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§4.9 解三角形中的最值与范围问题
重点解读 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围
问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形
面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
例1 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
a
cos A = √3b
sin B .
(1)求角A；
(2)若a=2，求△ABC 面积的最大值.
思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法
在△ABC 中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，即可得到
“b2+c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积最值时，S=1
2bcsin A，即求bc 最值，在等量关系中利用基本不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc 的最
值.
(2)求周长a+b+c 的最值时，即求b+c 的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式
bc≤(
b+c
2 )
2
，即可求得b+c 的最值.
跟踪训练1 已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2A.
(1)求角A 的大小；
(2)若a=√3，求△ABC 周长的最大值.
题型二 转化为三角函数求最值(范围)
例2 (2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形内部，AB=3，BC=7，
△ACD 为正三角形.
(1)求AC 的取值范围；
(2)设∠ABC=α，当α 变化时，求四边形ABCD 面积的最大值.
思维升华 利用正弦定理、余弦定理，把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、
单调性再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三
角形内角和为π 等.
跟踪训练2 在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且bsin B-asin A=
[2bsin(A + π
6)-c]sin C.
(1)求角A 的大小；
(2)求sin Ccos B 的取值范围.
题型三 转化为其他函数求最值(范围)
例3 (2024·北京模拟)在△ABC 中，AB=5，D 在边AB 上，且2BD=3AD，BC=2CD.
(1)若CD=2，求△ABC 的周长；
(2)求△ACD 周长的最大值.
思维升华 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函
数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调
性求解.
跟踪训练3 已知△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
sin A
sin B+sinC =c -b
b
.
(1)若C=π
2 ，求B；
(2)求a+c
b
的取值范围.
答案精析
例1 解 (1)由
a
cos A = √3b
sin B ，
结合正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，
得sin A
cos A =√3sin B
sin B
=√3，
所以tan A=√3，
又因为A∈(0，π)，所以A=π
3 .
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，
得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，
即bc≤4，当且仅当b=c=2 时等号成立，
所以S△ABC=1
2bcsin A≤1
2×4×√3
2 =√3，
即当b=c=2 时，△ABC 面积的最大值为√3.
跟踪训练1 解 (1)由正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
得b2+c2+bc=a2，
即b2+c2-a2=-bc，
由余弦定理得，
cos A=b
2+c
2-a
2
2bc
=-1
2，
又0<A<π，所以A=2π
3 .
(2)由a=√3和(1)可知b2+c2+bc=3，则3=(b+c)2-bc≥(b+c)2-(b+c)
2
4
=3(b+c)
2
4
，
得4≥(b+c)2，即b+c≤2，
所以a+b+c≤2+√3，当且仅当b=c=1 时取得等号，
所以△ABC 周长的最大值为2+√3.
例2 解 (1)因为四边形ABCD 的对角线交点位于四边形内部，
所以∠BAC+∠CAD<π，
又因为△ACD 为正三角形，
∠CAD=π
3 ，
所以0<∠BAC<2π
3 ，
在△ABC 中，由余弦定理得
A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB·AC
=cos∠BAC，
又因为-1
2<cos∠BAC<1，
将AB=3，BC=7 代入并整理得AC2+3AC-40>0，且AC2-6AC-40<0，解得5<AC<10，
所以AC 的取值范围是(5，10).
(2)在△ABC 中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos α=9+49-2×3×7cos α=58-42cos α，
由(1)知5<AC<10，
则cos α=58- A C
2
42
∈(-1，11
14)，
又因为△ACD 为正三角形，
所以S△ACD=√3
4 AC2=29√3
2
-21√3
2
cos α，
又S△ABC=1
2AB·BC·sin α=21
2 sin α，
所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC
=29√3
2
-21√3
2
cos α+21
2 sin α
=21×(
1
2 sin α - √3
2 cosα)+29√3
2
=21sin(α - π
3)+29√3
2
，
所以当α-π
3 =π
2 ，即α=5 π
6 时，
cos 5 π
6 =-√3
2 ∈(-1，11
14)成立，
此时四边形ABCD 的面积取得最大值，最大值为21+29√3
2
.
跟踪训练2 解 (1)bsin B-asin A
=[2bsin(A + π
6)-c]sin C=
(2bsin A cos π
6 +2bcos A sin π
6 -c)sin C，
由正弦定理得b2-a2=
2bcsin Acos π
6 +2bccos Asin π
6 -c2，
所以√3bcsin A+bccos A=b2+c2-a2=2bccos A，
则√3sin A=cos A，cos A≠0，
所以tan A=√3
3 ，
又A∈(0，π
2)，所以A=π
6 .
(2)因为△ABC 为锐角三角形，
所以A+B=π
6 +B>π
2 ，B>π
3 ，
即π
3 <B<π
2 .
sin Ccos B=sin(
5 π
6 - B)cos B
=(sin 5 π
6 cos B -cos 5 π
6 sin B)cos B
=1
2cos2B+√3
2 sin Bcos B
=1+cos2B
4
+√3
4 sin 2B
=1
2(
√3
2 sin 2B+ 1
2 cos2B)+1
4
=1
2sin(2B+ π
6)+1
4 ，
又π
3 <B<π
2 ，
则5 π
6 <2B+π
6 <7 π
6 ，
-1
2<sin(2B+ π
6)<1
2，
所以0<sin Ccos B<1
2.
即sin Ccos B 的取值范围是(0，1
2).
例3 解 (1)若CD=2，则BC=2CD=4，
又AB=5，2BD=3AD，所以BD=3，AD=2，
在△BCD 中，由余弦定理得
cos B=BC
2+ B D
2-C D
2
2BC·BD
=16+9- 4
2×4×3 =7
8，
在△ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=25+16-2×5×4×7
8=6，
故AC=√6，
故△ABC 的周长为5+4+√6=9+√6.
(2)由(1)知，BD=3，AD=2，
设CD=x，则BC=2x，
由三边关系可得{
2 x + x>3，
2 x - x<3，
解得1<x<3，
在△BCD 中，由余弦定理得
cos B=BC
2+ B D
2-C D
2
2BC·BD
=4 x
2+9- x
2
2×2 x·3 = x
2+3
4 x ，
在△ABC 中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=25+4x2-2×5×2x× x
2+3
4 x =10-x2，
故AC=√10- x
2，所以△ACD 的周长为√10- x
2+x+2，
令f(x)=√10- x
2+x+2，1<x<3，
则f'(x)=-2 x
2√10- x
2+1
=√10- x
2- x
√10- x
2
，x∈(1，3)，
当1<x<√5时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当√5<x<3 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
故f(x)在x=√5处取得极大值，也是最大值，
故△ACD 周长的最大值为f(√5)=√5+√5+2=2√5+2.
跟踪训练3 解 (1)由
sin A
sin B+sinC =c -b
b
及正弦定理可得，
a
b+c =c -b
b
，即c2=b2+ab，
∵C=π
2 ，∴c2=a2+b2，
∴b2+ab=a2+b2，
则a=b，即A=B，
又C=π
2 ，∴B=π
4 .
(2)由(1)知，c2=b2+ab，
∴a=c
2-b
2
b
，c>b，
由三角形三边关系可得{
a+b>c，
b+c>a，
代入化简可得b<c<2b，
∴a+c
b
=c
2-b
2+bc
b
2
=c
2
b
2+c
b-1，
令x=c
b，则x∈(1，2)，
令f(x)=x2+x-1，1<x<2，
∴f(x)=(x + 1
2)
2
-5
4 ∈(1，5)，
∴c
2
b
2+c
b-1∈(1，5)，
∴a+c
b
的取值范围是(1，5).
