f(x)=1
x 分别在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，在定义域上不单调，B 错误；
当α=3 时，f(x)=x3的定义域为R，且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，C 正确；
当α=1
2时，f(x)=√x的值域为[0，+∞)，D 错误.
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得{
4 a+2b+c =-1，
a-b+c =-1，
4 ac -b
2
4 a
=8，
解得{
a=- 4，
b= 4，
c =7.
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1)，
所以抛物线的对称轴为x=2+(-1)
2
=1
2，
所以m=1
2.
又根据题意，函数有最大值8，所以n=8，
所以f(x)=a(x - 1
2)
2
+8.
因为f(2)=-1，所以a(2- 1
2)
2
+8=-1，
解得a=-4，
所以f(x)=-4(x - 1
2)
2
+8=-4x2+4x+7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知得f(x)+1=0 的两根为x1=2，x2=-1，
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8，即4 a(-2a-1)-(-a)
2
4 a
=8.
解得a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意
x∈R，都有f(2-x)=f(2+x)，则f(x)= .
答案 x2-4x+3
解析 因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R 恒成立，
所以y=f(x)的图象关于直线x=2 对称.
又y=f(x)的图象在x 轴上截得的线段长为2，
所以f(x)=0 的两根为2-1=1 和2+1=3，
所以二次函数f(x)与x 轴的两个交点的坐标为(1，0)和(3，0)，
因此设f(x)=a(x-1)(x-3).
又点(4，3)在y=f(x)的图象上，
所以3a=3，则a=1，故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 (多选)函数f(x)=ax2-2x+1 与g(x)=xa在同一直角坐标系中的图象不可能为( )
答案 BD
解析 因为f(x)=ax2-2x+1，g(x)=xa，
对于A，当a=-1 时，f(x)=-x2-2x+1，其图象开口向下，对称轴方程为x=-1，g(x)=x-1=1
x ，其图象关于原点对
称，且在(0，+∞)上单调递减，故A 满足要求；
对于B，当f(x)=ax2-2x+1 的图象开口向上时，a>0，此时g(x)=xa在(0，+∞)上单调递增，故B 不满足要求；
对于C，当a=1
2时，f(x)=1
2x2-2x+1，其图象开口向上，对称轴方程为x=2，g(x)=x
1
2，其图象在[0，+∞)上单
调递增，且越来越缓，故C 满足要求；
对于D，当f(x)=ax2-2x+1 的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x=--2
2a=1
a>0，故D 不满足要求.
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的
不等式(组)进行求解：
(1)判别式Δ 的符号.
(2)对称轴x=- b
2a与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
典例 (多选)已知关于x 的方程x2+(m-3)x+m=0 的两个根分别为x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是( )
A.当x1>0 且x2>0 时，0<m<1
B.当x1<1 且x2>1 时，m<1
C.当-2<x1<0 且0<x2<4 时，m<-4
5
D.当x1<2 且x2>4 时，m<-4
5
答案 ABD
解析 令f(x)=x2+(m-3)x+m.
对于A，由题意得{
x1+ x2=3-m>0，
x1 x2=m>0，
Δ=(m-3)
2- 4 m>0，
解得0<m<1，A 正确；
对于B，f(1)=2m-2<0，解得m<1，B 正确；
对于C，{
f (-2)=10-m>0，
f (0)=m<0，
f (4)=5m+ 4>0，
解得-4
5 <m<0，C 错误；
对于D，{
f (2)=3m-2<0，
f (4)=5m+ 4<0，解得m<-4
5 ，D 正确.
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 已知函数f(x)=x2+ax+3-a，a∈R.
(1)若y=f(x)在区间[-1，3]上是单调函数，求a 的取值范围；
(2)若当0≤x≤2 时，函数y=f(x)的最小值是关于a 的函数m(a)，求m(a)的表达式.
解 (1)函数f(x)=x2+ax+3-a 图象的对称轴为x=-a
2.
因为f(x)在区间[-1，3]上是单调函数，
所以-a
2≤-1 或-a
2≥3.
故a≤-6 或a≥2.
(2)当-a
2≤0，即a≥0 时，
f(x)在区间[0，2]上单调递增，m(a)=f(0)=3-a；
当0<-a
2<2，即-4<a<0 时，
f(x)在区间[0，- a
2]上单调递减，在[- a
2 ，2]上单调递增，
m(a)=f(- a
2)=-1
4 a2-a+3；
当-a
2≥2，即a≤-4 时，f(x)在区间[0，2]上单调递减，m(a)=f(2)=a+7.
综上，m(a)={
a+7，a≤- 4，
- 1
4 a
2-a+3，- 4<a<0，
3-a，a≥0.
思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪
种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行
分类讨论.
跟踪训练3 (1)(多选)(2025·赣州模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中正
确的是( )
A.b=-2a
B.a+b+c<0
C.a+c<b
D.abc<0
答案 ACD
解析 由题意得a<0，对称轴为x=- b
2a=1，则b=-2a>0，故A 正确；
当x=-1 时，y=a-b+c<0，则a+c<b，故C 正确；
当x=0 时，y=c>0，则abc<0，故D 正确；
当x=1 时，y=a+b+c>0，故B 错误.
(2)已知函数y=x2-3x-4 的定义域是[-1，m]，值域为[- 25
4 ，0]，则m 的取值范围是( )
A.(0，4]
B.[
3
2 ，4]
C.[
3
2 ，3]
D.[
3
2 ，+∞)
答案 B
解析 设f(x)=x2-3x-4=(x - 3
2)
2
-25
4 ，x∈R，
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=3
2，如图所示，
所以f (
3
2)=-25
4 ，易知f(-1)=f(4)=0，
由图可知，要使函数y=x2-3x-4 的定义域是[-1，m]，值域为[- 25
4 ，0]，
则m 的取值范围是[
3
2 ，4].
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α 的值可以是( )
A.-2
B.2
C.1
2
D.1
3
答案 D
解析 当α=-2 时，f(x)=x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A 不符合题意；
当α=2 时，f(x)=x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B 不符合题意；当
α=1
2时，f(x)=x
1
2，x∈[0，+∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C 不符合题意；当α=1
3
时，f(x)=x
1
3，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D 符合题意.
2.(2025·石家庄统考)已知a=2
1
5，b=3
2
5，c=17
1
5，则( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<a<b
答案 A
解析 b=3
2
5=9
1
5，
而函数y=x
1
5在(0，+∞)上单调递增，2<9<17，
因此2
1
5<9
1
5<17
1
5，所以a<b<c.
3.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R 上的偶函数，且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x 在区间[1，3]上单调递减，则实
数a 的取值范围是( )
A.(-∞，4)
B.(-∞，4]
C.[6，+∞)
D.(-∞，4]∪[6，+∞)
答案 C
解析 因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R 上的偶函数，
则m2-5m+5=1，解得m=1 或m=4，
当m=1 时，f(x)=x-1，该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数，不符合题意；
当m=4 时，f(x)=x2，该函数是定义域为R 的偶函数，符合题意.
所以f(x)=x2，则g(x)=x2-(2a-6)x，其对称轴方程为x=a-3，
因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，则a-3≥3，解得a≥6.
4.已知m>1，点(1-m，y1)，(m，y2)，(m+1，y3)都在二次函数y=x2-2x 的图象上，则( )
A.y1<y2<y3
B.y3<y2<y1
C.y1=y3<y2
D.y2<y1=y3
答案 D
解析 二次函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，
其图象的对称轴方程为x=1，
而(1-m)+(1+m)=2，
所以f(1-m)=f(1+m)，即y1=y3，
当x>1 时，f(x)单调递增，
因为m>1，所以m+1>m>1，
所以f(m+1)>f(m)，即y2<y3，
综上，y2<y1=y3.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3，m∈N*，则下列结论正确的有( )
A.m=1
B.函数f(x)在定义域内单调递减
C.f(-2)<f(3)
D.函数f(x)的值域为(0，+∞)
答案 AD
解析 由f(x)=(2m2+m-2)xm-3为幂函数可得2m2+m-2=1，解得m=1 或m=-3
2，又m∈N*，所以m=1.所以
f(x)=x-2= 1
x
2，故A 正确；
因为函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，由f(-x)=
1
(- x)
2= 1
x
2=f(x)，知函数f(x)为偶函数，
由于-2<0，故f(x)=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞，0)上单调递增，
故B 错误；
f(-2)=
1
(-2)
2=1
4 >1
9= 1
3
2=f(3)，故C 错误；
因为f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，则x2>0，所以f(x)= 1
x
2的值域为(0，+∞)，故D 正确.
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是直线x=-1，且过点(-3，0)，下列说法正确的是(
)
A.abc<0
B.2a-b=0
C.3a+c=0
D.若(-5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，则y1>y2
答案 ABC
解析 由图知该抛物线开口向上，故a>0，∵对称轴是直线x=-1，∴- b
2a=-1，故b=2a>0，即2a-b=0，故B
正确；
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c<0，故A 正确；
由抛物线对称性得该函数图象必过点(1，0)，可得a+b+c=0，结合b=2a，可得3a+c=0，故C 正确；
易知点(-5，y1)，(3，y2)到对称轴距离相等，故y1=y2，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2025·海口模拟)已知函数f(x)=xα(α∈Z)，写出一个同时满足下列性质①②的α 的值： .
①当x∈(-∞，0)时，f(x)<0；②f(x)在(0，+∞)上单调递减.
答案 -1(答案不唯一)
解析 由①，当x∈(-∞，0)时，xα<0，则α 为奇数，由②，f(x)在(0，+∞)上单调递减，则α<0，所以α 可
以取任意负奇数，不妨取α=-1.
8.函数f(x)=x2-4x+2 在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，则b-a 的取值范围是
.
答案 [2，4]
解析 解方程f(x)=x2-4x+2=2，得x=0 或x=4，解方程f(x)=x2-4x+2=-2，得x=2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[-2，2].
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]=[0，2]或[a，b]=[2，4]，此时b-a 取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b-a 取最大值时，[a，b]=[0，4]，
所以b-a 的最大值为4，
所以b-a 的取值范围是[2，4].
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0，+∞)上单调递减.
(1)求m 的值；(6 分)
(2)若(2a-1)-m<(a+3)-m，求a 的取值范围.(7 分)
解 (1)由幂函数的定义可得m2+4m+4=1，
即m2+4m+3=0，解得m=-1 或m=-3.
因为f(x)在(0，+∞)上单调递减，
所以m+2<0，即m<-2，
则m=-3.
(2)设g(x)=x3，则g(x)是增函数.
由(1)可知(2a-1)-m<(a+3)-m，
即(2a-1)3<(a+3)3，
则2a-1<a+3，解得a<4，
即a 的取值范围为(-∞，4).
10.(15 分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式；(7 分)
(2)当x∈[-1，1]时，f(x)>2x+2m+1 恒成立，试确定实数m 的取值范围.(8 分)
解 (1)由题意，函数f(x)是二次函数，
且f(0)=f(2)，可得函数f(x)的对称轴为直线x=1，
又由最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)，
又f(0)=3，即a(0-1)2+1=3，解得a=2，
所以函数的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)因为当x∈[-1，1]时，f(x)>2x+2m+1 恒成立，
即当x∈[-1，1]时，2x2-4x+3>2x+2m+1 恒成立，
即当x∈[-1，1]时，m<x2-3x+1 恒成立，
设函数g(x)=x2-3x+1，x∈[-1，1]，
则g(x)在区间[-1，1]上单调递减，
所以g(x)在区间[-1，1]上的最小值为g(1)=-1，所以m<-1，
故实数m 的取值范围为(-∞，-1).
每小题5 分，共10 分
11.如图为三个幂函数y=x
a1，y=x
a2，y=x
a3在其定义域上的局部图象，则实数a1，a2，a3从小到大的排列顺
序为 .(请用“<”连接)
答案 a1<a2<a3
解析 对于y=x
a1，
由其图象可知a1<-1，例如a1=-2；
对于y=x
a2，由其图象可知0<a2<1，例如a2=2
3；
对于y=x
a3，由其图象可知a3>1，例如a3=3，
所以a1<a2<a3.
12.定义：设不等式F(x)<0 的解集为M，若M 中只有唯一整数，则称M 是最优解.若关于x 的不等式|x2-
2x-3|-mx+2<0(m>0)有最优解，则实数m 的取值范围是 .
答案 (
2
3 ，7
4]
解析 |x2-2x-3|-mx+2<0 可转化为|x2-2x-3|<mx-2，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=|x2-2x-3|，g(x)=mx-2 的图象，如图所示.当m>0 时，要存在唯一
的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，
则{
f (2)≥g(2)，
f (3)<g(3)，
f (4)≥g(4)，
即{
3≥2m-2，
0<3m-2，
5≥4 m-2，
解得2
3<m≤7
4 .
所以实数m 的取值范围是(
2
3 ，7
4].
