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专题 01 集合
【知识点梳理】
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 ．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）．
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不
在这个集合中就确定了．给定集合 ，可知 ，在该集合中， ，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合 应满足 ．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合 和 是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖
线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的
元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“
包含于 ”（或“ 包含 ”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集
合B的真子集，记作 （或 ）．读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”．
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，
集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 ．
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非
空集合的真子集．
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作
，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全
集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
【方法技巧与总结】
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非
空真子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） ， ．
【典型例题】
例1．（2024·河南·高三专题练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得 ， ，故 .
故选：C.
例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得， ，则 ，
故选:B．
例3．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
由 ，得 ，解得 ，
即 ，所以 .
故选：D
例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末）设集合 ，则集合 的真
子集个数为（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】D
【解析】由 得 ，解得 ，
又 ， ，
由集合中共有 个元素，故 的真子集个数为 .
故选：D.
例5．（2024·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期末）设集合
，则集合 、 的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ，
集合 ，
因为 ， 表示被 除余 的数， ， 表示被 除余 的数，
所以 .
故选：B.
例6．（2024·云南大理·统考模拟预测）已知 ，其中 ，则 （ ）
A．0 B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知： 为方程 的根，
当 时， ；当 时，二次方程有两个相同的根，则有 ，此时 .
故选:B.
例7．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考期末）设全集 ，集合
，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知 ，所以 .
故选：C
例8．（多选题）（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）设集合
， ，若 ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，
所以 或 或 ，
所以 或 或 ，
故选：ABD．
例9．（多选题）（2024·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知全集为U，A，B是U的非空子集，且
，则下列关系一定正确的是（ ）
A． 且
B．
C． 或
D． 且
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，
则 且 ， ，故AB正确；
若 是 的真子集，则 ，则 且 ，故C错误；
因为 ，所以不存在 且 ，故D错误.
故选：AB.
例10．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期末）设集合 ，若 ，则实数．
【答案】2
【解析】当 时， ，此时 ，不符合条件；
当 时， ，此时 ，符合条件；
若 ，即 ，无实根，不符合条件．
所以 ．
故答案为：2.
例11．（2024·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）已知集合
，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，
又 ，所以 ．
故答案为：
例12．（2024·河南·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，则实
数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由集合 中，当 时， ，当且仅当 ，即 时等
号成立，
故 ．因为 ，所以 ，所以 ，故实数m的取值范
围为 ．
故答案为： .
例13．（2024·山东泰安·高三校考期末）已知集合 ，则 ．
【答案】
【解析】易知 ．∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ．
又由集合中元素的互异性，知 ，
∴ ，故 ．
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）集合 ，集合
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解 ，得 或 ，
故 或 ，
则 ，而 ，
故 ，
故选：C
2．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
则 .
故选：C.
3．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知集合 ，
，则 的真子集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】由题意
，，故 ，
故 ，则 的真子集的个数为 ，
故选：C
4．（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知集合 ，记全集 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】全集 ，则 .
故选：C.
5．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，解得 或 ，
所以 或 .
，解得 或 ，
所以 或 .
所以 ，B选项正确，其它选项错误.
故选：B
6．（2024·江苏常州·高三统考期末）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由方程 解得 或 ，得 ，
不等式 解得 ，得 ，
所以 .
故选：A．
7．（2024·河南·高三校联考期末）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由 ，即 ，
解得 ，所以 ，
又 ，解得 ，所以 ，
则 或 ，所以 .
故选：D.
8．（2024·云南大理·统考模拟预测）已知 ，其中 ，则 （ ）
A．0 B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知： 为方程 的根，
当 时， ；
当 时，二次方程有两个相同的根，则有 ，此时 .
故选:B.
9．（2024·内蒙古包头·高三统考期末）已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】全集 ，集合 ，则 ，而 ，
所以 .
故选：A
10．（2024·山东威海·高三统考期末）设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： 或 ， ，
所以 .
故选：D
11．（2024·山东聊城·高三统考期末）已知全集 ，集合 ， ，
则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
图中阴影部分是由在B中不在A中的元素构成的集合，所以为 ，
故选：D.
12．（2024·全国·高三校联考期末） 年春节影市火爆依旧，《无名》《满江红》《交换人生》票房不
断刷新，为了解我校高三 名学生的观影情况，随机调查了 名在校学生，其中看过《无名》或《满
江红》的学生共有 位，看过《满江红》的学生共有 位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有
位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以集合 表示调查的 名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，
集合 表示调查的 名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，如下图所示：
所以，调查的 名在校学生看过《无名》的学生人数为 ，
所以，该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为 ，
故选：C.
13．（2024·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数
分别是15，12，9.若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大
值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【解析】
作出韦恩图,如图,
由题意得 ,则有 ,
所以 ,即 ，
因此要让 最大，则 需要最小，
若 则 不满足题意，
若 则 不满足题意，
若 则 满足题意，
所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4，
故选:B.
二、多选题
14．（2024·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】如图，对于A， ，则 ，故A正确；
对于B， ，则 ，故B错误；
对于C， ， ，故 ，故C正确；
对于D， ，故D错误，
故选：AC．
15．（2024·福建福州·高三校联考期末）已知全集 ，集合 ，
，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由图可知阴影部分所表示的集合为 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，所以 ，故A正确.
故选：AC.
16．（2024·重庆·校联考三模）已知全集U的两个非空真子集A，B满足 ，则下列关系一定正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】令 ， ， ，满足 ，但 ， ，故
A，B均不正确；
由 ，知 ，∴ ，∴ ，
由 ，知 ，∴ ，故C，D均正确.
故选：CD.
17．（2024·河北张家口·高三校考期末）设全集 ，集合 ，集合
，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】∵ ， ，
∴ ，即A正确； ，即B正确；
或 ，即C错误；
或 ，即D错误；
故选：AB.
18．（2024·浙江台州·高三台州一中校考期末）已知 ， ， 为全集 的子集，且满足 ，下
列结论不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】作出Venn图，由图可得 ， ， 正确， 错误．
故选：ACD．
19．（2024·江苏宿迁·高三沭阳县修远中学校考阶段练习）已知 、 均为实数集 的子集，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】∵ ∴ ，
若 是 的真子集，则 ，故A错误；由 可得 ，故B正确；
由 可得 ，故C错误，D正确．
故选：BD．
20．（2024·河北衡水·高三河北武强中学校考开学考试）已知集合 ， ，
则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】CD
【解析】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
，故C正确；
又 ，所以 ，故B错误；
，所以 ，故D正确；
故选：CD
三、填空题
21．（2024·福建三明·高三福建省大田县第一中学校考期末）某班有 名同学参加语文、数学、英语兴趣
小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有 人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有 人，同时参加数学
和英语兴趣小组的同学有 人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有 人，则同时参加这三个兴趣小组
的同学有人 .
【答案】
【解析】以集合 、 、 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有 人，由图可得 ，解得
.
故答案为： .
22．（2024·湖北十堰·高三郧阳中学校考期末）已知集合 ，
，则 的子集个数为 .
【答案】4
【解析】集合 表示直线 上点的集合，集合 表示圆 上点的集合.
圆 的圆心坐标为 ，半径为3，
点 到直线 的距离为 ,
所以直线 与圆 相交，
所以 共有2个元素，所以 的子集个数为 .
故答案为：4.
23．（2024·四川内江·高一统考期末）已知集合 ，则 的非空子集的个数是 ．
【答案】
【解析】 ,
集合 中有 个元素，
则 的非空子集的个数是 .
故答案为： .
24．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期末）已知集合 ， ，若 ，则
.【答案】3
【解析】集合 ， ，若 ,则 ，则 .
故答案为：3
25．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考期末）已知集合 ， ，若 ，
则实数 ．
【答案】1
【解析】由题知 ,
若 ,则 或 ,
当 时,方程无解;
当 时, ,
解得: ,
此时, ,符合题意,所以 .
故答案为：1.
26．（2024·上海普陀·高三校考期末）已知集合 ，集合 ，求
【答案】
【解析】由集合 ，可得 ，
又由集合 ，所以 .
故答案为： .
27．（2024·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考开学考试）已知集合 ， ，则
.
【答案】
【解析】集合 ，则 ，
又 ，
所以 .
故答案为：
28．（2024·江苏南通·高三统考期末）集合 ，若A中元素至多有1个，则a
的取值范围是 ．
【答案】 或
【解析】当 时， ，解得 ，故A中元素只有1个，符合要求；当 时，对 ，需 ，即 ；
故答案为： 或 .
29．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）设集合 ，集合 ，
则 .
【答案】
【解析】 或 ，
所以 .
故答案为： .
30．（2024·全国·高三专题练习）集合 , ，则
【答案】1或0
【解析】 ,
, 或 ，
故 或 .
故答案为：1或0
