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专题01 集合与常用逻辑用语小题综合
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知集合
，则集合
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A 作答.
【详解】解不等式
，得
，因此
，
所以集合
的子集个数为
.
故选：C
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合
与
，再利用集合的交集求解即可.
【详解】由
，
，
可得
.
故选：B
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】A
1
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【分析】根据直线位置关系判断即可.
【详解】因为直线
与
平行，所以
.
故选：A
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）集合
，集合
.则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据对数不等式和一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合运算的求解.
【详解】由
得
，所以
.
由
得
或
.
所以
，所以
.
故选：B.
5．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知集合
，
且
，则a 可以为（ ）
A．－2
B．－1
C．
D．
【答案】B
【分析】求出集合
，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵
，∴
，∴
，
可知
，故A、C、D 错误；
，故B 正确.
故选：B
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若集合
，
，则
（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合，由集合交运算求
.
【详解】由题设，
，
或
，
所以
.
故选：A
7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知全集
.设集合
,则
( )
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】D
【分析】根据已知分别求出集合
,再根据补集和并集的定义求解即可.
【详解】由不等式
,
解得
,
∴
或
;
由不等式
,
解得
或
,
∴
.
故选:D.
8．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）集合
，
，则
（ ）．
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据补集定义求出
，再根据交集定义即可求出
．
【详解】因为
，
所以
或
，
所以
，
故选：A．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）集合
中
元素的个数为（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质求集合A，并列举出所有元素，即可得答案.
【详解】由题意
，共有4 个元素.
故选：C
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由对数函数单调性解不等式，得到
，再求出
，
利用补集和交集概念计算即可.
4
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【详解】因为
，所以
，故
，
而
，
所以
.
故选：B
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求解即可得出
，
，即可得出答案.
【详解】解
可得，
，所以
，
所以，
.
故选：D.
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知集合
，
，则集合B 的子集的个数是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【分析】首先确定集合
的元素，再求集合
的元素，根据子集个数公式，即可求解.
【详解】因为
，
的周期为4，当
时，函数值分别是
，
则
，因此
,
所以集合
的子集个数为
个.
故选：C
5
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13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解指数不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用交集的定义
求解作答.
【详解】解不等式
，得
，则
，
解不等式
，即
，得
，则
，
所以
.
故选：B
14．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】求解分式不等式化简集合
，根据对数函数的性质化简集合
，再由数轴法
得出
．
【详解】因为
，所以
且
，解得
，
所以
，所以
或
．
6
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又因为
，所以
，解得
，
所以
，
所以
或
．
故选：B．
15．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用交集的运算求解.
【详解】因为
，集合
，且
，
所以
，
故选：A
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
、
，利用并集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
由
可得
，解得
，则
7
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，
因此，
.
故选：D.
17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“
，
”是真命题
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a 的取值范围．
【详解】命题“
，
”为真命题，则
在
上恒成立，
∵
，∴
，则
.
故选∶B．
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合
，若
，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简集合
，根据
，求实数
的可能取值，由此可得结果.
【详解】集合
，
又
，
，
所以
，故实数a 的取值集合为
，
故选：C.
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知集合
,
，则
（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解方程组
可得集合
.
【详解】解方程组
可得
或
或
，
又因为
,
，则
.
故选：D.
20．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知m，n 表示空间内两条不同的直线，
则使
成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面
，有
，
B．存在平面
，有
，
C．存在直线，有
，
D．存在直线，有
，
【答案】A
【分析】根据空间线线，线面的位置关系及充分条件必要条件的概念逐项分析即得.
【详解】对A，若
，
，则直线m，n 可以平行，也可以相交，还可以异面；
若
，则存在平面
，有
，
，
即存在平面
，有
，
是使
成立的必要不充分条件，故A 正确；
对B，若
，
，则
；若
，则存在平面
，有
，
，
即存在平面
，有
，
是使
成立的充分必要条件，故B 错误；
对C，若
，
，则直线
；若
，则不存在直线，有
，
，
即存在直线，有
，
是使
成立的既不充分又不必要条件，故C 错误；
对D，若
，
，则
；若
，则存在直线，有
，
，
即存在直线，有
，
是使
成立的充分必要条件，故D 错误.
故选：A.
21．（2023 春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）已知集合
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，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过解指数不等式
和一元二次不等式
，求出集合
和
，
再利用集合间的运算即可求出结果.
【详解】因为集合
，由
，得到
，所以
，
又
，由
，得到
，所以
所以
.
故选：A．
22．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
.
故选：C.
23．（2023·黑龙江大庆·统考三模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】解对数不等式，化简集合
，根据交集运算律求
.
【详解】对数不等式
的解集为
，
所以
，又
所以
.
故选：D.
24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）设全集
，集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
，由补集和并集的定义即可得出答案.
【详解】因为全集
，
，
所以
，又因为
，所以
故选：D．
25．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）设全集
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由指数函数单调性解不等式，得到
，由真数大于0 得到
，再对四个选项一一判断正误.
【详解】因为
，所以
，解得
，
，
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由对数函数真数大于0 可得
，解得
，故
，
AB 选项，
，
，A 错误，B 正确；
C 选项，
或
，
，C 错误；
D 选项，
或
，故
，D 错误.
故选：B
26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简集合M，N，后由集合交集定义可得答案.
【详解】集合M 表示函数
，在
上的值域，则
；集合N 表示函数
，在
上的值域，则
.后由交集定义可知
.
故选：D
27．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）设m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，且
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据线面垂直的判定及性质，结合充分条件、必要条件判断即可.
【详解】当
，
时，可推出
，但是推不出
，
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当
时，由
可知
，又
，所以
，
综上可知，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
28．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知命题
，命题
，则命题p 是命题q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用同角三角函数关系、倍半角公式，结合充分必要性定义判断命题间的推
出关系，即可得答案.
【详解】由
知：
，而
，可得
，
所以
，充分性成立；
由
，则
，所以
，必要性不成立.
故选：B
29．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知
，
，
，则
“
”是“
，
，
为某斜三角形的三个内角”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性的定义，结合三角恒等变换及斜三角形内角的性质判断条
件间是否有推出关系即可.
【详解】由
，即
，
所以
，
13
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则
，即
，
又
，
，则
，而
，
此时
或
，且
，充分性不成立；
由
，
，
为某斜三角形的三个内角，即
且均不为直角，则
，
所以
，则
，
整理得
，必要性成立；
综上，“
”是“
，
，
为某斜三角形的三个内
角”的必要不充分条件.
故选：B.
30．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“
”是“函数
在
区间
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数
区间
上单调递增，
则令
，
，
解得
，
，
结合
是区间，
所以
，
解得
.
14
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“
”是“
”的充分不必要条件,
故选：A.
15
