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第 09 讲 立体几何中的最值、范围问题
【专题点睛】
立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节)或(面积)体积的最值
的问题.其一般方法有：
(1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数
方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用
函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值.
1、把正方形 沿对角线 折起,当以 , , , 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 和平面
所成角的大小为( )
A. B. C. D.
2、已知边长为 的正方体 , 为 中点, 为平面 上的动点,若 ,
则三棱锥 的体积最小值为( )
A. B. C. D.
3、圆柱的轴截面是边长为 的正方形 ,则圆柱侧面上从 到 的最短路径长为( )
A. B. C. D.
4、在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的
棱长是2，则|OP|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[1,3]
C．[－1,2] D．[1，＋1]
5、如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P，Q分别为BD ，BB 上的动点，则△C PQ周
1 1 1 1 1 1 1
长的最小值为( )A. B.
C. D.
6、已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，若满足条件
的E点有两个时，则a的取值范围是________.
1．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，
且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程
中，下列选项中正确的是( )
A．∠A′DB的大小不会发生变化
B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大
D．A′B与DE所成的角先变大后变小
2、（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， 平面
， 为线段 的中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．2【变式】（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中
点， 、 分别为体对角线 和棱 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
3、在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平
面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．
【变式1】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在棱长为2的正方体
中，M为 中点，N为四边形 内一点（含边界），若 平面 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．线段 最小值为 D． 的取值范围为
4、（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他
发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个
圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 中， ，点P
满足 ．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥 中， 平面 ，且
，该三棱锥体积的最大值为______________．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 中， 为 内一点，且
，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为4，点
在平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【变式3】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知四棱锥 的底面为边长为2的正方形，
分别为 和 的中点，则平面 上任意一点到底面 中
心距离的最小值为__________.
1、（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台 中， ， ．当该正四棱台
的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2、（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体 的棱长均为 为线段 的中
点, ,其中 ,则下列选项正确的是（ ）
A．当 时,
B．当 时, 的最小值为
C．若直线 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
D．当 时,正方体被平面 截的图形最大面积为
1. 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，点M是平面ABC D 内一点，且BM∥平面ACD ，则tan∠DMD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的最大值为( )
A. B．1
C．2 D.
2、已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则
下列说法正确的是( )A．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而增大
B．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而减小
C．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而增大
D．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而减小
3、如图，在四棱锥P－ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB＝，设点M，
N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN＋MN取最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥外接
球的表面积为( )
A. B. C. D.
4、（2023秋·河北保定·高二统考期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”
的表面上有四个点 ，满足 ， 面ABC， ⊥ ，若 ，则该“鞠”的体积
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5、（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为 的正方体 中， 是正方体
外接球的直径，点 是正方体 表面上的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6、（多选）（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知 为圆锥 底面圆 的直径（
为顶点， 为圆心），点 为圆 上异于 的动点， ，则下列结论正确的为
（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B． 的取值范围为
C．若 为线段 上的动点，则D．过该圆锥顶点 的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
7、（2023秋·广东·高三校联考期末）如图正方体 的棱长是3，E是 上的动点，P、F
是上、下两底面上的动点，Q是EF中点， ，则 的最小值是______．
8、（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在直四棱柱 中，底面ABCD是边长为1的正
方形，侧棱 ，M为侧棱 的中点，N在侧面矩形 内(异于点 )，则三棱锥 体积
的最大值为____________.
