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专题01 任意角和弧度制、三角函数的概念
目录
题型一： 象限角及终边相同的角..................................................................................................2
题型二： 扇形的弧长及面积公式..................................................................................................7
题型三： 根据定义求三角函数值.................................................................................................11
题型四： 三角函数的符号.............................................................................................................12
知识点一、角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个
零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的
非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在
坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角)．
(3)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{ β | β ＝
α
＋
k ·360°
，
k ∈
Z } ．
知识点二、弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度
的角，弧度单位用符号rad 表示，
读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数
是0.
(2)角度和弧度的换算
知识点总结
1
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→
(3)半径为r 的圆中，圆心角为α rad 的角所对的弧长公式：l＝| α |· r ，扇形的面积公式：S＝
lr＝| α |· r 2 .
知识点三、三角函数的概念
(1)定义：设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角函
数
定义域(弧度制
下)
第一象限符
号
第二象限符
号
第三象限符
号
第四象限符
号
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ
＋，k∈Z}
＋
－
＋
－
题型一：象限角及终边相同的角
【要点讲解】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的
角.
2.确定nα,α
n (n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α 的范围,再写出nα 或α
n 的范围,然后根据n 的可能取值讨
论确定nα 或α
n 的终边所在位置.
例题精讲
2
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【例1】（2023 秋•绥化期末）已知集合
，
，则角
的终边
落在阴影处（包括边界）的区域是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：集合
，
，表示第一象限的角，
故选：
．
【变式训练1】（2022 秋•南京期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角
的
集合为
，
．
【解答】解：分别与角
，
终边相同的角为
，
．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是
，
．
故答案为：
，
．
3
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【变式训练2】（2023 春•浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边
界）的角
的集合是
，
．
【解答】解：分别与角
，
终边相同的角为
，
．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是
，
．
故答案为：
，
．
【例2】（2022 秋•荔湾区期末）已知
是第二象限角，则
可以是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解答】解：因为
是第二象限角，即
，
；
所以
，
；
当
为偶数时，
是第一象限角；
当
为奇数时，
是第三象限角．
故选：
．
【变式训练1】（2022 秋•建华区校级期末）已知
是锐角，则
A．
是小于
的正角
B．
是第三象限角
C．
只是锐角
D．
是第一或第二象限角
4
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【解答】解：因为已知
是锐角，所以
．故选项
符合题意，选项
不符合
题意；
所以
，即
是第三象限角，故选项
符合题意．
所以
，即
只是锐角．故选项
符合题意．
故选：
．
【变式训练2】（2022 秋•瑶海区校级月考）若
是第四象限的角，则
是
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
【解答】解：由
是第四象限的角，可得
是第一象限角，
是第四象限角．
故选：
．
【变式训练3】（2021 秋•宁武县校级期末）设
是第四象限的角．
（1）试讨论
是哪个象限的角；
（2）写出
的范围；
（3）写出
的范围．
【解答】解：（1）
角
是第四象限角，即：
，
．
，
．
当
取偶数时，
是第四象限角，当
取奇数时，
是第二象限角，
故
是第二象限角或第四象限角．
（2）
，
，
，
，即
的范围为
，
，
．
（3）
，
，
，
，即
的范围为
，
．
【例3】（2022 秋•荔湾区校级期末）若角
与角
的终边关于
轴对称，则必有
5
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：
角
与角
的终边关于
轴对称，
，
，
即
，
，
故选：
．
【变式训练1】（2023•石城县校级开学）已知角
与
的终边关于
轴对称，则
与
的
关系为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
角
与
的终边关于
轴对称，
，
，
即
，
，
故选：
．
【变式训练2】（2022 春•浦东新区校级月考）
的终边与
的终边关于直线
对称，
则
．
【解答】解：
6
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故答案为：
．
【变式训练3】（2021 春•延庆区期中）直角坐标系
中，以原点
为顶点，以
轴正半
轴为始边，那么，角
的终边与
的终边关于
轴 对称；角
的终边与
的
终边关于 对称．
【解答】解：以原点
为顶点，以
轴正半轴为始边，
角
的终边与
的和为
，故角
的终边与
的终边关于
轴对称；
角
的终边与
的和等于
，
角
的终边与
的终边关于直线
对称，
故答案为：
轴；直线
．
题型二：扇形的弧长及面积公式
【要点讲解】1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问
题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【例4】（2023 春•顺庆区校级期中）在直径为
的圆中，
的圆心角所对的弧长是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
的圆心角所对的弧长为
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•湖北期中）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为
A．1
B．2
C．
D．
【解答】解：根据题意：作出如下图形，
7
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，
则
为等边三角形，故
，
则这条弦所对的圆心角为
．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•钦南区校级期中）已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为
2，则扇形的弧长为
A．2
B．4
C．6
D．8
【解答】解：设扇形的半径为
，弧长为，则
，
解得
，
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•葫芦岛月考）已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的
弧度数为
A．3
B．1
C．
D．
【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为
，扇形弧长为，周长为
，圆的半径为
，
由题意可得：
，
，
可得：
，
则由
，可得：
．
故选：
．
【例5】（2023 春•辽宁月考）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形
8
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弧长的近似计算公式：
，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，
“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如
图，已知扇形的面积为
，扇形所在圆
的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的
近似值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设扇形的圆心角为
，
由扇形面积公式可知
，所以
，
如图，取
的中点
，连接
，交
于点
，
则
．易知
，则
，
所以
，
，
，
所以扇形弧长的近似值为
．
9
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故选：
．
【变式训练1】（2023 春•浙江期中）如图从半径为定值的圆形纸片
上，以
为圆心截取
一个扇形
卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设扇形的半径为
，圆心角为
，
，则扇形的弧长为
，
设圆锥的底面半径为
，高为
，则
，
则
，
因为
，
则
圆
锥
体
积
当且仅当
，即
时取等号．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•振兴区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中
《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧
和弦
所围成的
图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为
，则此弧田的面积为
10
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为
，
如图所示，
过点
作
，垂足为
，
可得
，
，
可得扇形的面积为
，
的面积为
，
所以此弧田的面积为
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•海陵区校级月考）如图，在半径为
、圆心角为
的扇形
弧
上任取一点
，作扇形的内接矩形
，使点
在
上，点
、
在
上，则这个
矩形面积的最大值为
11
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，矩形
面积为
，
扇形
的半径为
，圆心角为
，
所以
，
，
，
所以
．
化简得：
，
，
当
，即
时，
取最大值
．
故选：
．
题型三：根据定义求三角函数值
【要点讲解】(1)已知角α 终边上一点P 的坐标,可先求出点P 到原点的距离|OP|=r,然后利用
三角函数的定义求解.
(2)已知角α 的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再
利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
【例6】（2023 春•辽宁月考）已知角
的终边经过点
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，得
．
故选：
．
12
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【变式训练1】（2022 秋•汕尾期末）已知角
的终边经过点
，且
，则
A．8
B．
C．4
D．
【解答】解：
角
的终边经过点
，且
，
，解得
．
故选：
．
【变式训练2】（2022 秋•揭东区期末）已知角
的终边点为
，则
等于
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
角
的终边点为
，
．
故选：
．
【变式训练3】（2023• 开封三模）设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由三角函数定义可知：
，
又
是第二象限角，
故
，
所以
．
13
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故选：
．
题型四：三角函数的符号
【要点讲解】已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出
角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情
况.
【例7】（2023 春•深圳校级月考）已知
满足：
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
可得
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•红花岗区期中）若
，
，则
是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解答】解：由
，
，
得
，
，
是第一象限角．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•皇姑区校级期中）点
位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：
，
，
所以点
位于第三象限．
故选：
．
14
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【变式训练3】（2023•广西模拟）
的值所在的范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
且
，所以
，
所以
，
所以
的值所在的范围是
，
．
故选：
．
【变式训练4】（2023 春•天河区校级期中）已知
是第二象限角，则点
在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：
是第二象限角，
，
，
，
点
在第三象限．
故选：
．
一．选择题（共6 小题）
1．（2022 秋•徐汇区校级期末）以下命题正确的是
课后练习
15
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A．终边重合的两个角相等
B．小于
的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角
D．锐角是第一象限的角
【解答】解：
，当
，
时，
与
终边重合，但两个角不相等，
错误，
，
，但它不是锐角，
错误，
，
是第二象限角，但不是钝角，
错误，
，锐角一定是第一象限角，
正确，
故选：
．
2．（2023 春•浦东新区期末）下列命题中正确的是
A．终边重合的两个角相等
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角
D．小于
的角都是锐角
【解答】解：对于
，终边相同的角可表示为
，故
错误；
对于
，锐角的取值范围为
，故
正确；
对于
，第二象限角的取值范围为
，故
错误；
对于
，锐角的取值范围为
，其
，则
，但
不是锐角，故
错误．
故选：
．
3．（2023 春•丰城市校级期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量
还有密位制
，密位制的单位是密位
密位等于圆周角的
，即
密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与
十位数字之间画一条短线，例如3 密位写成
，123 密位写成
，设圆的半径为
1，那么
密位的圆心角所对的弧长为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为1 密位等于圆周角的
，
所以密位
的圆心角为
，
16
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又圆的半径为1，
所以弧长
．
故选：
．
4．（2022 秋•襄城区校级期末）如图是杭州2022 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，
如图是会徽的几何图形，设弧
长度是
，弧
长度是
，几何图形
面积为
，
扇形
面积为
，若
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：设
，由
，得
，即
，
所以
．
故选：
．
5．（2023 春•和平区校级期中）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积
的最大值为
A．10
B．15
C．20
D．25
【解答】解：设扇形的弧长为，半径为
，
则
，即
，
17
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扇形的面积
，
，
当且仅当
时，该扇形的面积
取到最大值25．
故选：
．
6．（2022 秋•苏州期末）毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在
地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑
站距离地球南极点约
，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转
，昆
仑站运动的路程约为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为昆仑站距离地球南极点约
，地球每自转
，
所以由弧长公式得：
．
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．（2022 秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．在
范围内，与
角终边相同的角是
B．已知4 弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
18
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C．不等式
的解集为
D．函数
的定义域是
【解答】解：
：与
角终边相同的角为
，
，
令
，则
，故
正确；
：由已知可得圆的半径为
，所以弧长为
，故
正确；
：解不等式
可得：
，故
错误；
：令
，解得
，
，故
正确，
故选：
．
8．下列命题中正确的是
A．若角
的终边上有一点
，则角
不是象限角
B．
和
均是第一象限角
C．若某扇形的面积为
，半径为
，弧长满足
，则该扇形圆心角
的弧度数是
D．若
，且角
与角
的终边相同，则
的值是
或
【解答】解：对于
，因为点
在
轴上，所以角
的终边在
轴负半轴上，所以角
不
是象限角，故
正确；
对于
，
，因为
为第一象限角，所以
为第一象限角，由于
，因为
不是第一象限角，所以
不是第一象限角，故
错
误；
19
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对于
，可得
，解得
，或
，所以圆心角的弧度数为
，或5，
故
错误；
对于
，因为角
与角
的终边相同，所以
，
，所以
，
，
所以
，
，所以
，2，所以
，或
，故
正确．
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．（2023 春•新余期末）如图所示，已知扇形
的圆心角
为
，半径长为6，
则阴影部分的面积是
．
【解答】解：由图像知，记阴影部分面积为
，扇形面积为
，则
，
由题意得
，
，
所以
，
所以阴影部分的面积为
．
故答案为：
．
10．（2022 秋•荔湾区校级期末）已知扇形的面积为
，则该扇形的周长的最小值为
8
．
【解答】解：设半径为
，弧长为，则
，
，
20
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扇形周长为
，
当且仅当
，即
，
时，扇形周长的最小值为
．
故答案为：8．
11．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作
为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特
点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图
所在圆的圆心
在线段
上，若
，
，则扇形
的面积为
．
【解答】解：如图，过点
作
，设
所在圆的半径为
，
则
，在
中，
，
，
所以
，
，
所以，
．
在
中，有
，
，
21
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整理可得，
，
因为
，所以
，
所以，扇形
的面积为
．
故答案为：
．
12．（2023 春•西湖区校级月考）已知扇形的圆心角为
，周长为12，则扇形的面积为
8
．
【解答】解：设扇形的半径为
，
由题意得
，即
，
所以扇形的面积
．
故答案为：8．
四．解答题（共3 小题）
13．（2020 秋•唐山月考）如图，某游乐园的平面图呈圆心角为
的扇形
，其两个
出入口设置在点
及点
处，且园内有一条平行于
的小路
．已知某人从
沿
走
到
用了8 分钟，从
沿
走到
用了6 分钟．若此人步行的速度为每分钟50 米．
（1）求
的面积；
（2）求该扇形的半径
的长．
【解答】解：（1）由题意
（米，
（米，
，
可得
的面积
（平方米），
所以
的面积为
平方米．
（2）设扇形的半径为
，连结
，
由题意
，
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在
中，
，
即
，
解得
（米，
则该扇形半径
的长为370 米．
14．（2023 春•静安区校级期中）如图，有一块扇形草地
，已知半径为
，
，现要在其中圈出一块矩形场地
作为儿童乐园使用，其中点
，
在弧
上，且线段
平行于线段
；
（1）若点
为弧
的一个三等分点，求矩形
的面积
；
（2）设
，当
在何处时，矩形
的面积
最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）如图，作
于点
，交线段
于点
，连接
、
，
，
，
，
，
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，
，
；
（2）因为
，
则
，
，
，
，
，
，
即
时，
，此时
在弧
的四等分点处．
15．（2014 春•泗县校级月考）在与角
终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）
内的角．
【解答】解：
和
终边相同
其余的终边相同的角度可以写成
（1）当
时是最小的正角，
；
（2）当
时是最大的负角，
；
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