重难点培优02 立体几何中的路径最短、截面、轨迹问题
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5
题型一 路径最短问题（★★★）................................................................................................................5
题型二 截面的形状及交线问题（★★★★）............................................................................................6
题型三 截面的周长、面积问题（★★★★）............................................................................................8
题型四 截面切割几何体体积问题（★★★★★）....................................................................................9
题型五 动点保持平行求轨迹（★★★★）..............................................................................................10
题型六 动点保持垂直求轨迹（★★★★）..............................................................................................11
题型七 其他求轨迹题型（★★★）..........................................................................................................12
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................13
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................13
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................18
一、最短路径问题
1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.
2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直
线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.
二、截面问题
1、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
2、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3、作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
4、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F 是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分
点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何
处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
5、正方体中的基本截面类型
三、轨迹问题
1、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的
交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌
握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
2、常用的解决策略
（1）定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
（2）坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
（3）交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
（4）平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平
面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
四、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为θ(0<θ<90
°),圆雉的母线与轴的夹角为
,如图②.
(1)当
时,截口曲线为椭圆;
(2)当
时,截口曲线为抛物线;
(3)当
时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点
.在截口曲线上任取一点
,过点
作圆雉的母线,分别与两球切于点
.由球的性质可知
,于是
为定值,这样截口曲线上的任一点
到两个定点
的距离之和为
常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别
与截面切于点
.在截口曲线上任取一点
,过点
作圆雉的母线,分别与两球切于点
.由球的性质
可知
,于是
为定值,这样截口曲线上的任一
点
到两个定点
的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线
且垂直于轴截面
的平面
去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧
面与截面
相切,球与截面切于点
.设
为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记
.在截口
曲线上任取一点
,作直线与球相切于点
,连结
,有
.在母线
上取点
(
为
与
球的切点),使得
.过点
作
,有点
在上,且
.另一方面,因为平面
与
垂直,那么
平面
,有
,所以
.于是截口曲线是以点
为焦点, 为准线的抛
物线.
题型一 路径最短问题
1．如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE 为该圆柱的轴截面，点B 为半圆弧CD 的中点，则
在此圆柱的侧面上，从A 到B 的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A．
B．
C．3
D．2
2．在正方体
中，
，P、Q 分别为棱
，BC 的中点，则从点P 出发，沿正方体表
面到达点Q 的最短路径的长度为（ ）
A．
B．
C．3
D．
3．如图，圆锥
的底面圆半径为1，侧面积为
，一只蚂蚁要从
点沿圆锥侧面爬到
上的
点，且
，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 .
4．如图，已知圆台的轴截面为梯形
，
，
，梯形
的高为
，圆台的体积为
；在圆台的侧面上，从点
到点
的最短路径长度是 ．
5．已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
.在此棱锥表面上，从点
经过棱
上一点到达点
的路径中，最短路径的长度为
，则该棱锥外接球的表面积为 .
题型二 截面的形状及交线问题
【技巧通法·提分快招】
1、作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点
（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
3、交线问题
（1）利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面的两个公共点，两点连线就
是交线.
（2）利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用性质作出交线.
（3）对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是利用弧长公式计算，只需找
出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆计算，只需找到小圆半径即可.
1．（2025·福建厦门·三模）在正方体
中，
为
的中点，为平面
与平面
的交线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在棱长为6 正方体中，点
为棱
的中点，点
为棱
的中点，点
为棱
上靠近点
的
三等分点，则经过
三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面
的交线长度分别为
（ ）
A．五边形，
B．六边形，
C．五边形，
D．六边形，
3．（2024·广东广州·模拟预测）在正六棱柱
中，
，
为棱
的中点，
以
为球心，
为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
5．（多选题）已知正方体
的棱长为2，若平面
，则下列关于平面
截此正方体所
得截面的判断中正确的是（ ）
A．截面形状可能为正三角形
B．截面形状可能为正方形
C．截面形状可能为正五边形
D．截面面积最大值为
6．已知正四棱柱
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，平面
与平面
的交线为，则异面直线与
所成角的余弦值为 .
题型三 截面的周长、面积问题
1．在棱长为2 的正方体
中，P，Q 是
，
的中点，过点A 作平面
，使得平面
平面
，则平面
截正方体所得截面的面积是（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．在正四棱柱
中，
，
分别是
的中点，则平面
截该四棱
柱所得截面的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知四面体
为正四面体，
分别是
中点，若用一个与直线
垂直，且
与四面体的每一个面都相交的平面
去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知正方体
的棱长是4，P 是棱BC 的中点，过点A、P、
的平面截该正方体得到的
多边形为
，则
的面积是 ．
5．已知正方体
的棱长为2，点P，Q 分别为BC，
的中点，则过点
，P，Q 的平面截
正方体所得的截面的周长为 .
题型四 截面切割几何体体积问题
1．如图，在正方体
中，E，F 分别为棱BC，
的中点，过点A，E，F 作一截面，该截
面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·天津滨海新·月考）如图，三棱柱
中，
是
上靠近
的四等分点，平面
将三棱柱分成体积为
，
两部分，则
（ ）
A．9：7
B．
C．
D．
3．如图，在三棱柱
中，
，
是棱AB 上一点，若平面
把三棱柱
分成
体积比为
的两部分，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2 的正方形，
，
，
，
均与底面ABCD
垂直， 且.
点 E、F 分别为线段BC、
的中点，记该几何体的体积为V，
平面AFE 将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五 动点保持平行求轨迹
【技巧通法·提分快招】
平行有关的轨迹问题的解题策略
1、线面平行转化为面面平行得轨迹;
2、平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
1．如图，棱长为2 的正方体
中，
为棱
中点，
为棱
中点，点
在侧面
上运动（含边界），若
平面
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
2．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱
的底面边长为4，侧棱长为2，点
是棱
的
中点，
为上底面
内（包括边界）的一动点，且满足
平面
，
的轨迹把该正四棱柱
截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知正方体
的棱长为4，
，
分别是棱
，
的点，且满足：
，
，点
为底面
内（包括边界）的一动点，若直线
与平面BEF 无公共点，则点P 的
轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六 动点保持垂直求轨迹
【技巧通法·提分快招】
垂直有关的轨迹问题的解题策略
1、可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2、利用空间坐标运算求轨迹;
3、利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化
也是解决立体几何题目的一般性思路.
1．（24-25 高三上·浙江宁波·期末）已知正四面体
的棱长为2，点
是
的中点，点
在正四面体
表面上运动，并且总保持
，则动点
的轨迹周长为（ ）
A．4
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·安徽·月考）棱长为2 的正四面体
的表面上有动点
，满足
，则点
的轨迹总长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在直三棱柱
中，
是边长为4 的正三角形，
，N 为棱
上的中点，M
为棱
上的动点，过N 作平面
的垂线段，垂足为点O，当点M 从点C 运动到点
时，点O 的轨迹
长度为（ ）
A．
B．
C．
D．π
4．在正方体
中，点Q 为底面
（含边界）上的动点，满足平面
平面
，
则点
的轨迹为（ ）
A．一段圆弧
B．一段抛物线
C．一段椭圆
D．一条线段
题型七 其他求轨迹题型
【技巧通法·提分快招】
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1、距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2、利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1、直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2、直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3、利用空间坐标系计算求轨迹.
③翻折有关的轨迹问题的解题策略
1、翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2、翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3、可以利用空间坐标运算求轨迹
1．（24-25 高三上·江西抚州·月考）已知四面体
的各个面均为全等的等腰三角形，且
.设
为空间内一点，且
，
，
，
，
五点在同一个球面上，若
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·江苏南通·月考）已知正方体
的棱长为
是侧面
上的动点（含
端点），且满足
，则
点的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥
中，
平面
，
且
，
若在
内（包括边界）有一动点
，使得
与平面
所成角的正切值为
，则点
的轨迹长为
（ ）
A．
B．
C．
D．6
4．如图，在棱长为2 的正方体
中，
是正方形
的中心，
是
内（包括边
界）的动点，满足
，则点
的轨迹长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将边长为2 的正方形
沿着对角线
折起，使点
到达点
的位置，得到三棱锥
，点
平面
，且
，若
，则点
的轨迹长度为 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，某圆柱体的高为
，
是该圆柱体的轴截面.已知从点
出发沿
着圆柱体的侧面到点
的路径中，最短路径的长度为
，则该圆柱体的体积是（ ）
A．3
B．
C．
D．
2．已知正方体
，点E 是上底面
上任意一点，过A，C，E 三点作平面截正方体，
则截面形状不可能是（ ）．
A．等边三角形
B．矩形
C．直角梯形
D．等腰梯形
3．在正方体
中，
，
分别是棱
和
上的点，
，
，那么正方
体中过点
，
，
的截面形状为（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
4．（2024·陕西西安·模拟预测）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P 为该圆台某
条母线的中点，若一质点从点P 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路
径长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
5．如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，
为正方形
内一动点，且
平面
，则点
的轨迹的长度为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
6．如图，正方体
的棱长为4，
，
分别为棱
，
的中点，过
，
，
作正方
体的截面，则截面多边形的周长是( )
A．
B．
C．
D．
7．（2025·广东湛江·二模）已知正方体
的棱长为
，以顶点A 为球心，
为半径的球
的球面与正方体的表面的交线总长为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西·二模）已知正方体
的棱长为1，点
在正方体内（包含表面）运动，若
，则动点
的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·福建莆田·模拟预测）在三棱柱
中，
为
的中点，平面
将三棱柱分成体积
为
，
两部分，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，点
为底面
内
（包括边界）的一动点，若直线
与平面
无公共点，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·辽宁本溪·模拟预测）将边长为
的正方形
沿着对角线
折起，使点
到达点
的位置，
得到三棱锥
，点
平面
，且
若
则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，将四边形
中，
沿着
翻折到
，则翻折过程中线段
中点
的轨迹是
（ ）
A．椭圆的一段
B．抛物线的一段
C．双曲线的一段
D．一段圆弧
13．在四棱锥
中，
平面
，点
是矩形
内的动点，
，
，
．
直线
与平面
所成角为
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．2
14．（2025·北京·二模）设正方体
的棱长为2，P 为正方体表面上一点，且点P 到直线
的距离与它到平面ABCD 的距离相等，记动点P 的轨迹为曲线W，则曲线W 的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图所示，在正四棱台
中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为
，点E
为AD 中点，过点E 的平面α 与平面
平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，点
在侧
面
内，且
，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．已知正三棱锥
的底面
的边长为4，直线
与平面
所成角的余弦值为
，动点
在以
为直径的球面上，且直线
平面
，则点
的轨迹长为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，过
，
，
作正方体的截面，则这
个截面的形状是 ，截面的面积是 ．
19．如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
，
，
分别是
，
的中点，沿棱柱表面，从
到
的最短路径长为
20．如图，在四面体
中，
，
，
，
.点
，
分别在
侧面
和棱
上运动，
为线段
中点，当
运动时，点
的轨迹把三棱锥
分
成上、下两部分的体积之比等于 .
21．正方体
的棱长是
，其中
是
中点，
是
中点，则过点
的截面面积是
．
22．在长方体
中，
，
．E 是底面ABCD 的中心，F 是棱AD 上一点，
且
，则长方体中经过点
，E，F 的截面面积的最小值为 ．
23．已知正四棱锥
的底面边长为1，侧棱长为
，
的中点为E，过点E 作与
垂直的平面
，则平面
截正四棱锥
所得的截面面积为 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．若三棱锥
的侧面
内一动点
到底面
的距离与到棱
的距离相等，则动点
的轨迹
与
组成的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川·一模）设正方体
的棱长为1，与直线
垂直的平面
截该正方体所得的
截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M 必为三角形
B．M 可以是四边形
C．M 的周长没有最大值
D．M 的面积存在最大值
3．棱长为2 的正方体
中，点M，N 分别是棱
，
的中点，过点B 作与直线MN 平
行的平面
（与底面
不重合），设平面
与正方体表面相交的多边形的周长为，则的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）如图，已知棱长为2 的正方体
，点
是棱
的中点，过点
作正方体
的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
5．（多选题）如图，正六棱柱
的各棱长均为1，下列选项正确的有（ ）
A．过A，
，
三点的平面
截该六棱柱的截面面积为
B．过A，
，
三点的平面
将该六棱柱分割成体积相等的两部分
C．以A 为球心，1 为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
D．以A 为球心，2 为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，
是正四面体
棱
上的两个三等分点，分别过
作同
时平行于
的平面，将正四面体分成上中下三部分，其体积分别记为
，则
．
7．如图所示，在平行四边形
中，
为
中点，
，
，
.沿着
将
折
起，使
到达点
的位置，且平面
平面
.若点
为
内的动点，且满足
，
则点
的轨迹的长度为 .
