文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题02 常用逻辑用语（十四大题型+模拟精练）
目录：
01 命题及其关系
02 充分条件与必要条件
03 全称量词与存在量词
04 集合与充分条件、必要条件
05 复数与充分条件、必要条件
06 函数与充分条件、必要条件
07 三角函数与充分条件、必要条件
08 平面向量与充分条件、必要条件
09 统计、概率与充分条件、必要条件
10 立体几何与充分条件、必要条件
11 平面解析几何与充分条件、必要条件
12 数列与充分条件、必要条件
13 导数与充分条件、必要条件
14 高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合
01 命题及其关系
1．（2022 高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③
的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
根据命题的概念逐一判断.
【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.
故选：C.
2．（23-24 高一上·陕西延安·阶段练习）已知
，则下列判断中，正确的是（ ）
A．p 为真，q 为假
B．p 为假，q 为真
C．p 为真，q 为真
D．p 为假，q 为假
【答案】B
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据命题的真假即可判定.
【解析】p 为假，q 为真,
故选：B
3．（22-23 高三上·宁夏·阶段练习）已知命题
：对任意
，总有
；
：若
，则
.则下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断命题
，命题
的真假，在判断选项的真假
【解析】由
所以命题
为真命题
令
，则
，但是
所以命题
为假命题
故
为真
故选：B.
02 充分条件与必要条件
4．（2024 高三·全国·专题练习） “
为整数”是“
为整数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当
为整数时，
必为整数；当
为整数时，
不一定为整数；即可选出答案.
【解析】当
为整数时，
必为整数；
当
为整数时，
不一定为整数，
例如当
时，
.
所以“
为整数”是“
为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2024 高三·全国·专题练习）对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a b.
∥
若a b
∥，则a＋2b＝0 不一定成立，故前者是后者的充分不必
要条件．故选A.
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在
中，已知
，
，则“
”是“
”成立
的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.
【解析】由正弦定理得
，即
，
，又因为
，
或
；
则“
”是“
”成立的必要不充分条件.
故选：
.
7．（23-24 高三下·河南周口·开学考试）若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
⫋
，再根据集合的包含关系求参即可.
【解析】因为“
”是“
”的必要不充分条件，
所有
⫋
，所以
，
即实数
的取值范围为
．
故选：A．
8．（23-24 高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式
的一个充分条件为
，则实数
的取值
范围是（ ）
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解.
【解析】由题意可得
，
所以
且
，解得
，
故选：C
03 全称量词与存在量词
9．（2024 高三·全国·专题练习）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据命题“
，
”的否定是“
，
”直接得出结果.
【解析】命题“
，
”的否定是“
，
”．
故选：C．
10．（2024 高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（ ）
①
，
；②
；③
；④
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.
【解析】
，
，①正确；当
时，
，②错误；
当
时，
，③正确；由于
，而
都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为2.
故选：B
11．（2024·四川成都·模拟预测）命题
的否定是（ ）
A．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【解析】因为命题
，
则其否定为
.
故选:B
12．（2024 高三·全国·专题练习）若命题“
”为真命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式
在R 上有解，结合
计算即可求解.
【解析】由题意可知，不等式
在R 上有解，
∴
，解得
，
∴实数m 的取值范围是
.
故选：A.
13．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）若“
，
”为真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】只需
的最小值小于
即可.
【解析】
，
，只需
的最小值小于
即可，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由于
的最小值为
，故
.
故选：D
04 集合与充分条件、必要条件
14．（23-24 高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选
择补充到下面横线上.
已知集合
，
，存在实数
使得“
”是“
”
的 条件.
【答案】②，③
【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.
【解析】①“
”是“
”的充要条件，则
，
，此方程无解，故不存在实数
，
则不符合题意；
②“
”是“
”的充分不必要条件时，
，
，
；解得
，符合
题意；
③“
”是“
”的必要不充分条件时，当
，
，得
；
当
，需满足
，
，
，解集为
；
综上所述，实数
的取值范围
.
故答案为：②，③.
05 复数与充分条件、必要条件
15．（2024·全国·模拟预测）已知复数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。
【解析】
或
。
因为
或
，
例如取
，此时
，不满足
或
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：A．
06 函数与充分条件、必要条件
16．（23-24 高三下·四川成都·阶段练习）若
是不等式
成立的一个必要不充分条件，则
实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出不等式
成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.
【解析】
，
因为
是
成立的必要不充分条件，
所以
.
故选：B.
17．（2024·湖南·一模）已知
，且
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【解析】若
，符合
，但此时
，不满足充分性，
若
，符合
，但是
，不满足必要性.
故选：D
07 三角函数与充分条件、必要条件
18．（2024·全国·模拟预测）“函数
的图象关于
中心对称”是“
”的 条件．
【答案】充分必要
【分析】先由函数
的图象关于
中心对称求得
的值，再解方程
求得
的值，进而
得到二者间的逻辑关系.
【解析】函数
图象的对称中心为
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以由“函数y=tanx 的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“
”．
因为
等价于
，即
．
所以“函数
的图象关于
中心对称”是“
”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
19．（23-24 高三下·浙江金华·阶段练习）设
，条件
，条件
，则p 是q 的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．
【解析】由于
，
若
，则
，充分性不成立，
若
，则
，必要性成立，
故
是
的必要不充分条件．
故选：B．
08 平面向量与充分条件、必要条件
20．（2024·全国·模拟预测）已知向量
，
，则“
”是“
与
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由
，可得
与
共线，充分性成立；由
，可得
或
，必要性不成立，可得
结论.
【解析】由
，得
，
，所以
与
共线，
所以“
”是“是
与
共线”的充分条件；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
，可得
，解得
或
，
“
”是“
与
共线”成立的不必要条件，
故“
”是“
与
共线”的充分不必要条件．
故选：A．
21．（2024·四川成都·三模）在
中，“
是钝角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】先将
等价变形为
，两边平方后得
，且
三点不
共线，即可做出判断.
【解析】“
”等价于“
”，
所以
，
从而
，
在
中，显然
三点不共线，即两个向量
不能方向相反，则
是钝角，则必要性成立，
若
是钝角，则
，则
，则充分性成立，
则“
是钝角”是“
”的充要条件.
故选：C．
09 统计、概率与充分条件、必要条件
22．（2024·河北·二模）已知随机变量
服从正态分布
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】因为
，则
，
，
若
则
，
即
，故充分性成立，
若
，则
，
解得
或
，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
10 立体几何与充分条件、必要条件
23．（2024·广西贺州·一模）已知m，n 为不同的直线，
为不同的平面，若
，则“
”
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】由给定条件可得
，再利用面面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即
得.
【解析】由
，得
，
若
，则
或
，“
”不是“
”的充分条件；
若
，则存在过直线
的平面
与平面
相交，令交线为，则
，而
，
于是
，又
，因此
，即“
”是“
”的必要条件，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
11 平面解析几何与充分条件、必要条件
24．（23-24 高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线
，则“
”是
“
”的（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当
时可得
，即
；当
时可得
，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【解析】当
时，
，
即
，则
，即
；
当
时，
，解得
.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
25．（2024·四川成都·三模）已知圆
：
，直线：
，则“
”是“圆
上恰存
在三个点到直线的距离等于
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用圆
上恰存在三个点到直线的距离等于
，等价于
到直线：
的距离为
，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.
【解析】因为圆
：
的圆心
，半径为
，
当圆
上恰存在三个点到直线的距离等于
时，
则
到直线：
的距离为
，
所以
，解得
，即必要性不成立；
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，由上可知
到直线：
的距离为
，
此时圆
上恰存在三个点到直线的距离等于
，即充分性成立；
所以“
”是“圆
上恰存在三个点到直线的距离等于
”的充分不必要条件.
故选：A.
12 数列与充分条件、必要条件
26．（2024·北京东城·一模）设等差数列
的公差为
，则“
”是“
为递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出
，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即
得.
【解析】由等差数列
的公差为
，得
，则
，
当
时，
，而
，则
，因此
，
为递增数列；
当
为递增数列时，则
，即有
，整理得
，不能推出
，
所以“
”是“
为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
27．（2024·青海·模拟预测）记数列
的前n 项积为
，设甲：
为等比数列，乙：
为等比数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【解析】若
为等比数列，设其公比为
，则
，
，
于是
，
，当
时，
不是常数，
此时数列
不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
若
为等比数列，令首项为
，公比为
，则
，
，
于是当
时，
，而
，
当
时，
不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
28．（2024·江苏扬州·模拟预测）设
是公比不为1 的无穷等比数列，则“
为递增数列”是“存在
正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法
证明即可得.
【解析】若
为递增数列，
当
，且
时，有
，
此时
为递增数列，当对任意
,
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故“
为递增数列”不是“存在正整数
，当
时，
”的充分条件；
若存在正整数
，当
时，
，
此时
，
，故
，
，
假设存在
，使得
，则有
，
则
，又
且
，故
，
则当
时，
，与条件矛盾，
故不存在
，使
，即
在
上恒成立，
即
，又
，
，故
，
即对任意的
，
，
即
为递增数列，
故“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的必要条件；
综上所述，“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的必要不充分条件.
故选：B.
13 导数与充分条件、必要条件
29．（23-24 高三下·贵州·阶段练习）已知命题
，命题
：函数
有极小值点2，则
是
的 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.
【答案】充要
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义，结合由极值点求出参数，再判断即可.
【解析】当
时，函数
，求导得
，
显然当
或
时，
，当
时，
，因此2 是
的极小值点，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当函数
有极小值点2 时，
，
显然
，则
或
，
当
时，
有
，2 不是极小值点，不符合题意，
当
时，当
或
时，
，当
时，
，因此2 是
的极小值点，即
，
所以
是
的充要条件.
故答案为：充要
14 高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合
30．（2024·广东·模拟预测）设X，Y 为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，
则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
【答案】(1)
（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【解析】（1）由题意不妨设
，当
（
非0）互为相反数时，
满足题意；
（2）一方面若
是单射，且
，则
，即
（否则若
，有
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，矛盾），
另一方面，若对任意
，由
可以得到
，
我们用反证法证明
是单射，
假设
不是单射，即存在
，有
，
又由
可以得到
，即
，这就产生了矛盾，
所以
是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若
是单射，则由
可得
，
同理存在单射
，使得
，
，有
，
另一方面，若存在映射
，使对任意
，有
，
我们用反证法来证明
是单射，
若
不是单射，即存在
，有
，
又若
，则由题意
，这与
产生矛盾，
所以此时
是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.
31．（2024·广东·模拟预测）已知集合
中含有三个元素
，同时满足①
；②
；③
为偶数，那么称集合
具有性质
.已知集合
，对于集合
的非空
子集
，若
中存在三个互不相同的元素
，使得
均属于
，则称集合
是集合
的
“期待子集”.
(1)试判断集合
是否具有性质
，并说明理由；
(2)若集合
具有性质
，证明：集合
是集合
的“期待子集”；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(3)证明：集合
具有性质
的充要条件是集合
是集合
的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质
，确定集合
，再根据“期待子集”的定义，确定集合
是集合
的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的
，使得
均属于
证明满足性质
的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的
，再证明
均属于
，
即可证明.
【解析】（1）集合
不具有性质
，理由如下：
（i）从集合
中任取三个元素
均为奇数时，
为奇数，不满足条件③
（ii）从集合
中任取三个元素
有一个为
，另外两个为奇数时，不妨设
，
，
则有
，即
，不满足条件②，
综上所述，可得集合
不具有性质
.
（2）证明：由
是偶数，得实数
是奇数，
当
时，由
，得
，即
，不合题意，
当
时，由
，得
，即
，或
（舍），
因为
是偶数，所以集合
，
令
，解得
，
显然
，
所以集合
是集合
的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合
是集合
的“期待子集”时，存在三个互不相同的
，使得
均属于
，
不妨设
，令
，
，
，则
，即满足条件①，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，所以
，即满足条件②，
因为
，所以
为偶数，即满足条件③，
所以当集合
是集合
的“期待子集”时，集合
具有性质
.
再证必要性：
当集合
具有性质
，则存在
，同时满足①
；②
；③
为偶数，
令
，
，
，则由条件①得
，
由条件②得
，
由条件③得
均为整数，
因为
，
所以
，且
均为整数，
所以
，
因为
，
所以
均属于
，
所以当集合
具有性质
时，集合
是集合
的“期待子集”.
综上所述，集合
是集合
的“期待子集”的充要条件是集合
具有性质
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质
”和“期待子集”的定义
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知命题
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：
命题
的否定为：
为
．
故选：C．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知平面
，则“
”是“
且
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利
用线面垂直的判断求证必要性.
【解析】由于
，所以
，
若
，则
，
，故充分性成立，
若
，
，设
，
，
则存在直线
使得
，所以
，由于
，故
，
同理存在直线
使得
，所以
，由于
，故
，
由于
不平行，所以
是平面
内两条相交直线，所以
，故必要性成立，
故选：C
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知
，
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别求得
为真时，
，
为真时，
,可得结论.
【解析】
为真时，可得
，所以
，
为真时，
，又
所以
，所以
，
所以
为真时，
,
所以
是
的即不充分又不必要条件.
故选：D.
4．（2024·江西南昌·二模）已知集合
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.
【解析】不等式
解得
，则
；
不等式
解得
，则
.
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题：“
，
，使得
”为假命题，则
，
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由命题的否定为真命题，转化为
成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解.
【解析】由题意，命题的否定“
，
，使得
”为真命题，
即
，
设
，则
，
所以
为增函数，
所以由
可知
，
故选：B
6．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数
，命题“
，
”是假命题，
则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据特称名为假命题可得
，对
恒成立，令
，
利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】因为命题“
，
”是假命题，所以
，
恒成立，
则
，对
恒成立，
令
，则二次函数的对称轴为直线
，
要使得
，
恒成立，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：A.
7．（2024·四川成都·三模）已知圆
，直线
，则“
”是“圆
上任取一点
，使
的概率小于等于
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由事件从圆
上任取一点
，使
的概率小于等于
，求的范围，结合充分条件
和必要条件的定义判断结论.
【解析】直线
的斜率为，在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为，
当
时，如图，圆
上不存在点
，使
，
所以事件圆
上任取一点
，使
的概率为，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，如图，圆
上有且仅有一个点
，使
，
所以事件圆
上任取一点
，使
的概率为，
若
，如图，圆
上满足条件
点为劣弧
（含
）上的点，
设劣弧
的长度为，则
，
所以事件圆
上任取一点
，使
的概率
，
若
，如图，圆
上满足条件
点为直线上方的半圆上的点，
所以事件圆
上任取一点
，使
的概率
，
若
，如图，圆
上满足条件
点为优弧
（含
）上的点，
设优弧
的长度为，则
，
所以事件圆
上任取一点
，使
的概率
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
若
，如图，圆
上所有点满足条件
，
所以事件圆
上任取一点
，使
的概率
，
所以“圆
上任取一点
，使
的概率小于等于
”等价于“
”，
所以“
”是“圆
上任取一点
，使
的概率小于等于
”的充要条件，
故选：C.
8．（2024·四川·模拟预测）已知命题“
”为真命题，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分离参数
，求函数
的最小值即可求解.
【解析】因为命题“
”为真命题，所以
．
令
与
在
上均为增函数，
故
为增函数，当
时，
有最小值
，即
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：A．
二、多选题
9．（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BC
【分析】运用全称和特称量词的命题的知识分析即可.
【解析】对A，当
时，
无意义，故A 错误；
对B，易得
，
，则
，可得
，故B 正确；
对C，当
时，
成立，故C 正确；
对D，
，可得
，故D 错误.
故选：BC
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合
，集合
，能使
成立的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】由
成立的充要条件求出对应的参数
的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【解析】
当且仅当
是
的子集，当且仅当
，即
，
对比选项可知使得
成立的充分不必要条件有
，
.
故选：CD.
11．（2023·辽宁·模拟预测）已知数列
满足
.给出以下两个命题：命题
对
任意
，都有
；命题
，使得对
成立.（ ）
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
真
B．
假
C．
真
D．
假
【答案】AD
【分析】对于命题
，利用数学归纳法和作差法可判断，对于命题
，利用反证法进行分析判断.
【解析】对于命题
，先利用数学归纳法证明
，
当
时，
，不等式成立，
假设当
时不等式成立，即
，则
，
所以当
时，不等式也成立，
综上，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以命题
为真命题，
对于命题
，假设存在
，使得对
，
由已知可得
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
由基本不等式推广可得
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，这与
相矛盾，
所以命题
为假命题，
故选：AD
三、填空题
12．（2024·辽宁大连·一模）“函数
是奇函数”的充要条件是实数
．
【答案】0
【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.
【解析】若函数
是奇函数，
则当且仅当
，
也就是
恒成立，从而只能
.
故答案为：0.
13．（2024·辽宁·模拟预测）命题
：存在
，使得函数
在区间
内单调，若
的否定为真命题，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先给出命题p 的否定，由函数
的单调性进行求解.
【解析】命题p 的否定为：任意
，使得函数
在区间
内不单调，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，而
，
得
，
故答案为：
14．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知p：如果数列
是等比数列，那么数列
也是等比数列；q：
如果数列
是等差数列，那么数列
也是等差数列.以下哪些为真命题 .
①p∧q
②p∨q
③
④
【答案】②④
【分析】首先根据等差和等比数列的定义，判断两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法，即可
判断.
【解析】
设数列
的公比为
，则
，所以数列
也是等比数列，故命题
是真命题；
设等差数列
的公差为
，首项为
，则
，不是常数，所以数列
不是等差数列，所以
命题
是假命题.
则
和
是真命题.
故答案为：②④
四、解答题
15．（2020·江苏南通·二模）设首项为1 的正项数列{an}的前n 项和为Sn，数列
的前n 项和为Tn，且
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，其中p 为常数．
（1）求p 的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝
2”．
【答案】（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）取n＝1 时，由
得p＝0 或2，计算排除p＝0 的情况得到答案.
（2）
，则
，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到
，
得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数，计算化简得
2x
2
﹣y﹣2＝1，设k＝x﹣（y
2
﹣），计算得到k＝1，得到答案.
【解析】（1）n＝1 时，由
得p＝0 或2，若p＝0 时，
，
当n＝2 时，
，解得a2＝0 或
，
而an＞0，所以p＝0 不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2 时，
①，则
②，
②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，
④﹣③得
（n∈N*），
又因为
，所以数列{an}是等比数列，且
；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由
知an，2xan+1，2yan+2依次为
，
，
，
满足
，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数，又
，
所以
，化简得2x
2
﹣y﹣2＝1，
显然x＞y
2
﹣，设k＝x﹣（y
2
﹣），
因为x、y 均为整数，所以当k≥2 时，2x
2
﹣y﹣2＞1 或2x
2
﹣y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y
2
﹣＝0 时上式成立，即证．
【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
29
