文档文本内容
§8.8 抛物线
课标要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶
点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛
物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .
注意：定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦点
准线
方程
对称
轴
顶点
离心
率
e＝
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x 轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).( )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离.( )
(4)焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数
的解析式是一致的.( )
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是( )
A.开口向左
B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1
D.对称轴为x 轴
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F 的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝15
2 ，则p 等于( )
A.3
B.6
C.9
D.12
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A 到抛物线准线的距离为 .
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，则
(1)x1x2＝p
2
4 ，y1y2＝－p2；
(2)弦长|AB|＝x1+x2+p＝2 p
sin
2α (α 为弦AB 的倾斜角)；
(3)
1
| FA | +
1
| FB| ＝2
p；
(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；
(5)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2025·东北三省精准教学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若抛物线上一点M 满
足|MF|＝2，∠OFM＝60°，则p 等于( )
A.3
B.4
C.6
D.8
(2)记抛物线E：y2＝4x 的焦点为F，点A 在E 上，B(2，1)，则|AF|+|AB|的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
延伸探究 本例(2)中，点B 坐标改为(2，3)，点A 到准线的距离为d，求|AB|+d 的最小值.
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的
求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离是10，则M 到x 轴的距离是(
)
A.4
B.6
C.7
D.9
(2)已知点P 为抛物线y2＝－4x 上的动点，设点P 到直线l：x＝1 的距离为d1，到直线x+y－4＝0 的距离
为d2，则d1+d2的最小值是( )
A.5
2
B.5√2
2
C.2
D.√2
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为 .
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一
个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P 在抛物线C1上，过
点P 作x 轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p 等于( )
A.4
B.6
C.8
D.12
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)动点P 到点A(0，2)的距离比它到直线l：y＝－4 的距离小2，则动点P 的轨迹方程为(
)
A.y2＝4x
B.y2＝8x
C.x2＝4y
D.x2＝8y
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上且位于第一象限，AB⊥l 于点
B，若|AF|＝|BF|＝4，则抛物线C 的标准方程为 .
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是( )
A.p<1
B.p>1
C.p<2
D.p>2
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x 过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )
A.焦点F 的坐标为(4，0)
B.|AB|＝x1+x2+4
C.y1y2＝－8
D.
1
| FA | +
1
| FB| ＝1
2
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对
称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3 (1)(多选)对于抛物线1
8x2＝y，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为(0，1
16)
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y＝－4
(2)(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F 的直线l 与抛物线交于两个不同
的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 为坐标原点，设直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2，则( )
A.p＝2
B.|AB|≥4
C.⃗OA·⃗OB＝－4
D.k1k2＝－4
答案精析
落实主干知识
1.相等 焦点 准线
2.(
p
2 ，0) (- p
2 ，0) (0，p
2) (0，- p
2) x＝－p
2 x＝p
2
y＝－p
2 y＝p
2 x 轴 y 轴
(0，0) 1
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.AD [对于抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点坐标为(- 1
2 ，0)，准线方程为x＝1
2，对称轴为x 轴，故
AD 正确.]
3.A [抛物线C：y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－p
2 ，P(6，y0)，
由抛物线的定义可知
|PF|＝6+ p
2 ＝15
2 ，解得p＝3.]
4.5
2
解析 由题意22＝2p×2，解得
p＝1，所以抛物线的准线方程为
x＝－1
2，
故所求距离为2+1
2 ＝5
2.
探究核心题型
例1 (1)A [如图，过点M 分别向x 轴和准线作垂线，垂足分别为A，N，
根据抛物线定义，
有|MF|＝|MN|＝2，
所以p＝|MN|+|MF|·cos 60°＝3.]
(2)B [过点A 作准线x＝－1 的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|，则|AF|+|AB|＝|AD|+|AB|≥3，如图所示，所
以|AF|+|AB|的最小值为3.
]
延伸探究 解 令x＝2，y2＝8<9，
故点B 在抛物线外部.
由抛物线定义，
d＝|AF|，
∴|AB|+d
＝|AB|+|AF|
≥|BF|＝√10，如图所示，
当且仅当B，A，F 三点共线时等号成立，
∴|AB|+d 的最小值为√10.
跟踪训练1 (1)B [抛物线y2＝4x 的准线方程为x＝－1，由抛物线定义可得xM+1＝10，故xM＝10－1＝9，
则|yM|＝√4 xM ＝√4×9＝6，即M 到x 轴的距离为6.]
(2)B [直线l：x＝1 为抛物线y2＝－4x 的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作
直线x+y－4＝0 的垂线，
如图所示，当点P 为所作直线与抛物线的交点时，d1+d2的值最小，为点F 到直线x+y－4＝0 的距离.
∵F(－1，0)，
∴(d1+d2)min＝|-1+0- 4|
√2
＝5√2
2 .]
例2 (1)y2＝16
3 x 或x2＝－9
4 y
解析 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入
y2＝2px 和x2＝－2p1y 中，
得(－4)2＝2p·3，
32＝－2p1·(－4)，
则2p＝16
3 ，2p1＝9
4 .
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝16
3 x 或x2＝－9
4 y.
(2)D [方法一 如图，过点P 作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|
＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，
则xP＝－2，
又点P 在抛物线C1：
y2＝－2px(p>0)上，
∴y P
2＝4p，
则|PM|＝2√p，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝p
2 －2，
∵|PM|2+|M F1|
2＝|P F1|
2，
∴(2√p)
2+(
p
2 -2)
2
＝82，
∴p＝12(p＝－20 舍去).
方法二 设P(x0，y0)，
则x0<0，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴－x0+ p
2 ＝2(－2x0)＝8，
∴x0＝－2，p＝12.]
跟踪训练2 (1)D [因为动点P 到点A(0，2)的距离比它到直线l：y＝－4 的距离小2，所以动点P 到点
A(0，2)的距离与它到直线y＝－2 的距离相等，根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A(0，2)为焦点，以
直线y＝－2 为准线的抛物线，其标准方程为x2＝8y.]
(2)y2＝4x
解析 ∵|AF|＝|AB|且
|AF|＝|BF|＝4，
∴△ABF 为等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
设抛物线的准线与x 轴交于点E，∴∠FBE＝30°，
∴|EF|＝|BF|·sin 30°＝4×1
2＝2，即p＝2，
∴抛物线C 的标准方程为y2＝4x.
例3 (1)D [设P 为抛物线上任意一点，则P 到焦点的距离等于到准线：x＝－p
2 的距离，显然当P 为抛物
线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值p
2 .∴p
2 >1，即p>2.]
(2)BD [由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A 错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+2+x2+2＝x1+x2+4，故B 正确；
方法一 设直线AB 的方程为x＝my+2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1+y2＝8m，y1y2＝－16，
1
| FA | +
1
| FB| ＝
1
x1+2+
1
x2+2
＝
1
y1
2
8 +2+
1
y2
2
8 +2
＝
8
y1
2+16+
8
y2
2+16
＝
8 y1
2+8×16+8 y2
2+8×16
y1
2 y2
2+16 y1
2+16 y2
2+16
2
＝
8( y1+ y2)
2-16 y1 y2+16
2
( y1 y2)
2+16( y1+ y2)
2-32 y1 y2+16
2
＝
8×(8m)
2+16
2+16
2
16
2+16×(8m)
2+32×16+16
2
＝1
2，故C 错误，D 正确.
方法二 因为p＝4，
所以y1y2＝－p2＝－16，
1
| FA | +
1
| FB| ＝2
p ＝1
2，故C 错误，D 正确.]
跟踪训练3 (1)AC [由抛物线1
8x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线
的距离为4，准线方程为y＝－2.]
(2)ABD [因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，
所以22＝2p，解得p＝2，故A 正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，
则焦点为F(1，0)，
设直线l：x＝my+1，
联立{
y
2＝4 x ,
x＝my +1,
消去x 整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2+16>0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1+x2＝m(y1+y2)+2＝4m2+2，
x1x2＝(my1+1)(my2+1)
＝m2y1y2+m(y1+y2)+1＝1，
所以|AB|＝x1+x2+2
＝4m2+4≥4，故B 正确；
因为⃗OA＝(x1，y1)，⃗OB＝(x2，y2)，
所以⃗OA·⃗OB＝x1x2+y1y2＝－3，故C 错误；
由题意知，x1≠0 且x2≠0，所以k1k2＝y1
x1
· y2
x2
＝－4，故D 正确.]
