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进阶3 与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
题型一 与角度、斜率有关的范围(最值)问题
例1 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2.
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足⃗PQ=9⃗QF，求直线OQ 斜率的最大值.
思维升华 求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或
者函数求解有关的问题.
跟踪训练1 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
心率为2，P 是E 的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E 的方程；
(2)若E 的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l 与E 的右支交于M，N 两点，直线AM 和BN 的斜率
分别为kAM和kBN，求k AM
2 +2
3kBN的最小值.
题型二 与参数、向量有关的范围(最值)问题
例2 已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√2
2 ，以坐标原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的
圆与直线x-y+√2=0 相切.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C 相交于A，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足⃗OA+⃗OB=t⃗OP
(t∈R)，当|⃗PA-⃗PB|<2√5
3 时，求实数t 的取值范围.
思维升华 含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、
函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关
量的范围(最值).
跟踪训练2 在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦
距为2，且与双曲线x
2
2 -y2=1 共顶点.P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若⃗F1 P=λ⃗Q F1，且λ∈[
1
2 ，2]，求⃗OP·⃗OQ的最大值.
答案精析
例1 解 (1)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(
p
2 ，0)，准线方程为x=- p
2 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p
2 -(- p
2)=p=2，
∴抛物线C 的方程为y2=4x.
(2)方法一 设Q(x0，y0)，
则⃗PQ=9⃗QF=(9-9x0，-9y0)，
∴P(10x0-9，10y0)，
由P 在抛物线上可得
(10y0)2=4(10x0-9)，
即x0=25 y0
2+9
10
>0，
∴直线OQ 的斜率
kOQ= y0
x0
=
y0
25 y0
2+9
10
=
10 y0
25 y0
2+9
，
当y0=0 时，kOQ=0；
当y0≠0 时，kOQ=
10
25 y0+ 9
y0
，
当y0>0 时，
∵25y0+ 9
y0
≥2√
25 y0· 9
y0
=30，
此时0<kOQ≤1
3 ，当且仅当25y0= 9
y0
，即y0=3
5时，等号成立；
当y0<0 时，kOQ<0，
综上，直线OQ 斜率的最大值为1
3.
方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程为y2=2
5x- 9
25.
设直线OQ 的方程为y=kx，则当直线OQ 与抛物线y2=2
5x- 9
25相切时，其斜率k 取到最值，
联立{
y =kx ,
y
2= 2
5 x - 9
25 ,
得k2x2-2
5x+ 9
25=0，
则Δ=(- 2
5)
2
-4k2× 9
25=0，
解得k=±1
3 ，
∴直线OQ 斜率的最大值为1
3.
方法三 (轨迹方程+换元求最值法)
同方法一得点Q 的轨迹方程为y2=2
5x- 9
25.
设直线OQ 的斜率为k，Q(x，y)，
则k2=(
y
x)
2
= 2
5 x -
9
25 x
2.
令1
x =t(0<t ≤10
9 )，
则k2=- 9
25t2+2
5t 的对称轴为t=5
9 ，
∴0≤k2≤1
9 ，-1
3≤k≤1
3.
故直线OQ 斜率的最大值为1
3.
方法四 由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)，⃗PQ=9⃗QF ，
∴(x-4t2，y-4t)=9(1-x，-y)，
于是{
x - 4 t
2=9(1- x),
y - 4 t =-9 y ,
∴{
10 x = 4t
2+9,
10 y = 4 t ,
则直线OQ 的斜率为k= y
x =
4t
4t
2+9
，
当t=0 时，k=0；
当t>0 时，
k=
4
4t + 9
t
≤
4
2√4t· 9
t
=1
3 ，
当且仅当4t=9
t ，
即t=3
2时等号成立，
综上，直线OQ 斜率的最大值为1
3.
跟踪训练1 解 (1)设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵S△P F1F2=1
2|PF1||PF2|=3，
∴|PF1||PF2|=6.
由题可知|PF1|-|PF2|=2a，
|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2，
即4c2-12=4a2，∴b2=3.
又c
a=2，∴a2=1.
故E 的方程为x2- y
2
3 =1.
(2)如图，由题可知F2(2，0)，
A(-1，0)，B(1，0)，且直线MN 的斜率不为0，
设直线MN 的方程为
x=ty+2(- √3
3 <t < √3
3 )，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立{
x =ty +2,
x
2- y
2
3 =1,
得(3t2-1)y2+12ty+9=0，
∴y1+y2=- 12t
3t
2-1
，y1y2=
9
3t
2-1.
∵kAM=
y1
x1+1 ，kBN=
y2
x2-1 ，
∴
k AM
k BN
=
y1( x2-1)
y2( x1+1)=
y1(t y2+1)
y2(t y1+3)
= t y1 y2+ y1
t y1 y2+3 y2
=
-3t
3t
2-1
- y2
9t
3t
2-1
+3 y2
=-1
3 ，
∴kBN=-3kAM，
∴k AM
2 +2
3kBN=(kAM-1)2-1，
∵直线AM 与E 的右支有交点，
∴-√3<kAM<√3，
∴当kAM=1，kBN=-3 时，
k AM
2 +2
3kBN取得最小值，且最小值为-1.
例2 解 (1)由题意可知，短半轴长b=|0-0+√2|
√1
2+(-1)
2 =1，
因为e=c
a=√2
2 ，
则e2=c
2
a
2=a
2-b
2
a
2
=1
2 ，
即a2=2b2=2，
所以椭圆C 的方程为x
2
2 +y2=1.
(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，
设直线AB 为y=k(x-2)，
联立方程
{
y =k( x -2),
x
2
2 + y
2=1,
消去y 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0，
由Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0，
解得k2<1
2 ，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
则x1+x2= 8k
2
1+2k
2 ，x1x2=8k
2-2
1+2k
2 ，
因为⃗OA+⃗OB=t⃗OP，
则(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
易知t≠0，
可得x= x1+ x2
t
=
8k
2
t(1+2k
2)
，
y= y1+ y2
t
=1
t [k(x1+x2)-4k]
=- 4 k
t(1+2k
2)
，
且点P 在椭圆上，
则
(8k
2)
2
t
2(1+2k
2)
2+ 2(- 4 k )
2
t
2(1+2k
2)
2=2，
整理得16k2=t2(1+2k2)，
又因为|⃗PA-⃗PB|=|⃗BA|<2√5
3
，
则√1+ k
2|x1-x2|<2√5
3
，
可得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<20
9 ，
即(1+k2)[
64 k
4
(1+2k
2)
2 - 4× 8k
2-2
1+2k
2]<20
9 ，
整理得(4k2-1)(14k2+13)>0，
解得k2>1
4 ，
所以1
4 <k2<1
2 ，
且16k2=t2(1+2k2)，
可得t2= 16k
2
1+2k
2=8-
8
1+2k
2∈(
8
3 ，4)，
解得-2<t<-2√6
3
或2√6
3
<t<2，
所以实数t 的取值范围为(-2，- 2√6
3 )∪(
2√6
3
，2).
跟踪训练2 解 (1)双曲线x
2
2 -y2=1 的顶点坐标为(±√2，0)，故a2=2，
由题意得c=1，
故b2=a2-c2=2-1=1，
故椭圆C 的方程为x
2
2 +y2=1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则⃗F1 P=(x1+1，y1)，⃗
Q F1=(-1-x2，-y2)，
因为⃗F1 P=λ⃗Q F1，λ∈[
1
2 ，2]，
所以{
x1+1= λ(-1- x2),
y1=- λ y2,
即{
x1=- λ- λ x2-1,
y1=- λ y2,
所以{
(- λ - λ x2-1)
2
2
+ λ
2 y2
2=1,
x2
2
2 + y2
2=1,
解得x2=1-3 λ
2 λ
，
所以⃗OP·⃗OQ=x1x2+y1y2
=(-λx2-λ-1)x2-λy2
2
=- λ
2 x2
2-(1+λ)x2-λ
=- λ
2(
1-3 λ
2 λ )
2
-(1+λ)·1-3 λ
2 λ
-λ
=7
4 -5
8(λ+ 1
λ)，
因为λ∈[
1
2 ，2]，
所以λ+1
λ ≥2，当且仅当λ=1
λ ，
即λ=1 时，取等号，
故⃗OP·⃗OQ的最大值为1
2.
