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一轮复习夯实练27 任意角、弧度制及三角函数的概念
基础练
1.(2024·广东深圳中学模拟)概念是数学的重要组成部分,弄清新旧概念之间的关系对学习数学十分重
要.现有如下三个集合,A={钝角},B={第二象限角},C={小于180°的角},则下列说法正确的是( )
A.A=B
B.B=C
C.A⊆B
D.B⊆C
2.(2024·河南许昌模拟)已知扇形的半径为1,圆心角θ 为30°,则扇形的面积为( )
A.30
B. π
12
C.π
6
D.π
3
3.(2024·上海控江中学校考)角α 的终边落在区间(-3π,-5 π
2
)内,则角α 的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(2024·四川宜宾模拟)已知角α 的终边上一点的坐标为(a,2),其中a 是非零实数,则下列三角函数值恒
为正的是( )
A.cos αtan α
B.sin αcos α
C.sin αtan α
D.tan α
5.(2024·河北邢台模拟)已知α∈[0,2π),点P(1,tan 2)是角α 终边上一点,则α=( )
A.2+π
B.2
C.π-2
D.2-π
6.(多选题)(2024·重庆育才中学检测)下列结论正确的是( )
A.-7 π
6
是第三象限角
B.若圆心角为π
3
的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3 π
2
C.若α 为锐角,则2α 为钝角
D.若角α 的终边过点P(-3,4),则cos α=-3
5
7.(2024·湖南常德模拟)在0°~180°范围内,与-930°终边相同的角是 .
8.(2024·上海松江二中校考)已知扇形的圆心角为2π
3
,扇形的面积为3π,则该扇形的周长为 .
9.设θ∈(0,π
2
),且9θ 的终边与θ 的终边相同,则sin θ= .
提升练
2
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10.(多选题)(2024·云南昆明模拟)如图,A,B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻,质点A 在(1,0)处,
质点B 在第一象限,且∠AOB=π
6
.质点A 以π
6
rad/s 的角速度按顺时针方向运动,质点B 同时以π
12
rad/s 的角速度按逆时针方向运动,则( )
A.经过1 s 后,扇形AOB 的面积为5 π
12
B.经过2 s 后,劣弧AB
⏜的长为2π
3
C.经过6 s 后,质点B 的坐标为(-
❑√3
2 , 1
2
)
D.经过22
3
s 后,质点A,B 在单位圆上第一次相遇
11.(2021·北京,14)若点A(cos θ,sin θ)关于y 轴对称的点为B(cos(θ+ π
6),sin(θ+ π
6)),写出θ 的一个
取值为 .
创新练
12. 数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:
先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C 为圆心,线段AB 长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所
示).若莱洛三角形的周长为2π,则其面积是( )
A.2π
3 + ❑√3
B.2π+2❑√3
C.2π
3 - ❑√3
D.2π-2❑√3
3
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参考答案
1.C 解析 钝角是大于90°,且小于180°的角,一定是第二象限角,故A⊆B;第二象限角α 的取值范
围是90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,即第二象限角不一定小于180°,故A,B,D 错误,C 正确.
2.B 解析 已知扇形圆心角θ 为30°,即θ=π
6
,扇形的半径为1,所以扇形的面积S=1
2 θr2=1
2 × π
6 ×
1= π
12 .
3.C 解析 -3π 的终边在x 轴的非正半轴上,-5 π
2
的终边在y 轴的非正半轴上,故角α 为第三象限
角.
4.A 解析 因为角α 的终边上一点的坐标为(a,2),且a 是非零实数,可知角α 是第一或第二象限
角.结合选项,只有cos αtan α 恒为正值.
5.A 解析 ∵π
2
<2<π,∴tan 2<0,∴P 在第四象限内,∴α 是第四象限角.又tan α=tan
2=tan(π+2),α∈[0,2π),∴α=π+2.
6.BD 解析 因为-7 π
6
=-2π+5 π
6 , 5 π
6
是第二象限角,故-7 π
6
是第二象限角,A 错误;圆心角为π
3
的
扇形的弧长为π,则扇形的半径r=
π
π
3
=3,故扇形面积为1
2 ×π×3=3 π
2
,B 正确;若α 为锐角,不妨取
α=π
6
,则2α=π
3
也为锐角,C 错误;角α 的终边过点P(-3,4),则|OP|=❑√(-3)
2+ 4
2=5,则cos α=-3
5
,D
正确.故选BD.
7.150° 解析 与-930°终边相同的角是-930°+k·360°,k∈Z,当k=3 时,-930°+k·360°=150°,所以在
0°~180°范围内,与-930°终边相同的角是150°.
8.6+2π 解析 设扇形的半径为R,所以扇形面积S=1
2 × 2
3 πR2=3π,可得R=3,所以该扇形的弧长
l=2
3 π ×3=2π,所以周长为l+2R=6+2π.
9.
❑√2
2
解析 由题意9θ=θ+2kπ,k∈Z,则θ=k π
4 ∈(0,π
2
),k∈Z,
所以k=1,θ=π
4
,故sin θ=
❑√2
2 .
10.BD 解析 对于A,由题意可知,经过1 s 后,∠AOB=π
6
-(-π
6
)+ π
12 = 5 π
12
,此时扇形AOB 的面积
为1
2 α ·r2=1
2 × 5 π
12 ×12=5 π
24
,故A 错误;对于B,经过2 s 后,∠AOB=π
6
-2×(-π
6
)+2× π
12 = 2π
3
,所以此
4
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时劣弧AB
⏜的长为αr=2π
3
,故B 正确;对于C,经过6 s 后,质点B 转过的角度为6× π
12 = π
2
,结合题
意,此时质点B 为角π
6 + π
2 = 2π
3
的终边与单位圆的交点,所以质点B 的坐标为(-1
2 ,
❑√3
2
),故C 错误;
对于D,经过22
3
s 后,质点B 转过的角度为22
3 × π
12 = 11π
18
,质点A 转过的角度为22
3 ×(-π
6
)=-11π
9
,
因为11π
18
-(-11π
9
)+π
6
=2π,所以经过22
3
s 后,质点A,B 在单位圆上第一次相遇,故D 正确.故选BD.
11. 5 π
12
(满足θ=5 π
12
+kπ,k∈Z 即可) 解析 ∵A(cos θ,sin θ)与B(cos(θ+π
6
),sin(θ+π
6
))关于y 轴对
称,
∴{
cos(θ+ π
6 )=-cosθ,
sin(θ+ π
6 )=sinθ,
即{
cos(θ+ π
6 )=cos( π -θ),
sin(θ+ π
6 )=sin( π -θ),
∴θ+π
6
=π-θ+2kπ,k∈Z,则θ=5 π
12
+kπ,k∈Z,当k=0 时,θ=5 π
12 .
12.D 解析 如图,
因为莱洛三角形的周长为2π,所以AB
⏜
,BC
⏜
, AC
⏜的长度均为2π
3 .又因为∠ABC=π
3
,所以由扇形的
弧长公式可得π
3 ·AB=2π
3
,解得AB=2,同理BC=AC=2,于是每个扇形的面积均为1
2 × 2π
3 ×2=2π
3 .
(方法一)由于弓形AB 的面积为2π
3 -
❑√3
4 ×22=2π
3 - ❑√3,因此所求面积为3×(2π
3 - ❑√3)+
❑√3
4 ×
22=2π-2❑√3,故选D.
(方法二)依题意,所求面积为扇形ABC 面积的3 倍减去三角形ABC 面积的2 倍,因此所求面积为
3× 2π
3
-2×
❑√3
4 ×22=2π-2❑√3,故选D.
