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专题03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题
秒杀技巧及专项训练（解析版）
【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】
【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】
【题型3 点面距离（体积求算）问题】
【题型4 线面夹角问题（两大法）】
【题型5 面面夹角问题（两大法）】
基础工具：法向量的求算
待定系数法：步骤如下：
①设出平面的法向量为⃗n=(x, y ,z)．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量⃗a=(a1,b1,c1)，⃗b=(a2,b2,c2)．
③根据法向量的定义建立关于x , y , z 的方程组{⃗
n⋅⃗a=0⃗
n⋅⃗b=0
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组{⃗
n⋅⃗a=0⃗
n⋅⃗b=0 有无数多个解，只需给
x , y , z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的
法向量就不同，但它们是共线向量．
秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量
，
是平面
内的两个不共线向量，则向量⃗
n=( y1 z2−y2 z1, x2 z1−x1 z2, x1 y2−x2 y1)是平面
的一个法向量.
特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.
1
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：线面平行问题
线面平行：关键点
①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②
眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）
：中位线型
如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥
中，点
是
的中点.求证：
平
面
.
分析：
：构造平行四边形
如图⑵, 平行四边形
和梯形
所在平面相交，
//
，求证：
//平面
.
分析：过点
作
//
交
于
，
就是平面
与平面
的交线，那么只要证明
//
即可。
：作辅助面使两个平面是平行
如图⑶，在四棱锥
中，底面
为菱形，
为
的中点，
为
的
中点，证明：直线
2
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分析：：取
中点
，连接
，只需证平面
∥平面
。
：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线
AE，BD 上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．
如图⑸，已知三棱锥
，
是
,
,
的重心.(1)求
证：
∥面
；
（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标
系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
如图⑹，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底面
分别为
的中点．证明
平面
；
分析：因为侧棱
底面
，底面
是正方形，所以很容易建立空间直
角坐标系及相应的点的坐标。
3
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证明：如图，建立空间直角坐标系
．
设
，则
，
．
因为
轴垂直与平面
，故可设平面的法向量为
=（0，1，0）
则：
=0 因此
，所以
平面
．
如图，三棱柱
中，
为底面
的重心，
．
(1)求证：
∥平面
；
(2)若
底面
，且三棱柱
的各棱长均为6，设直线
与平面
所
成的角为
，求
的值．
破解：（1）连接
交
于
点，连接
．
因为
为底面
的重心，则
，
4
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又因为
，则
，可知
∥
，
因为
平面
平面
，
所以
∥平面
．
（2）取
的中点
，连接
．
因为
底面
，且三棱柱
的各棱长均为6，
可知射线
两两垂直，
以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，可得
，
所以
．
如图，平行六面体
中，
分别为
的中点，
在
上.
5
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(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，求平面
与平
面
的夹角的余弦值.
破解：（1）证明：如图，设
的中点为
，连接
.
∵
为
的中点，
∴
且
.
又
为
的中点，且四边形
是平行四边形，
∴
且
∴四边形
为平行四边形.∴
.
又∵
平面
平面
，∴
平面
.
（2）解：在平面
中，作
交
于
.
∵
平面
，
平面
，
平面
，
∴
.
∴
两两互相垂直.
分别以射线
为
轴､
轴､轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
6
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在平行六面体
中，由
平面
得平行四边形
是矩形.
根据已知可得
，
.
.
由
平面
得
是平面
的法向量.
设
是平面
的法向量，则
取
，得
.
∴
是平面
的法向量
∴
.
7
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设平面
与平面
的夹角为
，则
.
平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的正方形，平面
⊥平面ABCD，
，点P 是棱
的中点，点Q 在棱BC 上．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求BQ 的长．
破解：（1）证明：取
的中点M，连接MP，MB．
在四棱台
中，四边形
是梯形，
，
，
又点M，P 分别是棱
，
的中点，所以
，且
．
在正方形ABCD 中，
，
，又
，所以
．
从而
且
，所以四边形BMPQ 是平行四边形，所以
．
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
1
AA
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
A ADD
1
1
2
A D
4
AD
1A A
1
D D
MP
AD
∥
1
1
3
2
A D
AD
MP
BC
AD
∥
4
BC
3
BQ
QC
3
BQ
MP
BQ
∥
MP
BQ
PQ
MB
∥
MB
1
1
ABB A
PQ
1
1
ABB A
PQ∥
1
1
ABB A
8
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（2）在平面
中，作
于O．
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，所以
平面
．
在正方形ABCD 中，过O 作AB 的平行线交BC 于点N，则
．
以
为正交基底，建立空间直角坐标系
．
因为四边形
是等腰梯形，
，
，所以
，又
，所
以
．
易得
，
，
，
，
，所以
，
，
．
：设
，所以
．
设平面PDQ 的法向量为
，由
，得
，取
，
1
1
AA D D
1AO
AD
1
1
AA D D
ABCD
1
1
AA D D
ABCD
AD
1AO
AD
1AO
1
1
AA D D
1AO
ABCD
ON
OD
1
,
,
ON OD OA
O
xyz
1
1
AA D D
1
1
2
A D
4
AD
1
AO
1
1
17
A A
D D
1
4
AO
4, 1,0
B
0,3,0
D
4,3,0
C
1 0,2,4
D
5
0,
,2
2
P
4,0,0
DC
1
0,
,2
2
DP
0,
4,0
CB
0,
4 ,0
0
1
CQ
CB
4,
4 ,0
DQ
DC
CQ
, ,
m
x y z
0
0
m DP
m DO
1
2
0
2
4
4
0
y
z
x
y
4 ,4,1
m
9
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另取平面DCQ 的一个法向量为
．
设二面角
的平面角为θ，由题意得
．
又
，所以
，
解得
（舍负），因此
，
．
所以当二面角
的正弦值为
时，BQ 的长为1．
：设
，所以
．
设平面PDQ 的法向量为
，由
，得
，取
，
另取平面DCQ 的一个法向量为
．
设二面角
的平面角为θ，由题意得
．
又
，所以
，
解得
或6（舍），因此
．
所以当二面角
的正弦值为
时，BQ 的长为1．
0,0,1
n
P
QD
C
2
1
cos
1 sin
26
2
1
cos
cos
,
4
17
m n
m n
m
n
2
1
1
26
4
17
3
4
3
4
3
4
CQ
1
BQ
P
QD
C
5 26
26
4, ,0
1
3
Q
t
t
4,
3,0
DQ
t
, ,
m
x y z
0
0
m DP
m DQ
1
2
0
2
4
(
3)
0
y
z
x
t
y
3
,4,1
m
t
0,0,1
n
P
QD
C
2
1
cos
1 sin
26
2
1
cos
cos
,
3
17
m n
m n
m
n
t
2
1
1
26
3
17
t
0
t
1
BQ
P
QD
C
5 26
26
10
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：在平面
中，作
，垂足为H．
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
．
在平面ABCD 中，作
，垂足为G，连接PG．
因为
，
，
，PH，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
．
因为
，
，所以
是二面角
的平面角．
在四棱台
中，四边形
是梯形，
，
，
，点P 是棱
的中点，
所以
，
．
设
，则
，
，
在
中，
，从而
．
因为二面角
的平面角与二面角
的平面角互补，
且二面角
的正弦值为
，所以
，从而
．
所以在
中，
，解得
或
（舍）．
所以当二面角
的正弦值为
时，BQ 的长为1．
1
1
A ADD
PH
AD
1
1
A ADD
ABCD
1
1
A ADD
ABCD
AD
PH
AD
PH
1
1
A ADD
PH
ABCD
DQ
ABCD
PH
DQ
HG
DQ
PH
DQ
HG
DQ
PH
HG
H
HG
PHG
DQ
PHG
PG
PHG
DQ
PG
HG
DQ
PG
DQ
PGH
P
QD
A
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
A ADD
1
1
2
A D
4
AD
1
1
17
A A
D D
1
DD
2
PH
1
2
DH
0
4
BQ
x
x
4
CQ
x
2
2
2
4
4
8
32
DQ
x
x
x
QHD
△
2
1
1
1
4
8
32
2
2
2
x
x
HG
2
2
8
32
HG
x
x
P
QD
C
P
QD
A
P
QD
C
5 26
26
5 26
sin
26
PGH
tan
5
PGH
Rt
PHG
△
2
8
32
5
PH
x
x
HG
1
x
7
x
P
QD
C
5 26
26
11
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1．如图，在直三棱柱
中，
，
，M，N，P 分别为
，AC，BC 的中点．
求证：
平面
；
【详解】∵直三棱柱
中，
为
的中点，
所以
，且
，
因为
，
分别
，
的中点，
∴
，
，
，
，
∴四边形
为平行四边形，∴
，
又∵
平面
，
平面
，
故
平面
.
2．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
为棱
的中点．
1
1
A B
1
1
1
1
1
2
2
B M
A B
AB
1
//
B M AB
P
N
BC
AC
//
PN AB
1
2
PN
AB
1
//
PN B M
1
PN
B M
=
1
B MNP
1
/ /
MN
B P
MN
1
1
B C CB
1B P
1
1
B C CB
/ /
MN
1
1
B C CB
P
ABCD
PA
,
/ /
ABCD
AB
AD AD
BC
，
1
2
BC
AD
2
PA
AB
E
，
PD
12
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求证：
//平面
；
【详解】取
中点为
，连接
，如下所示：
在△
中，因为
分别为
的中点，故
//
；
又
，故
//
，则四边形
为平行四边形，
//
；
又
面
面
，故
//面
.
3．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面
与平面
所成锐
二面角的大小．
条件①：
；
EC
PAB
PA
M
,
ME MB
PAD
,
M E
,
PA PD
ME
1
,
2
AD ME
AD
1
/ /
,
2
AD
BC BC
AD
ME
,
BC ME
BC
MBCE
EC
MB
MB
,
PAB EC
PAB
EC
PAB
P
ABCD
PA
ABCD
2
PA
AD
CD
3
BC
2 3
PC
CD
PAD
PBC
PAD
5
AB
13
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条件②：
平面
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析(2)所选条件见解析，
【详解】（1）如图，连接AC，因
平面
，
平面
，则
，
.
又
，则
.
注意到
，则
为等腰直角三角形，其中
，
.
所以
，又因为
，
平面
，
，
所以
平面
；
（2）若选条件①，由余弦定理可得，
，结合
为三角形内角，
得
，又
，则
，即
.
若选条件②，因
平面
，BC
平面
，平面
平面
，则
，
又
，则
，即
.
故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（
轴所在直线与DC 平行）
又
，
，
则
，
则
，
，
.
平面
法向量为
，
/ /
BC
PAD
π
4
PA
ABCD
,
AC CD
ABCD
PA
AC
PA
CD
2 3
2
，
PC
PA
2 2
AC
2
AD
DC
ADC
△
π
4
ACD
π
2
ADC
CD
AD
PA
CD
,
AD PA
PAD
AD
PA
A
CD
PAD
2
2
2
8
9
5
2
2
2
2
2 2
3
cos
AC
BC
AB
ACB
AC
BC
ACB
π
4
ACB
π
4
ACD
π
2
BCD
BC
CD
BC / /
PAD
ABCD
ABCD
PAD
AD
BC
AD
∥
π
2
ADC
π
2
BCD
BC
CD
x
2
3
，
PA
AD
CD
BC
5
AB
0,0,0
2, 1,0
2,2,0
0,2,0
A
B
C
D
，
，
，
0,0,2
P
，
0,3,0
BC
2, 2,2
CP
2,0,0
DC
PAD
2,0,0
DC
14
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设平面
法向量为
，则
.
令
，则
，所以
，
设面
与平面
所成角为
，
，
根据平面角的范围可知
.
4．如图，为圆锥顶点，
是圆锥底面圆的圆心，
，
是长度为
的底面圆的两条直
径，
，且
，
为母线
上一点．
求证：当
为
中点时，
平面
；
【详解】连接
，因为
，
分别为
，
的中点，
所以
为
的中位线，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
；
5．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，点
在棱
上，
，点
，
是棱
上的三等分点，点
是棱
的中点.
，
.
PBC
, ,
n
x y z
0
3
0
2
2
2
0
0
n BC
y
x
y
z
n CP
1
x
0,
1
y
z
1,0,1
n
PBC
PAD
2
2
cos
cos ,
2
2 2
n DC
n DC
n
DC
π
4
S
O
AB
CD
2
AB
CD
O
3
SO
P
SB
P
SB
SA∥
PCD
PO
P
O
SB
AB
PO
BSA
/ /
SA
PO
PO
PCD
SA
PCD
SA∥
PCD
P
ABCD
PC
ABCD
//
AB CD
E
PB
2
PE
EB
F
H
PA
G
PD
2
2
3
PC
CB
CD
AB
13
AC
15
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证明：
平面
，且
；
【详解】因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
连接
，在
中，
，
所以
，且
，
因为
，
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
，所以
，
6．如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，平面
平面
，
，
是
的中点，作
交
于
．
//
HD
CFG
//
EC FG
F
G
PH
PD
//
FG HD
FG
CFG
HD
CFG
//
HD
CFG
HE
PAB
2
PE
PH
EB
HA
//
HE AB
2
3
HE
AB
//
AB CD
2
3
CD
AB
CD
HE
//
CD HE
HECD
//
CE HD
//
FG HD
//
CE FG
P
ABCD
ABCD
PD
AD
PAD
ABCD
2
PD
AD
E
PC
EF
PB
PB
F
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求证：
平面
；
【详解】连接
交
于点
，连接
，
四边形
为正方形，
为
中点，又
为
中点，
，
平面
，
平面
，
平面
.
7．在四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，
，
.
(1)证明：四边形ABCD 为菱形；
(2)E 为棱PB 上一点（不与P，B 重合），证明：AE 不可能与平面PCD 平行.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】（1）（1）证明：连接AC，BD，设
，
因为底面ABCD 为平行四边形，则O 为AC，BD 的中点.
因为
，所以
//
PA
BDE
AC
BD
O
EO
ABCD
O
AC
E
PC
//
OE PA
OE
BDE
PA
BDE
//
PA
BDE
P
ABCD
PA
PC
PB
AC
AC
BD
O
PA
PC
AC
PO
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又
，
，
平面PBD，
平面PBD，
所以
平面PBD，又
平面PBD，所以
，
所以四边形ABCD 为菱形.
（2）（2）方法一：（反证法）假设
平面PDC，
因为
，
平面PCD，
平面PCD，所以
平面PDC，
又
平面PAB，
平面PAB，
，
所以平面
平面PDC，这显然与平面PAB 与平面PDC 有公共点P 所矛盾.
所以假设错误，即AE 不可能与平面PCD 平行.
方法二：∵
平面PAB，
平面PCD，
∴平面PAB 与平面PCD 必相交，可设平面
平面
，
又∵
，
平面PCD，
平面PCD，∴
平面PCD，
又∵
平面PAB，平面
平面
，∴
又∵
平面PAB，且
不与
重合，∴AE 必与l 相交
∵
面PCD，∴AE 必与平面PCD 相交，
∴AE 不可能与平面PCD 平行.
8 ．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，点
为
中点．
AC
PB
PB
PO
P
PO
PB
AC
BD
AC
BD
AE∥
AB
CD
∥
AB
CD
AB∥
AB
AE
AB
AE
E
PAB∥
P
P
PAB
PCD
l
AB
CD
∥
AB
CD
AB∥
AB
PAB
PCD
l
AB
l
∥
AE
E
B
l
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AB
AD
AA
90
DAB
1
2
cos
,
2
AA AB
1
1
cos<
,
2
AA AD
M
BD
18
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证明：
平面
；
【答案】(1)证明见详解(2)
【详解】（1）连结
，交
于点
，连结
，
在平行六面体
中，
，
是
的中点，
所以四边形
是平行四边形，又点
为
中点，
则
且
，
所以四边形
是平行四边形，从而
，
因为
平面
，
，所以
平面
.
（2）以
为原点建立如图所示的坐标系，
则
，
，设点
为
，其中
，
则
，
，
，
因为
，
，
，
1
/ /
B M
1
1
AC D
6
3
1
1
B D
1
1
AC
N
DN
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
1
1
/ /
,
DD
BB DD
BB
N
1
1
B D
1
1
BB D D
M
BD
1
B N
MD
1
/ /
B N
MD
1
B NDM
1
/ /
B M
ND
1B M
1
1
AC D
DN
1
1
AC D
1
/ /
B M
1
1
AC D
A
(0,0,0), (1,0,0)
A
B
(0,1,0),
(1,1,0)
D
C
1A
( , , )
x y z
0
z
1
, ,
AA
x y z
1,0,0
AB
0,1,0
AD
1
1
AA
1
2
cos<
,
2
AA AB
1
1
cos<
,
2
AA AD
19
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所以
，即
，解得
，
则
，则
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
设二面角
为
，则
，
所以
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
线面垂直问题（勾股定理妙解）
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
AA
AA AB
AA
AB
AA AD
AA
AD
2
2
2
1
2
1 1
2
1
1 1
2
x
y
z
x
y
2
2
1
2
1
2
x
y
z
1
2 1 1
,
,
2
2 2
A
1
2 1 1
,
,
2
2 2
AA
1
BAA
1
1
1
( ,
,
)
m
x y z
1
1
1
1
1
0
2
1
1
0
2
2
2
AB m
x
AA m
x
y
z
1
1
y
(0,1, 1)
m
1
AA D
2
2
2
(
,
,
)
n
x
y
z
2
1
2
2
2
0
2
1
1
0
2
2
2
AD n
y
AA n
x
y
z
2
1
x
(1,0,
2)
n
1
B
AA
D
0
π
2
3
cos
cos
,
3
2
3
m n
m n
m n
2
6
sin
1 cos
3
1
B
AA
D
6
3
20
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必记结论：①特殊的平行四边形⇒边长之比1:2，夹角为600
，则对角线与边垂直
②特殊的直角梯形⇒边长之比1:1:2,对角线与腰垂直
③等腰三角形三线合一，三线与底垂直
④直径所对的圆周角为直角 ⑤菱形和正方形：对角线互相垂直
⑥特殊的矩形：边长之比1:2 或1：√2 有明显的直角关系
要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可
如：要证
平面
；
第一步：表示
,表示（
）中的两个
第二步：
如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
．
求证：
平面
．
证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）
因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD.
⊥
第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线
又因为PA⊥平面ABCD. 所以PA BD.
⊥
又因为
所以BD⊥平面PAC.
21
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如图，在三棱柱
中，
平面
，
.
求证：
平面
；
证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）
因为
，所以
第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线
在三棱柱
中，由
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
，交线为
.
又因为
，所以
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
又
，所以
平面
.
三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
，
，
，
分别是
，
的中点．
求证：
平面
．
证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）
22
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三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
四边形
是正方形．
．
．
第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线
连接
，
，
．
，又
是
的中点，
．
与
相交于点
，
平面
．
1．在长方体
中，
是
上的点,，且
的长成等比数列，又
是
所在的直线上的动点.
(1)求证：
平面
【详解】如图，
连接
交
于点
，在长方体
中，有
面
，
因为
面
，所以
，
又因为
的长成等比数列，
23
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所以
的长成等比数列，即
，
注意到
，
所以
，从而
，
又因为
，
所以
，从而
，
又因为
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平行且等于
，
平行且等于
，
所以
平行且等于
，即四边形
是平行四边形，
所以
，
又因为
平面
，所以
平面
.
2．如图，在三棱柱
中，
平面
，
是
的中点，
是边长
为
的等边三角形．
证明：
．
【详解】因为
是边长为
的等边三角形，所以
，
，
因为
为
中点，所以
，所以
为等腰三角形，
所以
，所以
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
，
24
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又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
；
3．如图，在三棱台
中，平面
平面
.
证明：
平面
；
【详解】由于平面
平面
且交线为
,
又
平面
，所以
平面
平面
故
，
又
平面
,故
平面
4．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，点
在棱
上，
，点
，
是棱
上的三等分点，点
是棱
的中点．
，
．
(1)证明：
∥平面
，且
，
，
，
四点共面；
(2)证明：平面
平面
；
【详解】（1）因为F，G 分别为
的中点，所以
，
又
平面CFG，
平面
，所以
平面
．
25
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连接HE，在
中，
，
所以
，且
，
因为
，
，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形．所以
，
又
，所以
，
故C，E，F，G 四点共面．
（2）由题意可知，
，
，
，
所以
，故
．
又
平面
，
平面
，所以
，
又
平面
，
故
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
5．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
侧面
，
为
中点，
是
上的点，
，
．
求证：平面
平面
；
FG
HD
∥
CE
FG
∥
3
AB
2
BC
13
AC
2
2
2
AB
BC
AC
BC
AB
PC
ABCD
AB
ABCD
PC
AB
,
,
BC
PC
C BC PC
PBC
AB
PBC
AB
PAB
PAB
PBC
P
ABCD
ABCD
PAD
PAB
F
BD
E
PA
2
PA
PD
PA
PD
PAD
ABCD
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【详解】
平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
平面
，又
平面
，
；
四边形
为正方形，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
.
6 ．如图，四棱锥
，平面
平面
为
中点．
证明：平面
平面
；
【详解】证明：根据题意可得
为
中点，所以
，
易知
，
所以
，可得
，
易知
，所以
，即
；
由
，
为
中点，可得
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
；
又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
PAD
PAB
PAD
PAB
PA
PA
PD
PD
PAD
PD
PAB
AB
PAB
PD
AB
ABCD
AB
AD
PD
AD
D
,
PD AD
PAD
AB
PAD
AB
ABCD
PAD
ABCD
π
,
2
2,
,
2
A
BCDE AB
BC
AC
CD
BE
BE
CD
BCD
∥
ABC
,
BCDE F
BC
AEC
AFD
F
BC
π
1,
2,
2
FC
CD
BCD
π
1,
2,
,
2
BE
BC
BE
CD
EBC
∥
EBC
FCD
△
△
ECB
FDC
90
DFC
FDC
90
DFC
ECB
DF
EC
AB
BC
AC
F
BC
AF
BC
ABC
BCDE
ABC
BCDE
BC
AF
ABC
AF
BCDE
EC
BCDE
AF
EC
AF
DF
F
,
AF DF
ADF
EC
ADF
EC
AEC
27
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因此平面
平面
；
7．如图几何体中，底面
是边长为2 的正三角形，
平面
，若
，
，
，
．
求证：平面
平面
；
【详解】证明：设
分别为
，
边的中点，连接
，
因为
平面
，且
，
，
，
，
所以
，且
，
即四边形
为平行四边形，可得
，
在底面正三角形
中，
为
边的中点，则
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
，
由于
，且
平面
，所以
平面
，
因为
，且
平面
，则
平面
，
又
平面
，则平面
平面
．
8．如图，在直四棱柱
中，底面为矩形，
，高为，O，
E 分别为底面的中心和
的中点．
求证：平面
平面
；
AEC
AFD
ABC
AE
ABC
/ /
/ /
AE
CD
BF
5
AE
4
CD
3
BF
DEF
AEFB
,
M N
EF
AB
,
,
MN DM CN
AE
ABC
/ /
/ /
AE
CD
BF
5
AE
4
CD
3
BF
4
MN
CD
//
MN
CD
CNMD
/ /
MD
CN
ABC
N
AB
CN
AB
AE
ABC
CN
ABC
AE
CN
AE
AB
A
,
AE AB
ABFE
CN
ABFE
/ /
MD
CN
CN
ABFE
MD
ABFE
MD
DEF
DEF
AEFB
1
1
1
1
ABCD
A B C D
3
3
AB
AD
a
h
CD
1AOE
1
1
CDD C
28
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【详解】连接
、
，
∵O，E 分别为
的中点和
的中点，
∴
∥
，
∵
∥
，∴
∥
，
∴四点
、
、
、
共面，
∵
，
，且
，
、
平面
，
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
，
点面距离问题
结论1：《点线距离》
d=√
|⃗PP 1|2−(⃗
PP 1⋅⃗a
|⃗a| )
2
⇒《异面直线求距离问题》
结论2：《点面距离》
d=⃗
PP 1⋅⃗n
|⃗n|
结论3：《线面距离》
d=⃗
PP 1⋅⃗n
|⃗n|
AC
1
D E
AC
CD
OE
AD
AD
1
1
A D
OE
1
1
A D
O
E
1A
1
D
1
1
1
1
A D
C D
1
1
1
A D
D D
1
1
1
1
D D
D C
D
1
D D
1
1
D C
1
1
CDD C
1
1
A D
1
1
CDD C
1
1
A D
1
1
CDD C
1
1
A D
1AOE
1AOE
1
1
CDD C
29
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结论4：《面面距离》
d=⃗
PP 1⋅⃗n
|⃗n|
结论5：《点点距离》d=√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2+(z1−z2)
2
在棱长为1 的正方体
中，
为
的中点，则点
到直线
的距离
为
解：第一步：识别题干属于哪一种距离
空间点线距离
第二步：直接利用结论
则
，
，
，所以
，
，
所以
在
上的投影为
，
所以点
到直线
的距离
.
在棱长为的正方体
中，则平面
与平面
之间的距离为( )
解：第一步：识别题干属于哪一种距离
空间面面距离
第二步：直接利用结论
建立如图所示的直角坐标系，则
，
，
30
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，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量
，则
，
即
，解得（秒杀），故
，
显然平面
平面
，
所以平面
与平面
之间的距离
已知正方形
的边长为1，
平面
，且
，
，
分别为
，
的中点.（1）求点
到平面
的距离；（2）求直线
到平面
的距离.
解：第一步：识别题干属于哪一种距离
空间面面距离
第二步：直接利用结论
建立以点
为坐标原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴正方向的空间
直角坐标系，如图所示，
，
，
分别为
，
的中点，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
31
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则
，秒杀
所以
，
所以点
到平面
的距离
，
（2）因为
，
所以点
到平面
的距离
.
1．如图，在平行六面体
中，E 在线段
上，且
F，
G 分别为线段
，
的中点，且底面
为正方形.
(1)求证:平面
平面
(2)若
与底面
不垂直，直线
与平面
所成角为
且
求点
A 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见详解(2)
【详解】（1）因为
，
为
中点，
所以
，
，即
，
因为
是正方形，所以
，
32
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因为
分别是
的中点，所以
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，又
平面
，
平面
平面
.
（2）以
为坐标原点，过
作与平面
垂直的直线为轴，以
的方向为
轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则
，设
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以
，又
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
解得
或
（舍），
，
所以点
到平面
的距离为
，则点
到平面
的距离为
.
2．如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在底面圆
上，圆
的半径为1，
BC
1
1
BCC B
1
1
BCC B
EGF
F
F
ABCD
z
,
FC GF
uuur uuur
,x y
1, 2,0 ,
1,0,0 ,
1,0,0
D
C
B
0, ,
0,
0
E
a h
a
h
1, 2
,
ED
a
h
1,
,
EB
a
h
2,0,0
CB
EBC
, ,
n
x y z
0
2
0
n EB
x
ay
hz
n CB
x
y
h
z
a
0,
,
n
h a
2
EB
2
2
3
a
h
ED
EBC
2
2
2
2
sin
2
3
2
1
ED n
h
ED n
h
a
3
2
a
0
a
3
2
h
E
ABCD
3
2
A
1
1
1
1
D
C
B
A
3
2
ABCD
OE
F
O
O
3
AF
G
BF
33
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，点
是线段
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与圆柱底面所成角为
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：取
中点
，连接
，如图所示：
为
中点，则
，又
，得
，
由
，
，得
，
所以四边形
为平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
，
，
，所以
.
因为
平面
，且直线
与圆柱底面所成角为
，
所以
，则有
.
如图，以
为原点，
分别为
轴，过
垂直于底面的直线
为轴，建立空间
直角坐标系
，
3
AF
G
BF
//
EG
DAF
DF
45
G
DEF
15
10
AF
M
,
DM GM
G
BF
//
GM AB
//
AB DE
//
GM DE
1
2
GM
AB
1
2
DE
AB
GM
DE
DEGM
//
DM EG
DM
DAF
EG
DAF
//
EG
DAF
1
OB
3
AF
90
AFB
2
2
4
3
1
BF
AB
AF
DA
ABF
DF
45
45
AFD
3
AD
F
,
FB FA
,x y
F
FN
z
F
xyz
34
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则有
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，有
，得
，
，
设点
到平面
的距离为
，
.
故点
到平面
的距离
.
3．如图，在直三棱柱形木料
中，
为上底面
上一点．
1
0,0,0 ,
0, 3,0 ,
1,0,0 ,
,0,0 ,
0, 3, 3 ,
1,0, 3
2
F
A
B
G
D
C
1
3
,
, 3
2
2
E
1
3
0, 3, 3 ,
,
, 3
2
2
FD
FE
DEF
, ,
n
x y z
3
3
0
1
3
3
0
2
2
FD n
y
z
FE n
x
y
z
1
y
3,
1
x
z
3,1, 1
n
3
0,
,
3
2
EG
G
DEF
d
3
3
15
2
10
5
EG n
d
n
G
DEF
15
10
1
1
1
ABC
A B C
-
D
ABC
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(1)经过点
在上底面
上画一条直线与
垂直，应该如何画线，请说明理由；
(2)若
，
，
，
为
的中点，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)答案见解析(2)
．
【详解】（1）连结
，在平面
上作
，
因为
为直三棱柱，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两两互相垂直，以
为原点，
分别以
，
，
所在直线为
，
，轴建立空向直角坐标系，
，
，
，
，
则
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，因为
，
，
所以
，
，则
，取
，则
，
D
ABC
l
1
B D
1
1
BC
BB
2
AB
1
1
1
π
2
A B C
E
1
1
A B
B
1
AC E
2 3
3
BD
ABC
l
BD
1
1
1
ABC
A B C
-
1
BB
ABC
l
ABC
1
BB
l
1
l
BB
l
BD
1
BB
BD
B
1
BB
BD
1
BB D
l
1
BB D
1
B D
1
BB D
1
l
B D
1
1
1
π
2
A B C
1
1
B A
1
1
B C
1B B
1
B
1
1
B A
1
1
B C
1B B
x
y
z
0,0,1
B
2,0,1
A
1,0,0
E
1 0,1,0
C
2,0,0
BA
1,0,1
EA
1
1,1,0
EC
1
AC E
, ,
m
x y z
m
EA
ur
uur
1
m
EC
0
m EA
1
0
m EC
0
0
x
z
x
y
1
x
1,1, 1
m
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设点
到平面
的距离为
，则
因此点
到平面
的距离为
．
4．如图，在直四棱柱
中，底面ABCD 为菱形，
，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【详解】（1）如图所示，连接
交
于F 点，连接
，
由直四棱柱的性质可知F 是
及
的中点，所以
是
的一条中位线，
即
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
B
1
AC E
d
2 3
3
BA m
d
m
B
1
AC E
2 3
3
1
1
1
1
ABCD
A B C D
60
BAD
2
AB
1
4 2
AA
1
DD
/ /
BD
1
AC E
1
AC E
2 66
11
1
BD
1
AC
EF
1
BD
1
AC
EF
1
BDD
/ /
EF
BD
EF
1
AC E
BD
1
AC E
/ /
BD
1
AC E
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（2）如图所示，作
，交
延长线于M，
由直四棱柱的特征易知
底面
，
面
，
所以
，又
平面
，
故
面
，
因为底面ABCD 为菱形，
，
，
所以
，则
，
易知
到平面
的距离相等，设点B 到平面
的距离为，
则
，
解之得
.
5．图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，点E 在棱
上，
，
.
(1)证明：
；
(2)求点C 到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由
平面
，
平面
，故
，
由底面
是正方形，故
，
又
，
、
平面
，故
平面
，
又
平面
，故
，又
，
，
、
平面
，故
平面
，
CM
AD
AD
1
D D
ADB
CM
ADB
1
D D
CM
1
1
,
D D
AD
D DD
AD
、
1
1
ADD A
CM
1
1
ADD A
60
BAD
2
AB
3,
2,
2 3
CM
BD
AC
1
2 11,
1
AC
EF
1
B
D
、
1
AEC
1
AC E
h
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
2
B AEC
D
AEC
C
AD E
V
V
V
CM
AD D E
h
EF AC
2 66
11
h
P
ABCD
PA
ABCD
ABCD
PD
2
AD
AP
AE
CE
AE
PD
BAE
2
PA
ABCD
CD
ABCD
PA
CD
ABCD
CD
AD
PA
AD
A
PA
AD
PAD
CD
PAD
AE
PAD
CD
AE
AE
CE
CE
CD
C
CE
CD
PCD
AE
PCD
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又
平面
，故
；
（2）由
，
，故
为
中点，
又
平面
，故点
到平面
的距离为
，
，
由底面
是正方形，故
，由
，故
，
由
，且
，
故
，解得
,
故点C 到平面
的距离为
.
6．设四边形
为矩形，点
为平面
外一点，且
平面
，若
(1)求
与平面
所成角的正切值；
(2)在
边上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离为
，若存在，求出
的
值，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
所以
即为
与平面
所成角的平面角，
PD
PCD
AE
PD
AE
PD
AD
AP
E
PD
PA
ABCD
E
ABCD
2
1
2
2
AP
2
2
1
1
2
2
2
2
2
AE
PD
ABCD
/ /
BA
CD
CD
AE
BA
AE
E ABC
C ABE
V
V
1
1
2
2 2 1
3
2
3
E ABC
V
1
1
2
2
2
2
3
2
3
3
C ABE
h
V
h
2
h
BAE
2
ABCD
P
ABCD
PA
ABCD
1,
2.
PA
AB
BC
PC
PAD
BC
G
D
PAG
2
BG
5
5
1
BG
PA
ABCD
CD
ABCD
PA
CD
,
,
,
AD
CD PA
AD
A PA AD
PAD
CD
PAD
CPD
PC
PAD
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在
中，
，则
，
所以
与平面
所成角的正切值为
；
（2）假设存在，设
，
连接
，作
于点
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
所以
即为点
到平面
的距离，
由
，得
，
由
，解得
，
所以存在，
.
7．如图，在四棱锥
中，
，
，平面
平面
．
(1)证明：
平面
；
(2)已知
，且
，求点D 到平面
的距离．
Rt
PCD
△
1
4
5
PD
5
tan
5
CD
CPD
PD
PC
PAD
5
5
0
2
BG
x
x
,
AG DG
DM
AG
M
PA
ABCD
DM
ABCD
PA
DM
,
,
PA
AG
A PA AG
PAG
DM
PAG
DM
D
PAG
BG
x
2
1
AG
x
2
1
1
2
2 1
1
2
2
2
ADG
S
AG DM
x
1
x
1
BG
P
ABCD
/ /
AD
BC
AD
PD
PAD
PCD
BC
PCD
1
2
2
AD
PD
DC
BC
30
DPC
PAB
40
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【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
且
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，所以
平面
．
（2）由（1）可知，
平面
，且
平面
，所以平面
平面
，
过
作直线
的垂线，垂足为
，则
平面
，
由
，
，
可得
，
，
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
则
，可得
，
在直角梯形
中，因为
，可得
，
所以
，在等腰
中，
，
取
的中点
，连接
，可得
，且
，
所以
，
设点
到平面
的距离为，
由
，可得
，解得
，
所以点
到平面
的距离为
．
2 21
7
PAD
PCD
PAD
PCD
PD
AD
PD
AD
PAD
AD
PCD
/ /
AD
BC
BC
PCD
AD
PCD
AD
ABCD
ABCD
PCD
P
CD
H
PH
ABCD
30
CPD
DCP
2
PD
120
PDC
sin(180
120 )
3
PH
PD
2 2
PA
2 2
AB
BC
PCD
PC
PCD
PC
BC
2
2
2
PB
BC
PC
2 7
PB
ABCD
1
2
2
AD
DC
BC
135
DAB
1
2 2 2
sin135
2
2
DAB
S
△
PAB
2 2,
2 7
PA
AB
PB
PB
M
AM
AM
PB
2
2
(
)
1
2
PB
AM
PA
1
7
2
PAB
S
PB AM
D
PAB
h
D PAB
P ABD
V
V
1
1
3
3
PAB
DAB
S
h
S
PH
2 21
7
h
D
PAB
2 21
7
41
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8．如图，在三棱柱
中，
，
，
，点E，F 分别
为BC，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若底面
是边长为2 的正三角形，且平面
平面
，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1 作
的中点D，连接DF，DB，
因为点D，F 分别为
，
的中点，所以
，且
，
又由三棱柱的定义，结合点E 为BC 的中点可知：
，且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
；
1
1
1
ABC
A B C
-
1
60
CAA
AB
BC
1
AC
CC
1
1
AC
/ /
EF
1
1
ABB A
ABC
1
1
ACC A
ABC
1
C
1
1
ABB A
2 15
5
1
1
A B
1
1
A B
1
1
AC
1
1
/ /
DF
B C
1
1
1
2
DF
B C
/ /
DF
BE
DF
BE
DFEB
//
EF BD
EF
1
1
ABB A
BD
1
1
ABB A
/ /
EF
1
1
ABB A
42
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（2）作AC 的中点G，连接
，
，
，
，
因为
，
，所以
是正三角形，
又点G 为AC 的中点，所以
，
由平面
平面
，有平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
是三棱锥
的高，
所以
，
又因为
平面
，点
到平面
的距离即为点C 到平面
的距离，
又
，
，
设点C 到平面
的距离为d，则
，解得
．
线面夹角问题（两大法）
1AG
1AC
1A B
GB
1
60
CAA
1
1
AC
CC
AA
1
△ACA
1AG
AC
1
1
ACC A
ABC
1
1
ACC A
ABC
AC
1AG
1
1
ACC A
1AG
ABC
BG
ABC
1AG
BG
1AG
1A
ABC
1
1
1
1
3
3
1
3
3
A
ABC
ABC
V
S
AG
△
1 / /
CC
1
1
ABB A
1
C
1
1
ABB A
1
ABA
2
2
1
1
6
A B
AG
BG
1
2
2
1
1
1
1
15
2
2
2
ABA
S
A B
AB
A B
1
ABA
1
1
1
1
1
1
3
A
ABC
C
ABA
ABA
V
V
S
d
2 15
5
d
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结论1：异面直线所成角
cosθ= |⃗a⋅⃗b|
|⃗a|⋅|⃗b|(θ∈(0, π
2))
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式
cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|求出
关键是求出⃗a⋅⃗b 及|⃗a|与|⃗b|
结论2：线面角
cosα=sinθ=⃗AB⋅⃗n
|⃗AB|⋅|⃗n|(θ∈(0，π
2))
结论：
{
点面距离（
往往用等体积法计算），
线自身长度}
如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
为正三
角形，
.
求直线
与平面
所成角的大小；
解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离
直线
与平面
，去掉相同的
,只需求
到平面
的距离即
第二步：利用等体积法求距离
，
,
44
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第三步：利用结论求出答案
,
四棱锥
中，
平面
，四边形
为菱形，
，
，
为
的中点．
求
与平面
所成的角的正切值；
解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离
直线
与平面
，去掉相同的
,只需求
到平面
的距离即
第二步：利用等体积法求距离
，
,
第三步：利用结论求出答案
,
如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中
点，
是
的中点.
45
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求直线
与平面
所成的角的大小.
解：第一步：先去掉相同的字母且明确求哪个点到哪个面的距离
直线
与平面
，去掉相同的
,只需求
到平面
的距离即
第二步：利用等体积法求距离
设
，
第三步：利用结论求出答案
,
在长方体
中，
，
，则
与平面
所成角
的正弦值为______________．
第一步：建系出现坐标
如图，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
所以
，设平面
的一个法向量为
，
由题可得
，秒杀可得
，
第二步：利用结论
设
与平面
所成角为
，
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则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
1．如图，在几何体
中，
为等腰梯形，
为矩形，
，
，
，
，
，平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，过点
作
的垂线，垂足为
，连接
，
由已知可得
，
，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
，
，
2
DE
1
EF
ADEF
ABCD
BF
CF
AF
CEF
3
2
F
AD
M
,
MB MC
1
AM
MF
2
MD
2
BM
5
CM
ADEF
ABCD
ADEF
ABCD
AD
FM
ADEF
FM
AD
FM
ABCD
MB
MC
ABCD
FM
MB
FM
MC
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，
，
.
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则，
.
，
即直线
与平面
所成角的余弦值为
.
2．如图，三棱柱
中，四边形
均为正方形，
分别是棱
的中点，
为
上一点.
2
2
3
BF
FM
BM
2
2
6
CF
FM
CM
2
2
2
BF
CF
BC
BF
CF
,
A
xyz
1,3,0 ,
0,2,1 ,
0,1,1
C
E
F
0,1,1 ,
1, 1,1 ,
0, 1,0
AF
CE
EF
CEF
, ,
n
x y z
0
0
n EF
y
n CE
x
y
z
1
x
1,0,1
n
AF
CEF
1
1
sin
cos
,
2
2
2
AF n
AF n
AF n
π
0, 2
π
6
AF
CEF
3
2
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
1
1
,
ACC A BCC B
,
D E
1
1
,
AB A B
N
1
C E
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(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接
.
因为
，且
，
又
分别是棱
的中点，
所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，
所以
平面
，
因为
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
BN / /
1A DC
1
1
,
3
AB
AC C E
C N
DN
1A DC
15
10
1
,
,
BE BC DE
AB / /
1
1
A B
1
1
AB
A B
,
D E
1
1
,
AB A B
BD / /
1A E
1
BD
A E
1
BDA E
1A D / / EB
1A D
1
,
A DC EB
1A DC
EB / /
1A DC
DE / /
1
BB / /
1
CC
1
1
DE
BB
CC
1
DCC E
1
C E / / CD
CD
1
1
,
A DC C E
1A DC
1
C E / /
1A DC
1
1
,
,
C E
EB
E C E EB
1
BEC
1
BEC / /
1A DC
BN
1
BEC
BN / /
1A DC
49
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（2）四边形
均为正方形，所以
.
所以
平面
.
因为
，
所以
平面
.
从而
.
又
，
所以
为等边三角形.
因为
是棱
的中点，
所以
.
即
两两垂直.
以
为原点，
所在直线为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
，
则
，
所以
.
设
为平面
的法向量，
则
，即
，可取
.
1
1
1
1
,
ACC A BCC B
1
1
,
CC
AC CC
BC
1
CC
ABC
DE / /
1
CC
DE
ABC
,
DE
DB DE
DC
AB
AC
ABC
D
AB
CD
DB
,
,
DB DC DE
D
,
,
DB DC DE
, ,
x y z
D
xyz
2 3
AB
1
1
0,0,0 ,
0,0,2 3 ,
0,3,0 ,
0,3,2 3 ,
3,0,2 3
D
E
C
C
A
1
0,3,0 ,
3,0,2 3
DC
DA
, ,
n
x y z
1A DC
1
0
0
n DC
n DA
3
0
3
2 3
0
y
x
z
2,0,1
n
50
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因为
，所以
.
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
即直线
与平面
所成角正弦值为
.
3．如图，在四棱锥
中，四边形
为直角梯形，
，
，平面
平面
，
，点
是
的中点.
(1)证明：
.
(2)点
是
的中点，
，当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求四棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
或
【详解】（1）
是
中点，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，又
平面
，
.
（2）方法一：取
中点
，连接
，作
，垂足为
，连接
，
1
1
3
C E
C N
0,2,2 3 ,
0,2,2 3
N
DN
DN
1A DC
|
|
2 3
15
sin
| cos
,
|
10
|
| |
|
5
4
n DN
n DN
n
DN
DN
1A DC
15
10
Q
ABCD
ABCD
//
CD AB
BC
AB
QAD
ABCD
QA
QD
M
AD
QM
BD
N
CQ
2
2
AD
AB
CD
MN
QBC
42
7
Q
ABCD
3
2
3 3
4
M
AD
QA
QD
QM
AD
QAD
ABCD
QAD
ABCD
AD
QM
QAD
QM
ABCD
BD
ABCD
QM
BD
BC
F
,
MF QF
MG
QF
G
,
NG MC
51
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分别为
中点，
，
，又
，
；
由（1）知：
平面
，
平面
，
；
平面
，
，
平面
，
平面
，
，
又
，
，
平面
，
平面
，
直线
与平面
所成角为
，
，
设
，
，
，
，
，
又
，
，解得：
或
，
，
当
时，
；当
时，
.
,
M F
,
AD BC
//
AB CD
//
MF AB
BC
AB
MF
BC
QM
ABCD
BC
ABCD
QM
BC
,
QM MF
QMF
QM
MF
M
BC
QMF
MG
QMF
BC
MG
MG
QF
QF
BC
F
,
QF BC
QBC
MG
QBC
MN
QBC
MNG
42
sin
7
MNG
0
QM
a a
1
3
2
2
MF
AB
CD
2
2
1
3
2
BC
AD
AB
2
2
1
3
2
MC
MF
BC
2
1
1
3
2
2
MN
QC
a
2
2
3
3
2
9
9
4
4
a
QM MF
a
MG
QF
a
a
2
2
3
42
9
4
sin
1
7
3
2
a
MG
a
MNG
MN
a
3
a
3
2
a
1
1
3
3
2
2
Q ABCD
V
AB
CD
BC QM
QM
3
QM
3
2
Q ABCD
V
3
2
QM
3 3
4
Q ABCD
V
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综上所述：四棱锥
的体积为
或
.
方法二：取
中点
，连接
，
分别为
中点，
，
，又
，
；
由（1）知：
平面
，
以
为坐标原点，
正方向为
轴正方向，过
作轴
，可建立如图所示空
间直角坐标系，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
，
；
，解得：
或
，
Q
ABCD
3
2
3 3
4
BC
F
MF
,
M F
,
AD BC
//
AB CD
//
MF AB
BC
AB
MF
BC
QM
ABCD
F
,
FM FB
,x y
F
z
//QM
0
QM
a a
1
3
2
2
MF
AB
CD
2
2
1
3
2
BC
AD
AB
3 ,0,0
2
M
3 ,0,
2
Q
a
3
0,
,0
2
B
3
0,
,0
2
C
3
3
,
,
4
4
2
a
N
3
3
,
,
4
4
2
a
MN
0,
3,0
BC
3
3
,
,
2
2
CQ
a
QBC
, ,
n
x y z
3
0
3
3
0
2
2
BC n
y
CQ n
x
y
az
2
x
a
0
y
3
z
2 ,0, 3
n
a
2
2
3
42
cos
,
7
3
4
9
4
MN n
a
MN n
MN
n
a
a
3
a
3
2
a
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，
当
时，
；当
时，
.
综上所述：四棱锥
的体积为
或
.
4．如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在底面圆
上，圆
的半径为1，
，点
是线段
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与圆柱底面所成角为
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：取
中点
，连接
，如图所示：
为
中点，则
，又
，得
，
由
，
，得
，
所以四边形
为平行四边形，
，
1
1
3
3
2
2
Q ABCD
V
AB
CD
BC QM
QM
3
QM
3
2
Q ABCD
V
3
2
QM
3 3
4
Q ABCD
V
Q
ABCD
3
2
3 3
4
ABCD
OE
F
O
O
3
AF
G
BF
//
EG
DAF
DF
45
G
DEF
15
10
AF
M
,
DM GM
G
BF
//
GM AB
//
AB DE
//
GM DE
1
2
GM
AB
1
2
DE
AB
GM
DE
DEGM
//
DM EG
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又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）因为
，
，
，所以
.
因为
平面
，且直线
与圆柱底面所成角为
，
所以
，则有
.
如图，以
为原点，
分别为
轴，过
垂直于底面的直线
为轴，建立空间
直角坐标系
，
则有
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，有
，得
，
，
设点
到平面
的距离为
，
.
故点
到平面
的距离
.
DM
DAF
EG
DAF
//
EG
DAF
1
OB
3
AF
90
AFB
2
2
4
3
1
BF
AB
AF
DA
ABF
DF
45
45
AFD
3
AD
F
,
FB FA
,x y
F
FN
z
F
xyz
1
0,0,0 ,
0, 3,0 ,
1,0,0 ,
,0,0 ,
0, 3, 3 ,
1,0, 3
2
F
A
B
G
D
C
1
3
,
, 3
2
2
E
1
3
0, 3, 3 ,
,
, 3
2
2
FD
FE
DEF
, ,
n
x y z
3
3
0
1
3
3
0
2
2
FD n
y
z
FE n
x
y
z
1
y
3,
1
x
z
3,1, 1
n
3
0,
,
3
2
EG
G
DEF
d
3
3
15
2
10
5
EG n
d
n
G
DEF
15
10
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5．如图，在三棱柱
中，
在底面ABC 上的射影为线段BC 的中点，M 为线段
的中点，且
，
.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求MC 与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取BC 的中点O，连接OA，
，
因为
在底面ABC 上的射影为O，
所以
面ABC，
在三棱柱
中，面
面
，
所以
面
因为
面
，
所以
，
在
中，M 为线段
的中点，
，
因为
，
所以
，
因为
面
，
面
，
，
所以
面
，
中，
，
，所以
，
，
1
1
1
ABC
A B C
-
1A
1
1
B C
1
2
2
4
AA
AB
AC
90
BAC
1
M
A BC
1
MA B
2 14
3
14
6
1
OA
1A
1
OA
1
1
1
ABC
A B C
-
//
ABC
1
1
1
A B C
1
OA
1
1
1.
A B C
1
MA
1
1
1
A B C
1
1
OA
MA
1
1
1
A B C
△
1
1
B C
1
1
1
B C
MA
1
1
//
BC
B C
1
BC
MA
1
OA
1A BC
BC
1A BC
1
OA
BC
O
1
MA
1A BC
ABC
2
AB
AC
90
BAC
2 2
BC
2
OA
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所以
；
（2）设C 到平面
的距离为d，则
在
中，
，
，
所以
，
所以
，
设MC 与平面
所成角为
，则
，
所以MC 与平面
所成角的正弦值为
.
6．如图，已知三棱锥
平面
，点
是点
在平面
内的射影，点
在棱
上，且满足
.
(1)求证：
；
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
3
2
M
A BC
A BC
V
S
MA
BC OA MA
BC
AA
OA
MA
1
1
2 14
2 2
16
2
2
3
2
3
1
MA B
1
Rt MA B
1
2
MA
2
2
1
1
1
14
2
4
AC
A B
OA
OB
1
1
1
1
1
2
4
2 2
2
2
MA B
S
MA
A B
1
1
3
7
M
A BC
MA B
V
d
S
1
MA B
2
2
1
1
7
14
sin
6
2
16
d
d
MC
MA
AC
1
MA B
14
6
,
P
ABC PB
,
,
PAC PA
PC PA
PB
PC
O
P
ABC
Q
PA
3
AQ
PQ
BC
OQ
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(2)求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）连结
，
平面
平面
，
又
两两垂直，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为轴建
立空间直角坐标系
，如下图所示：
不妨设
，可得
，
.
，所以
是正三角形，
点
为正三角形
的中心，所以
，
,所以
.
，又
，
.
（2）
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
OQ
BCQ
2 66
33
PO
PB
,
,
PAC PA PC
,
PAC
PB
PA PB
PC
PA
PC
PA PB PC
､
､
P
PA
x
PC
y
PB
z
P
xyz
4
PA
0,0,0 ,
4,0,0 ,
0,4,0 ,
0,0,4 ,
1,0,0
P
A
C
B
Q
4,0,4 ,
4,4,0
AB
AC
C
4 2
AB
BC
CA
ABC
O
ABC
2
1
1
8 4 4
8,4,4
,
,
3
2
3
3 3 3
AO
AB
AC
8 4 4
4 4 4
4,0,0
,
,
,
,
3 3 3
3 3 3
PO
PA
AO
4 4 4
,
,
3 3 3
O
1 4 4
,
,
3 3 3
QO
0, 4,4
BC
0
QO BC
BC
OQ
0,4, 4 ,
1,4,0
BC
QC
1 4 4
,
,
3 3 3
QO
2
2
2
1
4
4
33
3
3
3
3
QO
BCQ
, ,
n
x y z
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由
，得：
，
则
，
设
与平面
所成角为
，
则
.
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
7．如图，在三棱台
中，
平面
，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求
与平面
所成角正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由
，得
，
由
平面
，
平面
，则
，
又
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
（2）将棱台补全为如下棱锥
，
0
0
n BC
n QC
4
4
0
4
0
y
z
x
y
2
2
2
1
4
4
4,
1,
1,
4,1,1 ,
4
1
1
3 2,
4
1
1
4
3
3
3
x
y
z
n
n
n QO
OQ
BCQ
4
4
2 66
sin
cos
,
33
33
66
3 2
3
QO n
QO n
QO n
OQ
BCQ
2 66
33
1
1
1
ABC
A B C
-
1
AA
ABC
90
ABC
1
1
1
1
1
1
AA
A B
B C
2
AB
1
1
ABB A
1
1
BCC B
AC
1
1
BCC B
1
sin
2
90
ABC
AB
BC
1
AA
ABC
BC
ABC
1
AA
BC
1
1
,
,
AA
AB
A AA AB
1
1
ABB A
BC
1
1
ABB A
BC
1
1
ABC B
1
1
ABB A
1
1
BCC B
D
ABC
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由
，
，
，易知
，
，
由
平面
，
平面
，则
，
，
，
所以
，
.
可得
，
设
到平面
的距离为h，又
，
则
，可得
，
设
与平面
所成角为
，
，则
.
8．如图，在多面体
中，四边形
为平行四边形，且
平面
，且
.点
分别为线
段
上的动点，满足
.
(1)证明：直线
平面
；
(2)是否存在
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析
90
ABC
1
1
1
1
1
1
AA
A B
B C
2
AB
2
DA
AB
BC
2 2
AC
1
AA
ABC
,
,
AB AC BC
ABC
1
AA
AB
1
AA
AC
1
AA
BC
2 2
BD
2 3
CD
1
2 2 2
2 2
2
BCD
S
△
A
1
1
BCC B
D ABC
A BCD
V
V
1
1
1
2
2 2
2 2
3
2
3 h
2
h
AC
1
1
BCC B
π
0, 2
1
sin
2
h
AC
ABCDEF
ABCD
1
1,
.
2
BD
CD
BD
CD DE
ABCD
1
3,
2
DE
BF
DE
BF
,
H G
,
DC EF
(0
2)
DH
EG
GH
BCF
GH
AEF
42
14
60
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【详解】（1）如图，以
为原点，分别以
方向为
轴建立坐标系.
.
.
设平面
的法向量为
，
则由
，取
得
.
因为
，所以
解得
.
所以
，且
平面
，所以
平面
（2）设平面
的法向量为
则由
，解得
.
所以
，
解得
.
D
,
,
DC DB DE
, ,
x y z
2,0,0 ,
0,1,0 ,
2,1,0 ,
0,0, 3 ,
0,1,2 3
C
B
A
E
F
2, 1,0 ,
0,0,2 3 ,
2, 1, 3 ,
0,1, 3
BC
BF
AE
EF
BCF
1
1
1
1
,
,
n
x y z
1
1
1
1
1
2
0
0,
0,
2 3
0
x
y
BC n
BF n
z
1
1
x
1
1,2,0
n
2,
DC
EF
EG
DH
,
2
2
DH
DC EG
EF
3
3
,0,0 ,
0,
, 3
,
,
,
3
2
2
2
2
H
G
GH
1
0
n GH
GH
BCF
GH
BCF
AEF
2
2
2
2
,
,
n
x
y
z
2
2
2
2
2
2
2
2
3
0
0,
0,
3
0
x
y
z
AE n
EF n
y
z
2
3, 3, 1
n
2
2
3
3
42
sin
cos
,
14
7
2
3
3
n GH
1
61
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面面夹角问题（两大法）
结论：二面角的平面角
提示：
是二面角的夹角，具体
取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则
取正，若为钝角则取负.
结论：任意二面角的平面角
满足
如（
）
注意：
为原图上的点，而分子_则是
点在面
的投影点
在如图所示的几何体中，四边形
是等腰梯形，
∥
，
平面
.
求二面角
的余弦值.
解：
第一步：分析目标
令二面角
的平面角大小为
由二面角的平面角结论可得
第二步：求算目标中的两个面积
由题意得：令
62
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故
第三步：代入求目标
如图，在三棱柱
-中，
，
，
，
在底面
的射影为
的中点，
为
的中点.
求二面角
-BD-
的平面角的余弦值.
解：第一步：分析目标
令二面角
的平面角大小为
由二面角的平面角结论可得
第二步：求算目标中的两个面积
由题意得：故
第三步：代入求目标
目测此二面角为钝角，故二面角
的平面角的余弦值为
63
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四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E
为AD 的中点.
求二面角A-PD-C 的正弦值.
解：第一步：分析目标
令二面角
的平面角大小为
由二面角的平面角结论可得
第二步：求算目标中的两个面积
由题意得：故
第三步：代入求目标
故二面角A-PD-C 的正弦值为
1．如图，三棱台
中，
是边长为2 的等边三角形，四边形
是等腰
梯形，且
为
的中点.
64
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(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）如图，取
中点
，连接
，
因为
是等边三角形，点
是
的中点，
所以
，
又四边形
是等腰梯形，且
为
的中点，
所以
，
又
,
平面
,
所以
平面
，又
平面
，
所以
.
（2）以
为原点，建立的空间直角坐标系
，如图所示
由（1）得
即为二面角
的平面角，设
，
1A
AC
B
BOD
65
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作
于
，由
可得
，
，故
，
作
于
，同理可得
，所以
，
从而
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，则
，
所以
，
从而
，
即
，化简得：
，
解得：
或
（舍）
1A E
AC
E
1
1
1
1
AC
AA
1
1
1
1
2
2
AE
AC
AC
2
2
1
1
3
2
A E
AA
AE
1
3
2
OD
A E
1
C F
AC
F
1
2
CF
1
2
OF
1
1
3
3
0, 3,0 ,
1,0,0 ,
1,0,0 ,
,0,0 ,
,0,0 ,
0,
cos ,
sin
2
2
2
2
B
C
A
E
F
D
1, 3,0
CB
1
1
1
3
3
1
3
3
,0,0
0,
cos ,
sin
,
cos ,
sin
2
2
2
2
2
2
AA
AE
EA
AE
OD
1
1
1
3
3
1
3
3
,0,0
0,
cos ,
sin
,
cos ,
sin
2
2
2
2
2
2
CC
CF
FC
CF
OD
1
1
BB C C
, ,
m
x y z
1
0
0
m CB
m CC
3
0
1
3
3
cos
sin
0
2
2
2
x
y
x
y
z
3sin
x
sin ,
cos
1
y
z
3sin , sin ,cos
1
m
1
1
2
2
2
1
3
3
3
3
sin
sin cos
sin cos
sin
2
2
2
2
cos ,
3sin
sin
1 2cos
cos
m AA
m AA
m
AA
2
3sin
3sin
2cos
2
2
3sin
3
13
3sin
2cos
2
2
2cos
3cos
1
0
1
cos
2
cos
1
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又
，所以
，
所以二面角
的大小为
.
2．如图，在三棱锥
中，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
是线段
上的点，且
，求二面角
的正切值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：在
中，
，
所以
，
过点
作
于点
，连接
，
则
，
因为
，
所以
≌
，得
，
又
所以
，得
，
又
，
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，
所以平面
平面
.
0
π
π
3
1A
AC
B
π
3
D
ABC
3 2,
7,
5
AB
AD
BD
AC
BC
CD
ACD
ABC
E
CD
4
CD
CE
E
AB
C
2
8
ACD
2
2
2
2
2
2
7
(3 2)
5
2
cos
2
2
2 7 3 2
AC
AD
CD
CAD
AC AD
45
CAD
D
DO
AC
O
BO
sin
3 2 sin 45
3
DO
AD
CAD
AB
AD
CD
CB
，
ABC
ADC
3
OD
OB
3 2
BD
，
2
2
2
OB
OD
BD
OD
OB
OD
AC
OD
OB
OB
AC
O
AC
ABC
OB
ABC
OD
ABC
OD
ACD
OD
ABC
ACD
ABC
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（2）由（1）知，
两两垂直，如图以O 为原点建立坐标系
，
，
因为
，得
，
设
是平面
的一个法向量，
则
，得
，
而
是平面ABC 的一个法向量，
两个法向量
夹角的余弦值为：
设二面角
平面角的大小为
，
结合图形得：
，
，
，
所以二面角
的正切值为
.
3．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
平
面
为侧棱
的中点.
,
,
OA OB OD
O
xyz
(3,0,0)
(0,3,0)
(0,0,3)
( 4,0,0)
A
B
D
C
，
，
，
4
CD
CE
3
( 3,0, )
4
E
( , , )
n
x y z
ABE
3
3
0
0
3
6
0
0
4
x
y
n AB
x
z
n AE
1
1
8
x
y
z
令
，则
，
(1,1,8)
n
(0,0,1)
m
,
m n
4 66
33
|
| |
|
m n
m
n
E
AB
C
4 66
cos
33
2
4 66
33
sin
1 (
)
33
33
33
sin
2
33
tan
cos
8
4 66
33
E
AB
C
2
8
P
ABCD
ABCD
90 ,
ABC
BCD
PA
,
4,
3,
ABCD PA
AB
BC
CD
M
PC
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(1)求点
到平面
的距离；
(2)求二面角
的正切值.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）由
平面
，可得
，
令点
到平面
的距离为
，则
，
由
，可得
，
则
，
由
，可得
，
由
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
又
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，又
，则
，
所以
，即点
到平面
的距离为
（2）设
为
的中点，过
作
交
于
，连接
、
，
是
的中点，
，又
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
，
D
PBC
M
AD
B
3 2
2
17
3
PA
ABCD
1
3
BCD
P BCD
V
S
PA
三棱锥
D
PBC
d
1
3
PBC
D PBC
V
S
d
三棱锥
D PBC
P BCD
V
V
三棱锥
三棱锥
1
1
3
3
PBC
BCD
S
d
S
PA
BCD
PBC
S
PA
d
S
90 ,
4,
3
ABC
BC
CD
1
6
2
BCD
S
BC CD
PA
ABCD
PA
PAB
PAB
ABCD
90
ABC
PAB
ABCD
AB
BC
ABCD
BC
PAB
PB
PAB
BC
PB
2
2
4
4
4 2
PB
1
8 2
2
PBC
S
PB BC
6 4
3 2
2
8 2
d
D
PBC
3 2
2
O
AC
O
OH
AD
AD
H
OM
HM
M
PC
//
OM PA
PA
ABCD
OM
ABCD
AD
ABCD
OM
AD
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又
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
为二面角
的一个平面角，
又
，
且
，所以
，
所以
，
即二面角
的正切值为
.
4．如图，在正四面体
中，
是棱
的两个三等分点．
(1)证明：
；
(2)求出二面角
的平面角中最大角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取
的中点为
，连接
．
四面体
为正四面体，
OH
OM
O
,
OH OM
MOH
AD
MOH
HM
MOH
AD
MH
MHO
M
AD
B
1
1
1
1
3
2
2
2
2
AOD
ADC
S
AD OH
S
CD BC
2
2
4
4
3
17
AD
6
17
OH
17
tan
3
OM
MHO
OH
M
AD
B
17
3
P
ABC
,
E F
PC
AB
PC
,
,
P
AB
E E
AB
F F
AB
C
17
19
AB
T
,
PT CT
P
ABC
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为正三角形．又
为
的中点，
．同理可得
．
平面
，
平面
．
又
平面
．
（2）
取
的中点为
，连接
，设
．
由（1）得
平面
．
平面
．
为二面角
的平面角，
为二面角
的平面角，
为二面角
的平面角．由图形对称性可判断
．
易得
．在
中，
．
在
中，
．同理可得
．
．
．
二面角
的平面角最大，其余弦值等于
．
5．如图，已知
平面
与底面
所成角为
，且
．
ABP
T
AB
PT
AB
CT
AB
,
,
PT
CT
T PT CT
PTC
AB
PTC
PC
,
PTC
AB
PC
PC
Q
,
,
ET FT QT
6
PA
a
AB
PTC
,
ET FT
,
,
PTC
AB
ET AB
FT
PTE
P
AB
E
ETF
E
AB
F
FTC
F
AB
C
PTE
FTC
3 3 ,
PT
CT
a
TQ
PC
TPQ
2
2
3 2
TQ
PT
PQ
a
ETQ
2
2
19
ET
EQ
TQ
a
19
FT
a
2
2
2
2
2
2
7 57
17
cos
,cos
2
57
2
19
PT
ET
PE
ET
FT
EF
PTE
ETF
PT ET
ET FT
cos
cos
,
PTE
ETF
PTE
ETF
E
AB
F
17
19
PD
,
2
2
2,
//
,
,
ABCD CD
AB
AD
AB CD AD
CD PC
ABCD
6
tan
2
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(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
又由已知得，
，
则
，即
，
又
平面
，
所以
平面
；
（2）因为
平面
，
平面
，所以
，
所以
为二面角
的平面角，
因为
平面
与底面
所成角为
，
所以
为
与底面
所成角，由
，得
，
在
中，
，则
，
所以二面角
的大小为
．
6．如图，在四棱锥
中，四边形
为梯形，其中
，
，平面
平面
．
CB
PBD
P
BC
D
60
PD
ABCD
CB
ABCD
PD
CB
2
2
,
2,
1
2 1
2,
2
AB
AD BD
BC
CD
2
2
2
BD
BC
CD
CB
BD
,
,
PD
BD
D PD BD
PBD
CB
PBD
CB
PBD
PB
PBD
CB
PB
PBD
P
BC
D
PD
,
ABCD PC
ABCD
PCD
PC
ABCD
6
tan
2
6
PD
Rt PDB
6
tan
3
2
PD
PBD
BD
60
PBD
P
BC
D
60
P
ABCD
ABCD
AB
CD
60
BCD
2
2
4
AB
BC
CD
PBD
ABCD
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(1)证明：
；
(2)若
，且
与平面
所成角的正切值为2，求平面
与平面
所成二
面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为
，所以
为等边三角形，
所以
，
又四边形
为梯形，
，则
，
在
中，由余弦定理可知，
，
根据勾股定理可知，
，即
．
因为平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
所以
．
（2）法一：由（1）可知
，
又因为
，所以
平面
，
所以
就是
与平面
所成角，所以
，
所以
；
以
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，
AD
PD
AB
PD
PC
ABCD
PBC
PAD
133
19
60 ,
2
BCD
BC
CD
BCD
△
2
4
AB
BD
ABCD
AB
DC
60
ABD
ABD
△
2
2
2
2
2
1
2
cos
4
2
2 4 2
12
2
AD
AB
BD
AB BD
ABD
2
2
2
AD
BD
AB
AD
BD
PBD
ABCD
PBD
,
ABCD
BD AD
ABCD
AD
PBD
PD
PBD，
AD
PD
AD
PD
,
AB
PD AD
AB
A
PD
ABCD
PCD
PC
ABCD
tan
2
DP
PCD
DC
4
PD
,
,
DA DB DP
D
xyz
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则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则有
取
，
由题意得
为平面
的法向量，
所以
，
即平面
与平面
所成二面角的正弦值
．
法二：在平面
内，延长
与
相交于点
，
连接
，则
为平面
与平面
的交线，
在平面
内，过点
作
，垂足为
，连接
，
由（1）得，
，
因为
且均在面
内，
0,2,0 ,
3,1,0 ,
0,0,4
B
C
P
0, 2,4 ,
3, 1,0
BP
BC
PBC
1
, ,
n
x y z
2
4
0,
3
0,
y
z
x
y
1
2 3,6,3
n
2
0,1,0
n
PAD
1
2
1
2
1
2
6
2 57
cos ,
19
57
n n
n n
n n
PBC
PAD
133
19
ABCD
BC
AD
M
PM
PM
PBC
PAD
PDM
D
DN
PM
N
BN
AD
PD
,
,
AD
PD AB
PD AD
AB
A
ABCD
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所以
面
，
因为
面
，所以
，
又因为
且均在面
内,
所以
面
，即
面
,
因为
面
，所以
,
因为
且均在面
内,
所以
面
，由
面
所以
,
所以
,
在直角三角形
中
,
在直角三角形
中
，
所以平面
与平面
所成二面角的正弦值
．
所以
就是二面角
的平面角，
又因为
平面
，
所以
就是
与平面
所成角，
所以
，所以
，
因为
，所以
．
7．如图，在三棱柱
中，
平面
是
线段
上的一个动点，
分别是线段
的中点，记平面
与平面
的交线
为.
PD
ABCD
BD
ABCD
PD
BD
,
,
AD
BD PD
BD AD
PD
D
PAD
BD
PAD
BD
PDM
PM
PDM
BD
PM
,
,
PM
BD DN
PM ND
BD
D
BDN
PM
BDN
BN
BDN，
BN
PM
2 3
AD
DM
PND
2
2
4 21
7
PD DM
PD DM
DN
PM
PD
DM
BND
21
tan
6
BND
PBC
PAD
133
19
BND
B
PM
D
PD
ABCD
PCD
PC
ABCD
tan
2
DP
PCD
DC
4
PD
DC
AB
∥
1
2
DM
DC
AM
AB
1
1
1
ABC
A B C
-
1
AA
1
,
,
2,
4,
ABC AB
AC AB
AC
AA
D
1
BB
,
E F
,
BC AC
DEF
1
1
1
A B C
l
75
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(1)求证：
；
(2)当二面角
的大小为
时，求
.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【详解】（1）因为
分别是线段
的中点，所以
.
在三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
所以
，则
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
（2）解法一：在直三棱柱
中，
平面
，
所以
，
又
，所以
两两垂直.
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系.
EF / / l
D
EF
C
120
BD
3
BD
,
E F
,
BC AC
EF / / AB
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
AA B B
1
1
A B / / AB
EF / /
1
1
A B
EF
1
1
1
1
1
,
A B C A B
1
1
1
A B C
EF / /
1
1
1
A B C
EF
DEF
DEF
1
1
1
A B C
l
EF / / l
1
1
1
ABC
A B C
-
1
AA
ABC
1
1
,
AA
AB AA
AC
AC
AB
1
,
,
AB AC AA
A
1
,
,
AB AC AA
, ,
x y z
76
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设
，则
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
,
令
，得
.
易知平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
或
（舍去）.
综上，当二面角
的大小为
时，
.
解法二：作
，交
于点
，连接
.
因为
，所以
，
所以
四点共面，
所以平面
平面
.
因为
，
所以
平面
，
,0
4
BD
t
t
(0,0,0),
(2,0,0),
(0,2,0),
(2,0, ),
(1,1,0),
(0,1,0)
A
B
C
D
t
E
F
1,0,0 ,
2,1,
EF
DF
t
DEF
, ,
n
x y z
0
2
0
n EF
x
n DF
x
y
tz
1
z
0, ,1
n
t
CEF
1
0,0,4
AA
1
2
1
4
1
cos120
2
1 4
n AA
n
AA
t
3
t
t
3
D
EF
C
120
3
BD
DG / / AB
1
AA
G
GF
AB / / EF
DG / / EF
,
,
,
D G F E
DEF
1
1
ACC A
GF
1
1
,
,
AB
AC AB
AA AA
AC
A
AB
1
1
ACC A
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所以
平面
，
所以
，
所以
为二面角
的平面角.
若
，则在
中，
，
又
，所以
，
又
，所以
.
8．如图，在梯形
中，
，
，
.将
沿对角
线
折到
的位置，点P 在平面
内的射影H 恰好落在直线
上.
(1)求二面角
的正切值；
(2)点F 为棱
上一点，满足
，在棱
上是否存在一点Q，使得直线
与平面
所成的角为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）如图，过点
作
于点
，连接
，
，
平面
，
平面
，
，
EF
1
1
ACC A
,
EF
FC EF
FG
GFC
D
EF
C
120
GFC
Rt
AGF
△
60
GFA
1
AF
3
AG
BD
AG
3
BD
ABCD
//
AB CD
2
2
3
AB
BC
CD
π
3
ABC
ADC
△
AC
APC
△
ABC
AB
P
AC
B
PC
2
PF
FC
BC
FQ
ABF
π
3
BQ
QC
2 2
3
BQ
QC
H
HM
AC
M
PM
DM
PH
Q
ABCD
AC
ABCD
PH
AC
78
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又
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
.
为二面角
的平面角.
∵
，
，∴
为等边三角形，
，
又
中，
，
，
，
.
又
，
，
，H 为线段
的中点.
，
，
中，
，
，
所以二面角
的正切值为
.
（2）连接
，
为等边三角形，H 为线段
的中点，
，
又
平面
，则
，
，
两两垂直，
以H 为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
HM
AC
,
,
HM
PH
H HM PH
PMH
AC
PMH
PM
PMH
AC
PM
AC
DM
PMH
P
AC
B
AB
AC
60
ABC
ABC
2
AC
Rt DMC
60
DCM
3
CD
3
2
CM
1
2
AM
//
AH CD
1
3
AH
AM
CD
MC
1
AH
AB
3 3
2
PM
DM
1
3
3
2
MH
DM
Rt PMH
6
PH
tan
2 2
PH
PMH
MH
—
P
AC
B
2 2
CH
ABC
AB
CH
AB
PH
ABCD
HC
HB
HP
HC
HB
HP
0, 1,0
A
0,1,0
B
3,0,0
C
0,0, 6
P
1
3
6
,0,
3
3
3
CF
CP
2 3
6
, 1,
3
3
BF
CF
CB
0,2,0
AB
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设平面
的法向量为
，
，
令
，可得
.
假设棱
上存在满足要求的点Q，设
，
，
.
，
因为直线
与平面
所成的角为
，
，
整理得：
，解得
或
（舍去）.
所以
，则
.
所以当
时，
与平面
所成的角为
.
ABF
, ,
n
x y z
0
0
n AB
n BF
2
0
2 3
6
0
3
3
y
x
y
z
1
x
1,0,
2
n
BC
BQ
BC
0,1
3, 1,0
BC
3 ,
,0
BQ
2 3
6
3
,1
,
3
3
FQ
BQ
BF
FQ
ABF
π
3
2
2
2
π
3
3
sin 3
2
2 3
6
3
1
3
3
3
FQ n
FQ n
2
8
18
9
0
3
4
3
2
3
4
BQ
BC
3
BQ
QC
3
BQ
QC
FQ
ABF
π
3
80
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