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2025 学年第一学期初一年级数学第二次阶段练习卷
（考试时间90 分钟，满分100 分）
一、选择题（每题2 分，共8 分）
1. 中式纹样是一种独特的艺术形式，不仅代表着中国传统文化中的吉祥和美好，还展现了古人对自然和生
活的深刻理解，下面纹样的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转
，
如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图
形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列等式中，成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A．
，故此选项错误，不符合题意；
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B．
，故此选项正确，符合题意；
C．
，故此选项错误，不符合题意；
D．
，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
3. 设
，
，
满足
，
，则
的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 8
D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了分式的加减法，利用已知条件
和
，将表达式的分子用平
方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和．
【详解】解：
∵
，
，
∴
，
同理，
，
，
又
∵
，
∴
（注：由条件知
，同理其他分母也不为零），
同理，
，
，
∴原式
．
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故选：C．
4. 如图，
是
与关于某点中心对称得到的，
还可以看做
经过怎样的变换得
到？下列结论：①一次平移；②一次平移和一次旋转；③一次平移和一次轴对称；④两次轴对称．其中所
有正确结论的序号是（ ）
A. ②
B. ①②
C. ②③
D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用平移，旋转，
翻折的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：先将
平移，使
和
重合，然后所得的三角形绕点
旋转，即可得到
，即
还可以看做
经过一次平移和一次旋转得到，即②正确，符合题意；
先将
沿着的
垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着
的垂直平分线翻折，即可得到
，即
还可以看做
经过两次轴对称得到，即④正确，符合题意；
而一次平移，一次平移和一次轴对称不能将
变换得到
，即①③错误，不符合题意；
故选：D．
二、填空题（每题2 分，共28 分）
5. 分式
的最简公分母是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义．
先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可．
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【详解】解：
∴最简公分母为
，
故答案为：
．
6. 已知当
时，分式
无意义；当
时，此分式的值为0，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据当
时，分式
无意义，得
；当
时，此分式的值为0，得到
，代入解答即可．
【详解】解：根据当
时，分式
无意义，得
，解得
；
当
时，此分式的值为0，得到
，解得
，
故
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是
解题的关键．
7. 分式
的值是
，且
，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的整体运算，利用提公因式法进行化简是解题的关键．
首先将分式化简，分子和分母同时提取公因式，得到简化后的表达式
，已知该分式值为
且
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，代入求解即可得到
的值．
【详解】∵
，
∴
，
把
，代入
得：
，即
，
∴
，
故答案为：
．
8. 小马虎在计算
时把整式
抄错了，得到的化简结果是
，他在核对时发现所抄写的
比原来大
，则正确的化简结果应该是______．
【答案】
##
【解析】
【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行
计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M 为
，再根据抄写的M 比原来大
，得
正确的M 为
，最后代入原式计算正确结果．
【详解】解：抄错时，有
，
则
，
所以
．
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由于抄写的M 比原来大
，
故正确的M 为
．代入原式，
正确结果为
．
故答案为：
．
9. 如图，将
向左平移得到
，连接
，如果
的周长是
，四边形
的周长
是
，那么平移的距离是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键．
根据平移的性质结合已知条件求解即可．
【详解】解：∵将
向左平移得到
，
∴
，
，
则
，
∵
的周长是
，
∴
的周长是
，
即
cm，
∵四边形
的周长
，
∴
，
即平移的距离是
；
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故答案为：
．
10. 东东放假去外地看爷爷，他买的是11 点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他
从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来
时的正确时间是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称．
根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解．
【详解】解：∵平面镜中电子钟示数为“
”，
与
左右对称，
∴东东醒来时的正确时间是“
”，
故答案为：
．
11. 已知
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键．
通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C 的值，然后代入计算表达式．
【详解】
,
,解得
，
．
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故答案为：
．
12. 若
，则
______．
【答案】
或
【解析】
【分析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为
，并利用等式性质，分
和
两种情况讨论即可．
【详解】解：设
，则
（1）
（2）
（3）
将（1）、（2）、（3） 相加得：
，
左边合并同类项：
，
右边：
，
所以
，
若
，则
，
若
，则从（1）式得
，代入
，
同理其他分式也等于
，故
，
因此，比值为
或
，
故答案为：
或
．
13. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝50°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC（点D、E 分别与点A、B 对
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应），如果∠ACD 与∠ACE 的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 _____．
【答案】
或
【解析】
【分析】分两种情况：当旋转角小于50°时和当旋转角大于50°时，分别画出图形，由∠ACD 与∠ACE 的度
数之比为3：2，求出∠ACE，即可得到旋转角度数．
【详解】解：当旋转角小于50°时，如图：
∵∠ACB＝50°，△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC，
∴∠DCE＝50°，
∵∠ACD 与∠ACE 的度数之比为3：2，
∴∠ACE＝
×50°＝20°，
∴旋转角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°，
当旋转角大于50°时，如图：
∵∠ACD 与∠ACE 的度数之比为3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°，
∴∠ACE＝2∠DCE＝100°，
∴旋转角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°，
故答案为：30°或150°．
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【点睛】本题考查旋转变换，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．
14. 关于x 的方程
有增根，则
__________．
【答案】
或
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得
到
，根据原方程有增根可得
或
，则
或
，解之即可得到
答案．
【详解】解：
去分母得：
，
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
，
∵原方程有增根，
∴
或
，
∴
或
，
∴
或
，
故答案为：
或
．
15. 已知
为整数且满足代数式
的值为整数，则
的所有取值为______
【答案】
或
或
【解析】
【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键．
先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解
，并排
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除使分母为零的值．
【详解】原式=
=
=
=
=
，
设
（
为整数），则
，
整理得：
，
∴
，
令
（
为整数且
），则
，
由于
为整数，
需为整数，故
为
的因数：
，
，
代入求
：
时，
；
时，
；
时，
；
时，
（舍去，因分母为零）；
时，
（舍去，因分母为零）；
时，
（舍去，因分母为零）
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综上，
的所有取值为：
，
，
，
故答案为：
，
，
．
16. 某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的
倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作
所需天数的
倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的
倍，则
的值
是______．
【答案】
##
【解析】
【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，通过设甲、乙、丙单独完成工程所需
天数，利用工作效率与工作时间的关系，推导出
的表达式，进而计算给定分式的值．
【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需
天、
天、
天，
根据题意，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的
倍，乙、丙合作所需天数为
，
所以
，
整理得
，
于是
，
因此
，
同理，
，
，
所以
，
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给定表达式
．
故答案为：
．
17. 若正数a，b，c 满足abc1，
，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】计算
，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组
求出
，
，代入计算即可．
【详解】解：解法一：因为
所以
，
解得
．
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故答案为：
．
解法二：由
，得
，
因此
，
．
由此可得
，
．
所以
故答案为：
．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．
18. 定义：若两个分式
与
满足：
，则称
与
这两个分式互为“美妙分式”．若分式
与
互为“美妙分式”，且
均为不等于0 的实数，则分式
______．
【答案】
或
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义
的理解是解题关键．根据分式
与
互为“美妙分式”，得到
，求出①
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，②
，分别把①②代入分式
中求出结果即可．
【详解】解：
与
互为“美妙分式”，
，
，
或
，
或
，
、
均为不等于
的实数，
①
，②
，
把①代入
，
把②代入
，
综上：分式
的值为
或
．
故答案为：
或
．
三、计算题（每题4 分，共16 分）
19. 计算
．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查分式的加减运算．通过观察分母关系，将第三项的分母化为与前两项相同，合并后利用
完全平方公式简化．
【详解】解：
．
20. 计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式乘除混合运算．
对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可．
【详解】解：
．
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21. 计算
．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加减运算，把每一个分式化为两个分式的和是解本题的关键．先逆用分式的
加减运算的运算法则把每一个分式化为两个分式的和，再计算即可．
【详解】解：
．
22. 计算
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简运算，熟悉掌握十字相乘法因式分解，立方差公式，是解题的关键．
利用立方差公式和十字相乘法进行因式分解，再根据运算法则运算即可．
【详解】
解：原式
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四、解方程（组）（
题每题4 分，第26 题5 分，共17 分）
23. 解方程
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可．
【详解】解：
，
化为整式方程，得
，
解得
，
当
时，
，
所以
是原分式方程的解．
24. 解方程
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求
解分式方程．利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
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【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
经检验，
是原方程的解，
∴原方程的解为
．
25. 解方程组
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查的是解分式方程组，设
，则原方程组化为
，解出
，进而求出
，再求出结论即可．
【详解】解：设
，则原方程组化为：
，
解得：
，
，
，
解得：
．
26. 解关于
的方程：
【答案】当
，
或
时，方程无解；否则
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简分式方程，再根据分母的取值情况分析分式方程无解时的
值即可求解．
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【详解】解：
，
∵当
，
或
时方程无解，
∴
，
或
，时无解，
解得：
，
或
，
综上可得：当
，
或
时，方程无解；否则
．
五、作图题（4 分）
27. 按要求作图：画出
以点
为对称中心的中心对称图形
．
【答案】
如图，
即为所求．
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【解析】
【分析】本题考查画中心对称图形，作出
各顶点关于点O 的对称点，再顺次连接即可．
【详解】略
六、解答题．（共20 分）
28. 已知
，求
的值．
【答案】53
【解析】
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用及代数式求值，先求出
，
再将原式化为
，代入计算即可．
【详解】解：
，
，
不是方程的解，
方程两边同时除以
，
，
，
，
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．
29. 化简代数式
，若
、
满足
，求
该代数式的值．
【答案】
，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，负指数幂的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
由非负性求出
与
的值，优先化简负指数幂，再利用运算法则化简代数式后代入
与
的值即可求解．
【详解】解：∵
且
，
，
∴
，
，
解得：
，
，
，
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∵
，
，
，
∴原式
．
30. 已知
，
．若关于
的分式方程：
的解是非负数，求
的取值范围．
【答案】
且
，
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的特殊解，完全平方公式，平方差公式，熟练利用因式分解是解题的关键．
由
，得到
，利用因式分解进行化简得到
，再根据
的取值范围求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
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，
∵解是非负数，
∴
，
解得：
；
又∵
，
，
∴
，
，
解得：
，
，
；
综上
的取值范围为：
且
，
．
31. 聪聪在长为180 米的跑道上训练机器人．
（1）若A 机器人匀速行走1 分钟后，提速到原速的1.5 倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40 秒到达
终点．求A 机器人走完全程所花的时间．（用一元分式方程求解）
（2）若B 机器人一半路程以a 米/分的速度行驶，另一半路程以b 米/分的速度行驶；C 机器人用一半时间
以a 米/分的速度行驶，另一半时间以b 米/分的速度行驶．已知
，
，
，试比较B、C 两机
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器人行走的时间
，
大小，并说明理由．
【答案】（1）
分钟
（2）
，理由：
B 机器人所需时间
，
C 机器人所需时间
，
，
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的
关键．
（1）设原行走的速度为
分，根据“结果比原计划提前40 秒到达终点”列分式方程求解即可；
（2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论．
【小问1 详解】
解：设原行走的速度为
分，
根据题意得：
，
解得
，
经检验，
为原方程的解，
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，
机器人走完全程所花的时间
分钟；
【小问2 详解】
略
七、探究题（7 分）
32. 如图，正方形
，点
是线段
延长线上一点，连接
，
，
．
（1）将三角形
沿着射线
方向移动，使得点
与点
重合，用代数式表示线段
扫过的平面
部分的面积为__________．
（2）将三角形
绕着点
旋转，使得
与
重合，点
落在点
，用代数式表示线段
扫
过的平面部分的面积为______________．
（3）除第（2）小题的情况外，在平面内是否还存在合适的点，将三角形
绕着这个点顺时针旋转后，
三角形有一条边恰好能与正方形
的一条边完全重合．如果存在，请分别在图中画出其他符合条件
的三角形，标出相应的旋转中心并写出对应旋转角的大小．
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【答案】（1）
（2）
或
（3）
解：如图1，旋转中心：
边的中点O，顺时针
，
如图2，旋转中心：点B，顺时针
，
如图3，旋转中心：正方形对角线交点O，顺时针旋转
，
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应
点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答．
（1）根据平移的性质和平行四边形的面积公式计算即可；
（2）根据扇形的面积公式计算即可；
（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．
【小问1 详解】
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解：线段
扫过的平面部分的面积为：
，
故答案为：
；
【小问2 详解】
解：三角形
绕着点
旋转，使得
与
重合，则三角形旋转的角度是
或
，
或
，
故答案为：
或
；
【小问3 详解】
略
