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专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
（含定值、最值、范围问题）
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
=√
1+ 1
k2 √( y1+ y2)2−4 y1 y2
2、三角形面积问题
直线
方程：
3、焦点三角形的面积
直线
过焦点
的面积为
注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
F2
F1
O
y
x
B
A
C
D
H
O
y
x
B
A
1
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4、平行四边形的面积
直线
为
，直线
为
注意：
为直线与椭圆联立后消去
后的一元二次方程的系数.
5、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）
（注意分
三种情况讨论）
（2）
当且仅当
时，等号成立
（3）
当且仅当
时等号成立.
（4）
当且仅当
时，等号成立
(5)
2
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当且仅当
时等号成立.
二、典型题型
题型一：三角形面积（定值问题）
1．（2024 上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆
和圆
，已知椭圆
C 的离心率为
，直线
与圆O 相切．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的上顶点为B，EF 是圆O 的一条直径，EF 不与坐标轴重合，直线BE、BF 与椭圆C 的另一个交
点分别为P、Q，求
的面积的最大值．
2．（2024 上·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆
离心率等于
，长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程
；
(2)若直线
与轨迹
交于
两点，
为坐标原点，直线
的斜率之积等于
，试探究
的面积是否为定值，并说明理由.
3
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3．（2024 上·四川宜宾·高二统考期末）已知点
在抛物线
上，斜率为
的直线与
交于
两点，记直线
的斜率分别为
(1)证明：
为定值:
(2)若
，求
的面积．
题型二：四边形面积（定值问题）
1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆
上，过点
的两条直线
，
分别与椭圆
交于另一点A，B，且直线
，
，
的斜率满足
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明直线
过定点；
(3)椭圆C 的焦点分别为
，
，求凸四边形
面积的取值范围．
2．（2024 上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆
的右焦点为
，短轴长为2.
过点
且不平行于坐标轴的直线与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：直线
的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段
与椭圆
交于点
，若四边形
为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形
的
面积.
4
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3．（2023 上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆
的左、
右焦点为
，
，若
上任意一点到两焦点的距离之和为
，且点
在
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)在（1）的条件下，若点
，
在
上，且
(
为坐标原点)，分别延长
，
交
于
，
两点，则四边形
的面积是否为定值？若为定值，求四边形
的面积，若不为定值，请说明理
由.
题型三：三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024 上·江西吉安·高二江西省峡江中学校考期末）已知抛物线C：
的焦点F 在x 轴正半轴上，
过F 的直线l 交C 于A，B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于D，E 两点，其中B，D 在x 轴上方，M，N 分
别为
，
的中点．已知当l 的斜率为2 时，
．
(1)求抛物线C 的解析式；
(2)试判断直线
是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值．
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2．（2024 上·江西新余·高二统考期末）如图，椭圆
和圆
，已知椭圆
C 的离心率为
，直线
与圆O 相切．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的上顶点为B，EF 是圆O 的一条直径，EF 不与坐标轴重合，直线BE、BF 与椭圆C 的另一个交
点分别为P、Q，求
的面积的最大值．
3．（2024 上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知
，圆
，
是
圆
上任意一点，线段
的垂直平分线和半径
相交于点
，当
点在圆
上运动时，点
的轨迹
是曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过
作一条不平行于坐标轴的直线交曲线
于
两点，过
点作
轴的垂线交
于点
，求
面积的最大值．
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4．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知椭圆
的两焦点
，且椭圆
过
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的左右顶点分别为
､
，直线交椭圆
于
两点（
与
均不重合），记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，且
，设
，
的面积分别为
，求
的
取值范围
题型四：四边形面积（最值，范围问题）
1．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆
上，过点
的两条直线
，
分别与椭圆
交于另一点A，B，且直线
，
，
的斜率满足
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明直线
过定点；
(3)椭圆C 的焦点分别为
，
，求凸四边形
面积的取值范围．
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2．（2024 上·湖南娄底·高三统考期末）已知椭圆
的右焦点为
，离心率
，
椭圆
上一动点
到
的距离的最小值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设斜率为
的直线过
点，交椭圆
于
两点，记线段
的中点为
，直线
交直线
于点
，直线
交椭圆
于
两点，求
的大小，并求四边形
面积的最小值.
3．（2024 上·山西大同·高二统考期末）已知椭圆
经过点
，一个焦点在直线
上．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设经过原点
的两条互相垂直的直线分别与椭圆
相交于
，
两点和
，
两点．求四边形
的
面积的最小值．
4．（2024 上·贵州铜仁·高二统考期末）已知椭圆
的焦点坐标
，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线
与椭圆
交于
，
两点，且
，
关于原点的对称点分别为
，
，若
是
一个与
无关的常数，求此时的常数及四边形
面积的最大值.
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三、专项训练
1．（2024 上·天津河北·高二统考期末）已知椭圆
的右焦点为
，短轴长为2.
过点
且不平行于坐标轴的直线与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：直线
的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段
与椭圆
交于点
，若四边形
为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形
的
面积.
2．（2024 上·辽宁·高三校联考期末）已知椭圆
（
）的离心率为
，左右焦点分别
､
为
，
.过
的直线交椭圆于
，
两点，过
的直线交椭圆于
，
两点，且
，垂足为
，
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形
的面积的最小值.
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3．（2024 上·重庆九龙坡·高二统考期末）已知椭圆
的离心率为
，焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线
与椭圆
相交于
两点，且
．求
的面积．
4．（2024 上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知椭圆
的中心为坐标原点
，焦点在
轴
上，点
均在椭圆
上．
(1)求椭圆
的离心率；
(2)过原点且经过第一、三象限的直线与椭圆交于
两点，点
为椭圆右顶点，点
为椭圆上顶点，求
四边形
面积的最大值．
5．（2024 上·天津宁河·高二统考期末）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线
与椭圆交于A，B 两点，求
的面积.
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6．（2024 上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.条件
①：直线的法向量为
；条件②：与直线
平行；条件③：与直线
垂直.
已知直线经过
且___________.
(1)求直线方程；
(2)若点
是直线上的动点，过点
做
的两条切线，切点分别为
，
两点，
求四边形
的面积的最小值.
7．（2024 上·湖北武汉·高三统考期末）已知抛物线
的焦点为F，M 为抛物线
上
一点，且在第一象限内.过
作抛物线
的两条切线
，
，A，B 是切点；射线
交抛物线
于
.
(1)求直线
的方程（用M 点横坐标
表示）；
(2)求四边形
面积的最小值.
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8．（2024 上·上海·高二上海市吴淞中学校考期末）如图，设
是椭圆
的下焦点，直线
与椭圆相交于
、
两点，与
轴交于
点.
(1)求以
为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；
(2)判断直线
与
斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由；
(3)求
面积的最大值.
9．（2024 上·甘肃兰州·高二校考期末）在平面直角坐标系
中，圆
与圆
内切，
且与圆
外切，记动圆M 的圆心的轨迹记为曲线C．直线
与曲线C
相交于P，Q 两点．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若
是一个与m 无关的定值，求此时k 的值及△OPQ 的面积的最大值．
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10．（2024 上·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）已知椭圆
的左右焦点分别
为
，
，且椭圆过点
，直线
与椭圆
相交于
，
两点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若不过原点且不平行于坐标轴，记线段
的中点为
，求证：直线
的斜率与的斜率的乘积为定
值；
(3)若，求面积的取值范围．
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